奥数题高难度.docx

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奥数题高难度

1.图形：

（高等难度）

　　如图，长方形ABCD中，E为的AD中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH=5cm，HF=3cm，求AG．

图形答案：

2.图形面积：

（高等难度）

　　直角三角形ABC的两直角边AC=8cm，BC=6cm，以AC、BC为边向形外分别作正方形ACDE与BCFG，再以AB为边向上作正方形ABMN，其中N点落在DE上，BM交CF于点T．问：

图中阴影部分（与梯形BTFG）的总面积等于多少？

应用题：

（高等难度）

　3.　我国某城市煤气收费规定：

每月用量在8立方米或8立方米以下都一律收6.9元，用量超过8立方米的除交6.9元外，超过部分每立方米按一定费用交费，某饭店1月份煤气费是82.26元，8月份煤气费是40.02元，又知道8月份煤气用量相当于1月份的，那么超过8立方米后，每立方米煤气应收多少元

应用题答案：

4.乒乓球训练（逻辑）：

（高等难度）

　　甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行乒乓球训练，每局2人进行比赛，另1人当裁判．每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战．半天训练结束时，发现甲共打了15局，乙共打了21局，而丙共当裁判5局．那么整个训练中的第3局当裁判的是_______．

乒乓球训练（逻辑）答案：

　　本题是一道逻辑推理要求较高的试题．首先应该确定比赛是在甲乙、乙丙、甲丙之间进行的．那么可以根据题目中三人打的总局数求出甲乙、乙丙、甲丙之间的比赛进行的局数．

　　⑴丙当了5局裁判，则甲乙进行了5局；

　　⑵甲一共打了15局，则甲丙之间进行了15-5=10局；

　　⑶乙一共打了21局，则乙丙之间进行了21-5=16局；

　　所以一共打的比赛是5+10+6=31局．

　　此时根据已知条件无法求得第三局的裁判．但是，由于每局都有胜负，所以任意连续两局之间不可能是同样的对手搭配，就是说不可能出现上一局是甲乙，接下来的一局还是甲乙的情况，必然被别的对阵隔开．而总共31局比赛中，乙丙就进行了16局，剩下的甲乙、甲丙共进行了15局，所以类似于植树问题，一定是开始和结尾的两局都是乙丙，中间被甲乙、甲丙隔开．所以可以知道第奇数局（第1、3、5、……局）的比赛是在乙丙之间进行的．那么，第三局的裁判应该是甲．

5.奇偶性应用：

（高等难度）

　　在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色

奇偶性应用答案：

　　假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色.设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色.则染红色次数为2m次。

　　∵2m≠1987（偶数≠奇数）

　　∴假设不成立。

　　∴至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。

6.整除问题：

（高等难度）

　　一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数

整除问题答案：

　　这是一道古算题.它早在《子算经》中记有：

"今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？

"

　　关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：

"三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知."意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：

　　方法1：

2×70+3×21+2×15=233

　　233-105×2=23

　　符合条件的最小自然数是23

7.平均数：

（高等难度）

　　有4个不同的数字共可组成18个不同的4位数．将这18个不同的4位数由小到大排成一排，其中第一个是一个完全平方数，倒数第二个也是完全平方数．那么这18个数的平均数是：

_______．

平均数答案：

8.追击问题：

（高等难度）

　　如下图，甲从A出发，不断往返于AB之间行走。

乙从C出发，沿C—E—F—D—C围绕矩形不断行走。

甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，甲从背后第一次追上乙的地点离D点____________米。

　　追击问题答案：

9.正方形：

（高等难度）

　　如图所示，ABCD是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而F是BC的中点。

以C为圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G，以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆的圆弧交EF于H点，

正方形答案：

10.求面积：

（高等难度）

　　下图中，ABCD是边长为1的正方形，A，E，F，G，H分别是四条边AB，BC，CD，DA的中点，计算图中红色八边形的面积

求面积答案：

　　至此，我们对各部分的面积都已计算出来，如下图所示.

　　【又解】设O为正方形中心（对角线交点），连接OE、OF，分别与AF、BG交于M、N，设AF与EC的交点为P，连接OP，△MOF的面积为正方形面积的，N为OF中点，△OPN面积等于△FPN面积，又△OPN面积与△OPM面积相等，所以△OPN面积为△MOF面积的，为正方形面积的，八边形面积等于△OPM面积的8倍，为正方形面积的.

11.阴影面积：

（高等难度）

　　如右图，在以AB为直径的半圆上取一点C，分别以AC和BC为直径在△ABC外作半圆AEC和BFC．当C点在什么位置时，图中两个弯月型（阴影部分）AEC和BFC的面积和最大。

　　阴影面积答案：

12.得奖人数：

（高等难度）

　　六年级举行一次数学竞赛，共有若干名同学得奖，其中得一等奖的同学比余下的得奖人数的五分之一少三名，得二等奖的占领奖人数的三分之一，得三等奖的人数比二等奖的人数同学多21名，问得奖人数是多少？

得奖人数答案：

　　解答：

设获奖人数为x，则

　　所以x=111（人）

13.竞赛：

（高等难度）

　　光明小学六年级选出的男生的1/11和12名女生参加数学竞赛，剩下的男生人数是剩下的女生人数的2倍.已知六年级共有156人，问男、女生各有多少人？

竞赛答案：

　　②女生人数：

156-99=57（人）.

14.粮食问题：

（高等难度）

　　甲仓有粮80吨，乙仓有粮120吨，如果把乙仓的一部分粮调入甲仓，使乙仓存粮是甲仓的60％，需要从乙仓调入甲仓多少吨粮食？

粮食问题答案：

　　①甲仓有粮：

（80＋120）÷（1＋60％）=125（吨）.

　　②从乙仓调入甲仓粮食：

125-80=45（吨）.

　　出三个正方形的边长是成比例缩小的，即为一个等比数列，而这个比就要用到相似三角形的知识点。

这在以前讲沙漏原理或者三角形等积变形等专题的时候提到过。

可以说是一道难度比较大的题。

当然对于这种有特点

.

15.分苹果：

（高等难度）

　　有一堆苹果平均分给幼儿园大、小班小朋友，每人可得6个，如果只分给大班每人可得10个，问只分给小班时，每人可得几个？

分苹果答案：

第01题阿基米德分牛问题

太阳神有一牛群,由白、黑、花、棕四种颜色的公、母牛组成.

在公牛中,白牛数多于棕牛数,多出之数相当于黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛,多出之数相当于花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数,多出之数相当于白牛数的1/6+1/7.

在母牛中,白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数1/4+1/5；花牛数

是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7.

问这牛群是怎样组成的?

第02题德·梅齐里亚克的法码问题

一位商人有一个40磅的砝码,由于跌落在地而碎成4块.后来,称得每块碎片的重量都是整磅数,而且可以用这4块来称从1至40磅之间的任意整数磅的重物.

问这4块砝码碎片各重多少?

第03题牛顿的草地与母牛问题

a头母牛将b块地上的牧草在c天吃完了；

a＆#39;头母牛将b＆#39;块地上的牧草在c＆#39;天吃完了；

a"头母牛将b"块地上的牧草在c"天吃完了；

　　求出从a到c"9个数量之间的关系?

第04题贝韦克的七个7的问题

在下面除法例题中,被除数被除数除尽：

**7*******÷****7*=**7**

******

*****7*

*******

*7****

*7****

*******

****7**

******

******

用星号标出的那些数位上的数字偶然被擦掉了,那些不见了的是些什么数字呢?

第05题柯克曼的女学生问题

某寄宿学校有十五名女生,她们经常每天三人一行地散步,问要怎样安排才能使每

个女生同其他每个女生同一行中散步,并恰好每周一次?

第06题伯努利-欧拉关于装错信封的问题TheBernoulli-EulerProblemoftheMisaddressedletters

求n个元素的排列,要求在排列中没有一个元素处于它应当占有的位置.

第07题欧拉关于多边形的剖分问题Euler＆#39;sProblemofPolygonDivision

可以有多少种方法用对角线把一个n边多边形（平面凸多边形）剖分成三角形?

第08题鲁卡斯的配偶夫妇问题Lucas＆#39;ProblemoftheMarriedCouples

n对夫妇围圆桌而坐,其座次是两个妇人之间坐一个男人,而没有一个男人和自己的

妻子并坐,问有多少种坐法?

第09题卡亚姆的二项展开式OmarKhayyam＆#39;sBinomialExpansion

当n是任意正整数时,求以a和b的幂表示的二项式a+b的n次幂.

第10题柯西的平均值定理Cauchy＆#39;sMeanTheorem

求证n个正数的几何平均值不大于这些数的算术平均值.

第11题伯努利幂之和的问题Bernoulli＆#39;sPowerSumProblem

确定指数p为正整数时最初n个自然数的p次幂的和S=1p+2p+3p+…+口口.

第12题欧拉数TheEulerNumber

求函数φ（x）=（1+1/x）x及Φ（x）=（1+1/x）x+1当x无限增大时的极限值.

第13题牛顿指数级数Newton＆#39;sExponentialSeries

将指数函数ex变换成各项为x的幂的级数.

第14题麦凯特尔对数级数NicolausMercator＆#39;sLogarithmicSeries

不用对数表,计算一个给定数的对数.

第15题牛顿正弦及余弦级数Newton＆#39;sSineandCosineSeries

不用查表计算已知角的正弦及余弦三角函数.

第16题正割与正切级数的安德烈推导法AndreDerivationoftheSecantandTangentSeries

在n个数1,2,3,…,n的一个排列c1,c2,…,cn中,如果没有一个元素ci的值介于两个邻近的值ci-1和ci+1之间,则称c1,c2,…,cn为1,2,3,…,n的一个屈折排列.试利用屈折排列推导正割与正切的级数.

第17题格雷戈里的反正切级数Gregory＆#39;sArcTangentSeries

已知三条边,不