初中新人教版数学八年级上册142乘法公式优质课公开课教学设计版本1.docx

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初中新人教版数学八年级上册142乘法公式优质课公开课教学设计版本1

14．2　乘法公式

第1课时　平方差公式

1．经历探索平方差公式的过程，会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算．

2．理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

平方差公式的推导和应用．

理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式．

一师一优课　一课一名师　（设计者：

　　　）

一、创设情景，明确目标

从前，有一个狡猾的庄园主，把一块边长为x米的正方形土地租给张老汉种植，第二年，他对张老汉说：

“我把这块地的一边增加5米，另一边减少5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？

”张老汉一听觉得好像没有吃亏，就答应了，回到家中，把这事和邻居们一讲，都说：

“张老汉，你吃亏了！

”张老汉非常吃惊．同学们，你知道张老汉为什么吃亏吗？

通过本节课的学习，你将能解释这其中的原因！

二、自主学习，指向目标

自学教材第107页至108页，思考下列问题：

1．根据条件列式：

（1）a、b两数的平方差可以表示为________；

（2）a、b两数差的平方可以表示为________；

2．平方差公式的推导依据是________________________________________________________________________．

3．平方差公式（乘法）的特征是：

左边是__________________，右边是__________________．

三、合作探究，达成目标

　探索平方差公式

活动一：

1.填写教材P107三个计算结果，

展示点评：

（1）二项式乘以二项式，合并前结果应该是几项式？

（四项）合并后都是几项式？

（二项）

（2）观察上列算式的左边的两个二项式，有什么异同？

运算出结果后的二项式与等式左边的二项式有什么关系？

（等号的左边是两数的和乘以这两数的差，等号的右边是这两数的平方差．）

2．归纳：

两个数的________与这两个数的差的积，等于这两数的________．

用公式表示上述规律为：

（a＋b）（a－b）＝________这就是平方差公式．

3．观察教材图14.2－1，请你用两种方法计算图形中阴影部分的面积，得到什么结果？

（a＋b）（a－b）＝a2－b2

4．观察教材P108例1中的两个算式，能否用平方差公式进行计算？

若能用，公式中a，b分别代表什么？

例1运用平方差公式计算

（1）（3x＋2）（3x－2）；

（2）（－x＋2y）（－x－2y）．

思考：

确定能否应用平方差公式进行运算的关键是什么？

展示点评：

观察算式：

①是不是两个二项式相乘；②是不是两数的和乘以两数的差；③若作为因式的二项式的首项是负号的，可以连同符号一起看作为一项，也可以把一个因式里的两项颠倒位置观察思考．关键就是确定是不是两数的和乘以两数的差．

解答过程见课本P108例1

小组讨论：

能运用平方差公式计算的式子有何特征？

【反思小结】能运用平方差公式进行计算的式子特征：

①二项式与二项式的积；②把两个二项式进行对比：

有一项相同，另一项互为相反数．

针对训练：

1．计算（2a＋5）（2a－5）等于（A）

A．4a2－25　　　　B．4a2－5　　　　C．2a2－25　　　　D．2a2－5

2．计算（1－m）（－m－1），结果正确的是（B）

A．m2－2m－1B．m2－1C．1－m2D．m2－2m＋1

　平方差公式的综合应用

活动二：

计算：

（1）102×98；

（2）（y＋2）（y－2）－（y－1）（y＋5）．

展示点评：

（1）例1是数的计算，观察其特征，把两个因数如何变形能够运用平方差公式进行计算？

（2）例2中有整式的简单的混合运算，在进行运算时要注意什么？

展示点评：

第1题可以变为100与2的和乘以100与2的差；第

（2）题中多项式的乘法，能运用平方差公式的一定要运用平方差公式进行运算．

解答过程见课本P108例2

小组讨论：

平方差公式与整式乘法有什么关系？

在运用时应注意什么问题？

【反思小结】

（1）可运用平方差公式运算的式子，也属于我们前面所学的多项式乘以多项式的运算，所以说平方差公式适用于特殊形式的该类运算．

（2）有些不能直接用平方差公式的题目可向公式形式转化，写成两数和与两数差乘积的形式，再运用公式．

（3）在运用平方差公式运算时，一要注意确定好公式中的“a”项，“b”项；二要注意对两个数整体平方，而不是部分平方．

针对训练：

见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标

1．平方差公式的特征，公式中的字母a和b既可以表示数，也可表示字母，还可以表示多项式；

2．能应用平方差公式进行乘法运算，并能进行简单变形应用．

3．平方差公式与多项式乘法之间的关系．

五、达标检测，反思目标

1．下列多项式乘法，能用平方差公式进行计算的是（C）

A．（x＋y）（－x－y）　　　　　　B．（2x＋3y）（2x－3z）

C．（－a－b）（a－b）D．（m－n）（n－m）

2．下列各式运算结果是x2－25y2的是（B）

A．（x＋5y）（－x＋5y）B．（－x－5y）（－x＋5y）

C．（x－y）（x＋25y）D．（x－5y）（5y－x）

3．两个连续奇数的平方差是（B）

A．6的倍数　　　　　B．8的倍数　　　　　C．12的倍数　　　　　D．16的倍数

4．计算：

（2＋3x）（－2＋3x）＝__9x2－4__．

5．已知（x－ay）（x＋ay）＝x2－16y2，那么a＝__±4__．

6．计算：

（1）a（a－5）－（a＋6）（a－6）

解：

原式＝a2－5a－（a2－36）

＝36－5a

（2）（x＋y）（x－y）（x2＋y2）

解：

原式＝（x2－y2）（x2＋y2）

＝x4－y4

（3）9982－4

解：

原式＝（998＋2）（998－2）

＝1000×996

＝996000

1．上交作业：

课本P112第1题．

2．课后作业：

见《学生用书》．

第2课时　完全平方公式

1．理解完全平方公式，掌握两个公式的结构特征．

2．熟练应用公式进行计算．

完全平方公式的推导过程、结构特点以及几何解释，并能灵活应用．

理解完全平方方式的结构特征，并能灵活应用．

一师一优课　一课一名师　（设计者：

　　　）

一、创设情景，明确目标

1．多项式乘以多项式的法则是什么？

（多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．）

2．观察下列计算过程及结果：

（1）（p＋q）（p＋q）＝________________＝________________；

（2）（x－y）（x－y）＝________________＝________________.

展示点评：

怎样快速的计算形如（2x＋y）2的运算，这就是我们今天所要学习的主要内容．

二、自主学习，指向目标

自学教材第109页至110页，思考下列问题：

1．完全平方公式的推导的依据多项式乘以多项式的乘法法则

2．完全平方公式的特征是：

左边是两数和（或差）的平方，右边是这两数的平方和，加上（或减去）这两数积的2倍；与平方差公式的区别是平方差公式是两数的和乘以两数的差，等于这两数的平方差，其结果是一个二项式．

3．从几何的角度去理解完全平方公式，观察下图，可以得到：

（1）（a＋b）2＝________；　　　　

（2）（a－b）2＝________．

三、合作探究，达成目标

　完全平方公式

活动一：

1.根据条件列式：

（1）a，b两数和的平方可以表示为________；

（2）a，b两数平方的和可以表示为________．

2．填写教材P109四个计算结果．

展示点评：

（1）一个多项式的平方运算可以看做哪种形式的运算（两个相同的多项式的乘法运算）

（2）课本中的二项式乘以二项式，合并前结果应该是几项式？

（四项）合并后都是几项式？

（三项）

（3）上列算式运算的依据是什么？

（依据是多项式乘以多项式的乘法法则）

（4）观察上列算式，运算出结果后的三项式与等式左边的二项式有什么关系？

（等号的左边是两数的和或差的平方；等号的右边是这两数的平方和，加上或减去这两数积的2倍．）

3．归纳：

由上述规律可得到公式：

（a＋b）2＝________；（a－b）2＝________．

完全平方公式：

两数和（或差）的平方等于这两个数的______加上（或减去）这两个数积的______倍．

可记作：

首平方，尾平方，二倍乘积放中央．

4．观察教材图14.2－2及14.2－3你通过图形中的面积，得到什么结果？

（a＋b）2＝a2＋ab＋b2＋ab＝a2＋2ab＋b2；（a－b）2＝a2－ab－ab＋b2＝a2－2ab＋b2；

5．观察教材P110例3中的两个算式，能否用完全平方公式进行计算？

若能用，公式中a，b分别代表什么？

例1　运用完全平方公式计算：

（1）（4m＋n）2　

（2）　（3）（－2a－3b）2

展示点评：

从平方的意义看，与的结果一样吗？

（－2a－3b）2与（－3b－2a）2的结果相同吗？

而（4m＋n）2与（4m－n）2的结果呢？

展示点评：

互为相反数的平方结果相等，因此（y－）2与（－y）2的结果一样；而4m＋n与4m－n不一定相等或是相反数，因此其平方的结果不一定相等．

小组讨论：

应用完全平方公式计算应注意什么？

解答过程见课本P110例3

反思小结：

1.应用公式时，可以先确定两数的平方和，再加上（或减去）两数积的2倍；切记不要漏掉两数积的2倍；2.互为相反数的两个多项式的平方相等．

针对训练：

见《学生用书》相应部分

　完全平方公式的综合应用

活动二：

运用完全平方公式计算：

（1）1022　

（2）992

小组讨论：

一个较大或较小数的平方运算，如何巧妙地进行变形，应用完全平方公式，快速的进行计算呢？

展示点评：

把102或99写成两数和或差的形式，再进行计算．

反思小结：

对于较大数的平方可以转化成两整数和（或差）的平方，再运用完全平方公式进行计算比较简便．

针对训练：

见《学生用书》相应部分

四、总结梳理，内化目标

1．完全平方公式的推导及其几何意义；

2．完全平方公式里的字母可以表示一个数，表示一个单项式，也可以表示一个多项式；

3．应用完全平方公式进行计算，有关数字计算题应用完全平方公式可以使计算简便．

4．数学思想：

类比、数形结合．

五、达标检测，反思目标

1．（x＋3y）2＝x2＋6xy＋__9y2__．

2．a2－kab＋9b2是完全平方式，则k＝__±6__．

3．计算（－a－b）2结果是（B）

A．a2－2ab＋b2　　　B．a2＋2ab＋b2　　　C．a2＋b2　　　D．a2－b2

4．运用乘法公式计算

（1）；　　　　　

（2）1052；

解：

（1）原式＝x2－x＋1

（2）原式＝（100＋5）2

＝1002＋2×100×5＋25

＝10000＋1025

＝11025

（3）（a－b－3）（a－b＋3）．

解：

原式＝[（a－b）－3][（a－3）＋3]

＝（a－b）2－9

＝a2－2ab＋b2－9

5．已知x＋y＝9，xy＝20，求（x－y）2的值．

解：

（x－y）2＝（x＋y）2－4xy＝81－80＝1

1．上交作业：

课本第112页2、3

（2）（3）、7.

2．课后作业：

见《学生用书》．

第3课时　乘法公式的拓展

1．了解添括号法则．

2．能应用添括号法则，结合乘法公式，对项数是三项或三项以上的多项式乘法进行运算．

应用添括号法则及乘法公式进行运算．

正确的添加括号后，应用公式进行计算．

一师一优课　一课一名师　（设计者：