数学模型作业 ss.docx

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数学模型在减速机设计中的应用

摘要

本文整理了数学模型在机械设计中应用的部分资料，主要包括在减速机设计中的应用，及少量关于机械设计可靠性和最优化设计中的应用．

关键词：

数学模型、机械设计、减速机、应用

目录

摘要I

第1章绪论1

第2章行星齿轮减速器优化设计3

2.1引言3

2.2设计过程及数学模型建立3

2.2.1根据实际情况确定基本点限定关系式：

3

2.2.2优化设计的数学模型4

2.3结束语4

第3章摆线减速器轮齿啮合的数学模型6

3.1引言6

3.2摆线轮齿啮合数学模型的建立6

3.2.1非赫兹弹性接触变形柔量分量的数学模型8

3.2.2有限元方法建立针齿挠曲变形柔量分量的数学模型8

3.3结束语8

第4章机械产品可靠性的数学模型9

4.1引言9

4.2机件失效的类型9

4.3机件故障产因的数模分析9

4.4用反推法建立可靠性设计的模型10

4.5结束语11

第5章最优化方法中数学模型的简介12

5.1引言12

5.2数学模型的建立12

5.3最优化模型的应用领域12

5.4最优化模型的优点与问题13

参考文献14

第1章绪论

减速机在原动机和工作机或执行机构之间起匹配转速和传递转矩的作用是一种相对精密的机械是一种由封闭在刚性壳体内的齿轮传动、蜗杆传动、齿轮-蜗杆传动所组成的独立部件，使用的目的是降低转速增加转矩．在现代机械中应用极为广泛．按照传动级数不同可分为单级和多级减速机；按照齿轮厂形状可分为圆柱齿轮减速机、圆锥齿轮减速机和圆锥－圆柱齿轮减速机等；按照传动的布置形式又可分为展开式、分流式和同进轴式减速机等．

机械设计（machinedesign）根据使用要求对机械的工作原理、结构、运动方式、力和能量的传递方式、各个零件的材料和形状尺寸、润滑方法等进行构思、分析和计算并将其转化为具体的描述以作为制造依据的工作过程．

机械设计是机械工程的重要组成部分是机械生产的第一步是决定机械性能的最主要的因素．机械设计的努力目标是：

在各种限定的条件（如材料、加工能力、理论知识和计算手段等）下设计出最好的机械即做出优化设计．优化设计需要综合地考虑许多要求一般有：

最好工作性能、最低制造成本、最小尺寸和重量、使用中最可靠、最低消耗和最少环境污染．这些要求常是互相矛盾的而且它们之间的相对重要性因机械种类和用途的不同而异．设计者的任务是按具体情况权衡轻重统筹兼顾使设计的机械有最优的综合技术经济效果．过去设计的优化主要依靠设计者的知识、经验和远见．随着机械工程基础理论和价值工程、系统分析等新学科的发展制造和使用的技术经济数据资料的积累，以及计算机的推广应用，优化逐渐舍弃主观判断而依靠科学计算．

数学为组织和构造知识提供了方法，当用于技术时就能使科学家和工程师们生产出系统的、能复制的并且是可以传播的知识．分析、设计、建模、模拟（仿真）及其具体实施就可能变成高效且结构良好的活动．

这离不开数学模型的建立数学建模是一种数学的思考方法是运用数学的语言和方法通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段．

数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程．这里的实际现象既包涵具体的自然现象比如自由落体现象也包含抽象的现象比如顾客对某种商品所取的价值倾向．这里的描述不但包括外在形态内在机制的描述也包括预测试验和解释实际现象等内容．

也可以这样直观地理解这个概念：

数学建模是一个让纯粹数学家（指只懂数学不懂数学在实际中的应用的数学家）变成物理学家生物学家经济学家甚至心理学家等等的过程．

数学模型一般是实际事物的一种数学简化．它常常是以某种意义上接近实际事物的抽象形式存在的但它和真实的事物有着本质的区别．要描述一个实际现象可以有很多种方式比如录音录像比喻传言等等．为了使描述更具科学性逻辑性客观性和可重复性人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象这种语言就是数学．使用数学语言描述的事物就称为数学模型．有时候需要做一些实验但这些实验往往用抽象出来了的数学模型作为实际物体的代替而进行相应的实验，实验本身也是实际操作的一种理论替代．

第2章行星齿轮减速器优化设计

2.1引言

行星齿轮减速器具有传动效率高、结构紧凑等优点．在各种车辆、工程机械和其它传动系中得到了广泛的应用行星齿轮减速器多采用2K-H型行星齿轮系传动，2K-H型行星齿轮系传动简图见图2.1．然而，行星传动设计是一个比较复杂的问题，其体积和重量或其承载能力主要取决于传动参数的选择按照常规设计方法，当给定传动比、输出轴转速和传递功率后，为了求得各轮齿数、模数、齿宽、行星轮数和变位系数．常常需要先选定其中几个参数，才能求出其它参数例如，先选定行星轮个数后才能进行配齿;选定齿宽系数后才能根据强度条件去求模数而在同一行星轮个数的条件下，又有多种配齿方案；在改变行星轮个数后，又有多种参数方案可供选择因此，在选择参数方案时，往往没有明确的评估指标，也不可能进行大量的计算，只能选择一个满足设计要求的可行参数方案，显然不大可能是最优方案为了使设计方案的某种指标达到最佳，需采用优化设计方法，因而优化设计对减轻传动装置质量、减小体积、节省材料和提高承载能力都具有重大的现实意义．

1-太阳轮；2-行星轮；3-内齿圈；4-行星架；5-输入轴；6-输出轴

图2.1行星齿轮减速器运动简图

2.2设计过程及数学模型建立

2.2.1根据实际情况确定基本点限定关系式：

如：

齿轮齿数和行星轮个数的确定，行星齿轮减速器的传动比为i：

z3－内齿圈齿数；z1－太阳轮齿数．

满足同心条件：

行星轮系若能正常回转，其3个基本结构的回转轴线必须在同一轴线上．当采用标准传动和等移距变位传动时，要求内齿圈与太阳轮的分度圆半径差等于行星轮分度圆直径．

满足安装条件：

为了保证各个行星轮都能够均匀地装入太阳轮和内齿圈之间，行星轮的个数与各轮齿数之间应满足一定条件．

满足邻接条件，必须保证相邻两行星轮互不相碰，并留有大于0.5倍模数的间隙，即两行星轮齿顶圆半径之和小于其中心距．

由于确定各轮齿数时，需满足上述4个条件，在优化时若把它们作为等式约束来处理，很难得出合理的齿数．因此在进行优化计算前，先按上述条件进行配齿计算，得出符合上述条件的各轮齿数和．

2.2.2优化设计的数学模型

包括：

设计变量的选取、建立目标函数、确定约束条件、优化方法的选用

从节约材料、减轻减速器重量角度出发，建立目标函数．减速器的重量正比于其体积，由于太阳轮与全部行星轮的体积之和能影响和决定齿圈或整个机构的体积，因此选择太阳轮和行星轮体积之和最小为目标函数．

在2K-H型传动中，根据几何和强度要求，其约束条件有:

小齿轮不发生根切，限制齿宽的最小值，限制模数的最小值，传动装置的装配条件，轮齿满足接触强度和弯曲强度等．

从上述建立的数学模型来看，行星齿轮减速器优化设计是一个有多个不等式约束、有离散设计变量和连续设计变量的单目标函数的优化设计问题．其求解必须采用离散变量优化方法，如随机网格搜索法、离散惩罚函数法、离散复合形法等．目前工程中比较常用的是离散复合形法．

2.3结束语

在行星齿轮减速器的设计中，引入优化设计方法，可以达到减轻传动装置质量、节约材料、降低成本及提高承载能力的目的．实际上，单纯的单目标优化设计并不能满足工程的更多实际需要，目前，多目标优化设计已经被应用于工程实际中，但由于求解过程复杂，应用尚不广泛，还有待于进一步研究和探讨．

第3章摆线减速器轮齿啮合的数学模型

3.1引言

轮齿齿面修形是重载齿轮变速器的重要研究课题之一，因为过大的传动转矩会使得轮齿之间产生过高的接触应力，从而易使齿面压馈而产生点蚀和胶合破坏，因此，需要寻找理想的齿形以改善接触应力分布．然而，以往人们往往只以有限的齿面接触，近似作为无限长圆柱体赫兹弹性接触问题进行研究，故其齿形计算结果基本是不够准确的．该文直接从非赫兹数值方法入手，以摆线针轮行星传动为研究对象，建立了轮齿弹性变形与载荷分布的柔度矩阵数学模型，由于这一模型真实反映了轮齿接触状态并考虑了挠曲变形的影响，因此，其比传统赫兹法建立的模型更精确．由于这一数学模型的复杂性，应用计算机求解矩阵方程会遇到一系列数学上和数值计算上的技术问题．为了正确应用这一柔度矩阵数学模型针对齿进行轴向修形计算，这里较详细地讨论了这一数学模型的求解方法．结果证明这种数学模型可精确地分析齿面的载荷分布和针齿轴向修形形状，从而为改善重载机型轮齿啮合状况，提供了新的有效途径．

3.2摆线轮齿啮合数学模型的建立

图3.1是摆线针轮减速机针齿与摆线轮的理论齿形啮合情形，其单个针齿与摆线轮的接触可描述如图3.2．在一定的假设条件下，可以建立考虑接触区形状及各接触离散点变形传递效应的单齿啮合数学模型．

F－关于单元中心压力；

Pj－自变量的单元压力函数；

W－针齿法向承受的总载荷，与摆线轮总体受力情况有关；

Aij－齿面第i单元的接触变形在单元i中心引起的柔量分量；

Bij－单元j的针齿挠曲变形在单元i引起的柔量分量；

Ei－单元i中心法向齿对加工装配误差；

δ－齿间接触变形法向总趋近量．

f（x，y）为受载后不考虑接触变形时针齿套上任意点i的假想外形，其有下列关系：

f（xi，yi）－针齿套上点i在受载前的外形；

e（xi，yi）－该点在受载后的外形．

图3.1摆线轮与针齿啮合

由于支承结构的刚度一般是很大的，为方便计算，忽略支承变形及加工装配误差的影响，可对上面的模型进一步加以简化．

图3.2受载后单齿啮合状态

3.2.1非赫兹弹性接触变形柔量分量的数学模型

非赫兹弹性接触数值分析法，直接从布希涅斯克关于弹性半无限体表面作用集中载荷的解入手，对接触区域进行单元划分，在数值积分的基础上，求得各单元之间的位移影响柔度系数，从而建立起压力位移的方程组来求解．把单齿啮合的物理模型简化为一圆柱体与弹性半无限体的接触．

3.2.2有限元方法建立针齿挠曲变形柔量分量的数学模型

这里把支承作为刚性约束，在针齿套有效接触长度内，有意把单元数量和位置取得与接触区离散单元相同．分别在接触区的节点作用一单位集中载荷，即可计算接触区内节点的线位移量．把单元分布压力转化为作用于单元中心的集中压力．

3.3结束语

（1）在数学模型中忽略次要的影响条件，简化数学模型，方便计算．

（2）提出用非赫兹柔度矩阵分析数学模型计算轮齿表面接触应力分布，比用古典HERTZ法计算具有更好的精确性，从而可以更精确地求解针齿轴向修形曲线，应用该新方法对圆柱齿轮轮齿轴向接触等其它机械接触问题研究具有普遍的意义．

（3）非赫兹柔度矩阵方程通过正确的计算机编程求解可获得符合实际状态的结果，但求解过程中要注意积分奇异性、矩阵病态性和边缘压力单元等问题的正确处理方法．

（4）为了保证柔度矩阵的精度，对于这一问题的处理一直引起国外许多学者的重视．不同学者使用了不同的处理方法，但基本都是改变积分限，从而给非奇异域的单元积分带来了误差，既不方便也不理想．采用先分离奇异单元，然后对其单独采用仅带来微小误差的Guase－Legendre积分法，改善了整个柔度矩阵的计算精度．计算证明这一方法具有很好的稳定性与收敛性．另外为保证精度，建议采用双精度运算．

第4章机械产品可靠性的数学模型

4.1引言

随着科学技术的发展，人们对产品的性能、品质和可靠性等方面的要求越来越高．可靠性已经成为产品竞争的焦点，日益引起各国的重视．美国有专家声称今后世界产品竞争的焦点是可靠性，而日本把可靠性列为企业的主要目标．在机械设计领域广泛使用优化设计技术和可靠性技术，使得零部件的结构朝着小型化、高可靠性方向发展．

4.2机件失效的类型

机械设备的可靠性在很大程度上取决于机件或某一系统的可靠性．提高设备的可靠性就必须从提高每一个机件的可靠性入手，强调所有机件在整机使用寿命内的最佳无故障配合．就目前而言，机件失效的形式主要有：

1）因磨损、腐蚀造成的尺寸误差和功能失效；2）因疲劳引起的诸如机件断裂、裂纹等；3）因设计失误引起的刚度、强度不足而出现的机件损坏．

但不管是上述何种失效形式，如果用模糊数学及数学函数关系来表述，可表述为：

1）失效故障的发生仅与运行时间的增加而上升的形式；2）失效故障的发生与设计参数及标准有关的形式．

4.3机件故障产因的数模分析

通过对大量机件故障案例的分析与研究，发现在排除设备的偶然性故障（如外力作用造成的故障）的前提下，随着设备使用时间的推移及老化，其故障模型主要有6种，如图4.1所示．

对这6种模型进一步分析研究后，得出了以下结论:

在寿命期内，前3种（A，B，C）[图1（a）~（c）]故障模型为与使用时间相关的故障，主要适用于那些非常简单的零部件和设备，尤其是存在直接接触磨损或接触腐蚀介质的．

后3种（D，E，F）[图1（d）~（f）]为与使用年限不相关的故障．一般来讲，部件越复杂或越简单，它就越可能服从于故障模型E，F，即存在于设备或部件复杂程度两极．D，E，F这3种模型的主要特征是设备运行初期以后的一段时间内与可靠性设计没有多少关系或根本无关．像这类部件往往在其使用寿命内都不发生故障，如一旦发生故障，往往是不可再修复的．如机座、集成部件、飞轮等这些要么极简单，要么极复杂的部件．造成这些部件出现故障而失效的原因，往往是与设计过程中的参数、标准有关，与疲劳、

刚度、强度有关．

图4.16种故障模型

4.4用反推法建立可靠性设计的模型

在进行可靠性设计时，必须先对所要设计的机件或设备进行故障模型分析并进行归类，然后确定其使用阶段的故障特性．图4.2是从这一角度出发建立的“安全-中间-失效”三级工作模式的可靠性分析模型：

其工作状态为：

安全状态：

中介状态：

失效状态：

S为载荷应力；

S为构件安全的强度上限；

f为构件安全的强度下限．

图4.2三级工作模式的可靠性分析模型

4.5结束语

从产品工作过程的角度用数学模型的方法对可靠性进行了探讨，通过对产品工作过程的分析反推出可靠性模型，即产品从安全到失效之间存在一个中间过渡阶段，结构的状态表现为既安全又不安全的模糊性．目前行内较为关注这类基于模糊分析的计算方法，但过程过于复杂，难以实际应用．因此，提出了具有“安全－中间－失效”三级工作模式的可靠性分析方法，考虑了失效准则的过程性，简便、实用，而且合理．

第5章最优化方法中数学模型的简介

5.1引言

最优化方法广泛应用于很多学科，是讨论决策问题的最佳选择之特性，构造寻求最佳解的计算方法，研究这些计算方法的理论性质及实际表现．而数学模型可以描述为对于现实世界的一个特定对象，为一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构．

数学模型与最优化方法之间的关系如何可以参考用最优化方法解决问题的一般过程:

一是提出最优化问题，收集有关数据和资料;二是建立最优化问题的数学模型，确定变量，列出目标函数和约束条件;三是分析模型，选择合适的最优化方法;四是求解，一般通过编制程序，用计算机求最优解;五是最优解的检验和实施．

不难得出结论：

不建立数学模型，就不可能有最优化方法的实现．在最优化方法中有线性规划、多目标规划等．这样的模型称其为优化模型，下面具体阐述在这些方法中数学模型的建立．

5.2数学模型的建立

1）线性规划模型

如果目标函数为线性函数，约束条件为线性不等式或等式，它们均可视为线性规划模型．

2）整数规划模型

在现实生活中，当决策变量代表产品的件数、个数、台数、箱数、艘数、辆数等时，往往只能取整数值．像这样的决策变量（部分决策变量）要求为整数的规划称为整数规划．

3）多目标规划模型

4）动态规划模型

5.3最优化模型的应用领域

最优化模型是随着数学建模型的发展而发展，是近几十年来发展和形成的一种新兴的应用性很强的方法．最优化模型广泛应用于工业、农业、交通运输业、商业、国防、建筑、通信、政府机关等各个部门、各个领域．它主要解决了最优生产计划、最优分配、最佳设计、最佳决策、最优控制、最佳管理等优化问题，掌握优化思想并善于对遇到的问题进行优化处理，可为各级各类经济金融专业人员、管理人员与工程技术人员提供最佳决策与调控．

5.4最优化模型的优点与问题

在优化问题中，如果能够正确地建立数学模型，确实能达到事半功倍的效果．因为它能够为建立、分析算法奠定基础，为设计程序提供一个清晰的思路，同时也为检验算法提供了实验内容．但也要清楚地认识到不是所有的优化问题都能建立数学模型，如依赖域问题、非光滑最优化问题等．另外，就是建立了数学模型也有可能得不到该问题的解决方案，这是所有数学建模学习者所共知的．

参考文献

1.喻洪流．摆线减速器轮齿啮合的数学模型及求解[J]．机械设计，2004年3月，第21卷第3期：

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2.梁晓光．行星齿轮减速器优化设计的数学模型[J]．山西机械，2003年9月，第3期（总第120期）：

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5.XX百科．