中考数学 一轮专题突破正方形综合含答案Word格式文档下载.docx

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A.60°

B.67.5°

C.75°

D.54°

6.（2020·

湖北孝感）如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°

，到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G，若BG=3，CG=2，则CE的长为（）

B.

C.4D.

7.（2020·

温州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，以其三边为边向外作正方形，过点C作CR⊥FG于点R，再过点C作PQ⊥CR分别交边DE，BH于点P，Q．若QH＝2PE，PQ＝15，则CR的长为

A．14B．15C．

D．

8.（2020·

东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B重合），对角线AC、BD相交于点O，过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，交AD、BC于点M、N，下列结论：

①△APE≌△AME；

②PM+PN=AC；

③

；

④△POF∽△BNF；

⑤点O在M、N两点的连线上．其中正确的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤D.③④⑤

二、填空题

9.将边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置（如图），使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD=　　　　.（结果保留根号） 

10.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，若△EFC的周长为12，则EC的长为　　　　. 

11.如图，正方形ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线，若∠D＝60°

，BC＝2，则点D的坐标是________．

12.▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：

________，使得▱ABCD为正方形．

13.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4

的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型（其中点Q，R分别与图②中的点E，G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是　　　　. 

14.如图，正方形ABCD的面积为3cm2，E为BC边上一点，∠BAE＝30°

，F为AE的中点，过点F作直线分别与AB，DC相交于点M，N.若MN＝AE，则AM的长等于________cm.

三、解答题

15.如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是OC上一点，连接EB.过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM与BD相交于点F.

求证:

OE=OF.

16.如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G.

（1）求证:

△ADG≌△DCE;

（2）连接BF，求证:

AB=FB.

17.如图，正方形ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE相交于点G．

（1）求证：

BE=AF；

（2）若AB=4，DE=1，求AG的长．

18.如图，已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM.

（1）如图①，点E在CD上，点G在BC的延长线上，判断DM，EM的数量关系与位置关系，请直接写出结论.

（2）如图②，点E在DC的延长线上，点G在BC上，

（1）中结论是否仍然成立?

请证明你的结论.

正方形综合-答案

1.【答案】B　[解析]A.▱ABCD中，若∠ABC=90°

，则▱ABCD是矩形，再由AB=AD可得是正方形，故此选项错误;

B.▱ABCD中，若AB=BC，则▱ABCD是菱形，再由AC⊥BD仍可得是菱形，不能判定为正方形，故此选项正确;

C.▱ABCD中，若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，再由AC=BD可得是正方形，故此选项错误;

D.▱ABCD中，若AC=BD，则▱ABCD是矩形，再由AB=BC可得是正方形，故此选项错误.故选B.

2.【答案】B

3.【答案】B　【解析】设CH＝x，∵BE∶EC＝2∶1，BC＝9，∴EC＝3，由折叠可知，EH＝DH＝9－x，在Rt△ECH中，由勾股定理得：

（9－x）2＝32＋x2，解得：

x＝4.

4.【答案】C　[解析]连接EF.∵AE=AF，∠EAF=60°

，∴△AEF为等边三角形，∴AE=EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠D=∠C=90°

，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∴EC=CF.设CF=x，则EC=x，AE=EF=

=

x，BE=1-x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，∴1+（1-x）2=（

x）2，解得x=

-1（舍负）.故选C.

5.【答案】A　[解析]连接BF，∵E为AB中点，FE⊥AB，∴EF垂直平分AB，∴AF=BF.∵AF=2AE，

∴AF=AB，∴AF=BF=AB，∴△ABF为等边三角形，∴∠FBA=60°

，BF=BC，∴∠FCB=∠BFC=15°

，∵四边形ABCD为正方形，

∴∠DBC=45°

，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和得∠DOC=15°

+45°

=60°

.

6.【答案】B

【解析】由旋转的性质得△ABF≌△ADE，∴BF=DE，AF=AE，又∵AH⊥EF，∴FH=EH，

∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=90°

，∠EFC=∠EFC，∴△FHG∽△FCE，∴

，

∵BG=3，CG=2，∴BC=5，设EC=x，则BF=DE=5-x，FG=BG+BF=3+5-x=8-x，CF=BC+BF=5+5-x=10-x，EF=

，FH=

∴

，解得：

x=

.故选B.

7.【答案】A

【解析】本题主要考查了相似三角形和正方形的性质，由题意知△CDP∽△CBQ，所以

，即

BC＝2CD，所以CQ＝2CP，则CP＝5，CQ＝10，由于PQ∥AB，所以∠CBA＝∠BCQ＝∠DCP，则tan∠BCQ＝tan∠DCP＝tan∠CBA＝

，不妨设DP＝x，则DC＝2x，在Rt△DCP中，

，解得x＝

.∴DC＝2

，BC＝4

，所以AB＝10，△ABC的斜边上的高＝

所以CR＝14，所以因此本题选A．

8.【答案】B

【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，灵活的运用所学知识是解答本题的关键．综合应用垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论．

①∵正方形ABCD，∴∠APE=∠AME=45°

，∵PM⊥AE，∴∠AEP=∠AEM=90°

，∵AE=AE，∴△APE≌△AME（ASA）；

②过点N作NQ⊥AC于点Q，则四边形PNQE是矩形，∴PN=EQ，∵正方形ABCD，∴∠PAE=∠MAE=45°

，∵PM⊥AE，∴∠PEA=45°

，∴∠PAE=∠APE，PE=NQ，∴△APE等腰直角三角形，∴AE=PE，同理得：

△NQC等腰直角三角形，∴NQ=CQ，∵△APE≌△AME，∴PE=ME，∴PE=ME=NQ=CQ，∴PM=AE+CQ，∴PM+PN=AE+CQ+EQ=AC，即PM+PN=AC成立；

③∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，∴∠EOF是直角，∵过点P分别作AC、BD的垂线，分别交AC、BD于点E、F，∴∠PEO和∠PFO是直角，∴四边形PFOE是矩形，∴PF=OE，在Rt△PEO中，有PE2+OE2=PO2，∴PE2+PF2=PO2，即PE2+PF2=PO2成立；

④△BNF是等腰直角三角形，点P不在AB的中点时，△POF不是等腰直角三角形，所以△POF与△BNF不一定相似，即△POF∽△BNF不一定成立；

⑤∵△AMP是等腰直角三角形，△PMN∽△AMP，∴△PMN是等腰直角三角形，∵∠MPN=90°

，∴PM=PN，∵AP=

PM，BP=

PN，∴AP=BP，∴点P是AB的中点，又∵O为正方形的对称中点，∴点O在M、N两点的连线上．综上，①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B．

9.【答案】

-1　[解析]∵四边形ABCD为正方形，

∴CD=1，∠CDA=90°

∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置，使得点D落在对角线CF上，

∴CF=

，∠CFE=45°

，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF-CD=

-1.

故答案为

-1.

10.【答案】5　[解析]∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴∠FAE=45°

，又∵EF⊥AC，

∴∠AFE=90°

，∴∠AEF=45°

∴EF=AF=3，

∵△EFC的周长为12，

∴FC=12-3-EC=9-EC，

在Rt△EFC中，EC2=EF2+FC2，

∴EC2=9+（9-EC）2，

解得EC=5.

11.【答案】

（

＋2，1）　【解析】如解图，过点D作DG⊥BC于G，DF⊥x轴于F，∵在菱形BDCE中，BD＝CD，∠BDC＝60°

，∴△BCD是等边三角形，∴DF＝CG＝

BC＝1，CF＝DG＝

，∴OF＝

＋2，∴D（

＋2，1）．

解图

12.【答案】∠BAD＝90°

（答案不唯一）　【解析】∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°

时，菱形ABCD为正方形．故可添加条件：

∠BAD＝90°

.

13.【答案】4

　[解析]如图，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M.

在Rt△EMG中，∵GM=4，EM=2+2+4+4=12，

∴EG=

=4

∴EH=

14.【答案】

或

　【解析】如解图，过N作NG⊥AB，交AB于点G，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝NG＝

cm，在Rt△ABE中，∠BAE＝30°

，AB＝

cm，∴BE＝1cm，AE＝2cm，∵F为AE的中点，∴AF＝

AE＝1cm，在Rt△ABE和Rt△NGM中，

，∴Rt△ABE≌Rt△NGM（HL），∴BE＝GM，∠BAE＝∠MNG＝30°

，∠AEB＝∠NMG＝60°

，∴∠AFM＝90°

，即MN⊥AE，在Rt△AMF中，∠FAM＝30°

，AF＝1cm，∴AM＝

＝

cm，由对称性得到AM′＝BM＝AB－AM＝

－

cm，综上，AM的长等于

cm.

15.【答案】

证明:

在正方形ABCD中，AC⊥BD，

∴∠AOF=∠BOE=90°

∵AM⊥BE，∴∠AME=90°

∴∠FAO+∠AEB=∠EBO+∠AEB=90°

∴∠FAO=∠EBO.

在正方形ABCD中，

AC=BD，OA=

AC，OB=

BD，

∴OA=OB，

∴△AOF≌△BOE（ASA），∴OE=OF.

16.【答案】

（1）∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADG=∠C=90°

，AD=DC，

又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF=90°

=∠CDE+∠ADF，∴∠DAG=∠CDE，

∴△ADG≌△DCE（ASA）.

（2）如图，延长DE交AB的延长线于H，

∵E是BC的中点，∴BE=CE.

又∵∠C=∠HBE=90°

，∠DEC=∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH=DC=AB，即B是AH的中点.

又∵∠AFH=90°

∴Rt△AFH中，BF=

AH=AB.

17.【答案】

∴∠BAE=∠ADF=90°

，AB=AD=CD，

∵DE=CF，∴AE=DF，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF（SAS），

∴BE=AF；

（2）解：

由

（1）得：

△BAE≌△ADF，

∴∠EBA=∠FAD，

∴∠GAE+∠AEG=90°

∴∠AGE=90°

∵AB=4，DE=1，

∴AE=3，

∴BE=

=5，

在Rt△ABE中，

AB×

AE=

BE×

AG，

∴AG=

．

18.【答案】

解:

（1）结论:

DM⊥EM，DM=EM.

[解析]延长EM交AD于H.

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，

∴∠ADE=∠DEF=90°

AD=CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH=∠MFE，

∵AM=MF，∠AMH=∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH=ME，AH=EF=EC，∴DH=DE，

∵∠EDH=90°

∴DM⊥EM，DM=ME.

（2）结论不变.DM⊥EM，DM=EM.

延长EM交DA的延长线于H.

∴MH=ME，AH=EF=EC，

∴DH=DE，

∴DM⊥EM，DM=ME.