04北师大九年级下《38圆内接正多边形》课时练习含答案解析.docx
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04北师大九年级下《38圆内接正多边形》课时练习含答案解析
北师大版数学九年级下册第3章第8节圆内接正多边形同步检测
一、选择题
1.正多边形的中心角是36°，那么这个正多边形的边数是（ ）
A．10B．8C．6D．5
答案：
A
解析：
解答：
设这个正多边形的边数是n，
∵正多边形的中心角是36°，
∴360°n=36°，解得n=10．
故选A．
分析：
设这个正多边形的边数是n，再根据正多边形的中心角是36°求出n的值即可．
2.下列正多边形中，中心角等于内角的是（ ）
A．正三角形B．正四边形C．正六边形D．正八边形
答案：
B
解析：
解答：
设正边形的边数是n．
根据题意得：
180-，
解得：
n=4．
故选B．
分析：
设正边形的边数是n，根据内角根据中心角等于内角，就可以得到一个关于n的方程，解方程就可以解得n的值
3.半径为8cm的圆的内接正三角形的边长为（ ）
A．8cmB．4cmC．8cmD．4cm
答案：
A
解析：
解答：
如图所示：
∵半径为8cm的圆的内接正三角形，
∴在Rt△BOD中，OB=8cm，∠OBD=30°，
∴BD=cos30°×OB=×8=4（cm），
∵BD=CD，
∴BC=2BD=8cm．
故它的内接正三角形的边长为8cm．
故选：
A．
分析：
欲求△ABC的边长，把△ABC中BC边当弦，作BC的垂线，在Rt△BOD中，求BD的长；根据垂径定理知：
BC=2BD，从而求正三角形的边长．
4.圆的内接正五边形ABCDE的边长为a，圆的半径为r．下列等式成立的是（ ）
A．a=2rsin36°B．a=2rcos36°C．a=rsin36°D．a=2rsin72°
答案：
A
解析：
解答：
作OF⊥BC．
∵∠COF=72°÷2=36°，
∴CF=r•sin36°，
∴CB=2rsin36°．
故选A．
分析：
作OF⊥BC，在Rt△OCF中，利用三角函数求出a的长．
5.正八边形的中心角是（ ）
A．45°B．135°C．360°D．1080°
答案：
A
解析：
解答：
正八边形的中心角等于360°÷8=45°；
故选A．
分析：
根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．
6.顺次连接正六边形的三个不相邻的顶点，得到如图的图形，下列说法错误的是（ ）
A．△ACE是等边三角形
B．既是轴对称图形也是中心对称图形
C．连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC
D．图中一共能画出3条对称轴
答案：
B
解析：
解答：
A.∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴△ACE是等边三角形，故本选项正确；
B.∵△ACE是等边三角形，∴是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C.∵△ACE是等边三角形，∴连接AD，则AD分别平分∠EAC与∠EDC，故本选项正确；
D.∵△ACE是等边三角形，∴图中一共能画3条对称轴，故本选项正确．
故选B．
分析：
根据正多边形的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
7.若正多边形的一个外角为60°，则这个正多边形的中心角的度数是（ ）
A．30°B．60°C．90°D．120°
答案：
B
解析：
解答：
∵正多边形的一个外角为60°，
∴正多边形的边数为360÷60=6，
其中心角为360°÷6=60°．
故选B．
分析：
根据正多边形的外角和是360°求出正多边形的边数，再求出其中心角．
8.⊙O的半径等于3，则⊙O的内接正方形的边长等于（ ）
A．3B．2C．3D．6
答案：
C
解析：
解答：
如图所示：
⊙O的半径为3，
∵四边形ABCD是正方形，∠B=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∴AC=2×3=6，
∵，AB=BC，
∴=36，
解得：
AB=3，
即⊙O的内接正方形的边长等于3，
故选C．
分析：
根据正方形与圆的性质得出AB=BC，以及，进而得出正方形的边长即可．
9.如图，在一张圆形纸片上剪下一个面积最大的正六边形纸片ABCDEF，它的边长是24cm，的长度是（ ）
A．6πcmB．8πcmC．36πcmD．96πcm
答案：
B
解析：
解答：
连接OB、OA，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴OB=AB=24cm，
∴
故选B
分析：
连接OA、OB，得出等边三角形AOB，求出OB长和∠AOB度数，根据弧长公式求出即可．
10.若一个正六边形的半径为2，则它的边心距等于（ ）
A．2B．1C．D．2
答案：
C
解析：
解答：
已知正六边形的半径为2，则正六边形ABCDEF的外接圆半径为2，
如图：
连接OA，作OM⊥AB于点M，
得到∠AOM=30°，
则OM=OA•cos30°=．
则正六边形的边心距是．
故选C．
分析：
根据正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．
11.已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（ ）
A．3B．9C．18D．36
答案：
C
解析：
解答：
连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，
等边三角形的边长是2，高为3，
因而等边三角形的面积是3，
∴正六边形的面积=18，
故选C．
分析：
解题的关键要记住正六边形的特点，它被半径分成六个全等的等边三角形．
12.已知某个正多边形的内切圆的半径是，外接圆的半径是2，则此正多边形的边数是（ ）
A．八B．六C．四D．三
答案：
B
解析：
解答：
根据勾股定理得：
=1，
∴正多边形的边长为2，
∴正多边形的中心角为60°，
∴此正多边形是正六边形，
故选B．
分析：
根据正多边形的内切圆的半径，外接圆的半径，正多边形的边长的一半构成直角三角形，可得出正多边形的中心角，从而得出正多边形的边数即可．
13.正三角形的外接圆半径与内切圆的半径之比是（ ）
A．1：
2B．1：
C．：
1D．2：
1
答案：
D
解析：
解答：
如图，
△ABC是等边三角形，AD是高．点O是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点O在AD上，并且点O还是它的内切圆的圆心．
∵AD⊥BC，∠1=∠4=30°，
∴BO=2OD，而OA=OB，
∴OA：
OD=2：
1．
故选D．
分析：
先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可．
14、已知圆内接正三角形的边心距为1，则这个三角形的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
答案：
B
解析：
解答：
如图所示：
作AD⊥BC与D，连接OB，
则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，
∵△ABC是等边三角形，
∴BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，
∴OA=OB=2OD=2，
∴AD=3，BD=，
∴BC=2，
∴△ABC的面积=BC•AD=×2×3=3；
故选：
B．
分析：
作AD⊥BC与D，连接OB，则AD经过圆心O，∠ODB=90°，OD=1，由等边三角形的性质得出BD=CD，∠OBD=∠ABC=30°，得出OA=OB=2OD，求出AD、BC，△ABC的面积=BC•AD，即可得出结果．
15.如图，以正六边形ADHGFE的一边AD为边向外作正方形ABCD，则∠BED的度数为（ ）
A．30°B．45°C．50°D．60°
答案：
B
解析：
解答：
∵正六边形ADHGFE的内角为120°，
正方形ABCD的内角为90°，
∴∠BAE=360°-90°-120°=150°，
∵AB=AE，
∴∠BEA=×（180°-150°）=15°，
∵∠DAE=120°，AD=AE，
∴∠AED=（180°−120°）÷2=30°，
∴∠BED=15°+30°=45°．
故选B
分析：
根据正六边形ADHGFE的内角为120°，正方形ABCD的内角为90°，求出∠BEA，∠AED，据此即可解答．
二、填空题
16.利用等分圆可以作正多边形，只利用直尺和圆规不能作出的多边形是.
答案：
正七边形
解析：
解答：
直接利用圆的半径即可将圆等分为6份，这样即可得出正三角形，也可以得出正六边形，作两条互相垂直的直径即可将圆4等分，可得出正方形，但是无法利用圆规与直尺7等分圆，故无法得到正七边形．
故答案为：
正七边形．
分析：
利用直尺和圆规可以将圆等分为6份、4份，这样即可得出正三角形、正方形、正六边形等，但是无法得到正七边形．
17.一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm，则边心距是.
答案：
8cm
解析：
解答：
∵一个正n边形的面积是240cm2，周长是60cm，
∴设边心距是hcm，则×60×h=240，
解得：
h=8（cm），
即边心距为8cm.
分析：
根据正n边形的面积=周长×边心距，进而得出答案．
18.若一个正多边形的一个外角为60°，则它的内切圆半径与外接圆半径之比是.
答案：
：
2．
解析：
解答：
∵一个正多边形的一个外角为60°，
∴360°÷60°=6，
∴这个正多边形是正六边形，
设这个正六边形的半径是r，
则外接圆的半径r，
∴内切圆的半径是正六边形的边心距，即是r，
∴它的内切圆半径与外接圆半径之比是：
：
2．
分析：
由一个正多边形的一个外角为60°，可得是正六边形，然后从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的三边引垂线，构建直角三角形，解三角形即可．
19.如图所示，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接六边形的面积为
答案：
解析：
解答：
连接AO，BO，过点O作OE⊥AB于点E，
∵∠C=30°，
∴∠AOB=60°，
∵AO=BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴AO=BO=AB=1，
∴EO=sin60°×1=，
∴S△AOB=×EO×AB=，
∴⊙O的内接六边形的面积为：
6×=．
分析：
利用圆周角定理以及等边三角形的判定与性质得出△AOB的面积，进而得出答案．
20.人民币1993年版的一角硬币正面图案中有一个正九边形，如果设这个正九边形的半径为R，那么它的周长是.
答案：
18Rsin20°
解析：
解答：
连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，
则OA=OB=R，
∵九边形ABCDEFGHI是正九边形，
∴AB=BC=CD=DE=EF=GF=GH=HI=AI，∠AOB=360°÷9=40°，
在△AOM中，sin∠AOM=，
AM=OAsin20°=Rsin20°，
∵OA=OB，OM⊥AB，
∴AB=2AM=2Rsin20°，
即正九边形的周长是9×2Rsin20°=18Rsin20°.
分析：
连接OA、OB，过O作OM⊥AB于M，根据正九边形得出
AB=BC=CD=DE=EF=GF=GH=HI=AI,∠AOB=40，在△AOM中求出AM=OAsin20°=Rsin20°，根据三线合一定理得出AB=2AM=2Rsin20°，即可求出正九边形的周长．
三、证明、计算题
21.已知，如图，△ABC内接于⊙O，AB=AC，∠BAC=36°，AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，证明：
五边形AEBCF是⊙O的内接正五边形．
答案：
见解析
解析：
解答：
连接BF，CE，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
又∵∠BAC=36°，
∴∠ABC=∠ACB=72°．
又∵AB、AC的中垂线分别交⊙O于点E、F，
∴AF=CF，AE=B
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