河南省中考数学专题复习专题七类比探究题训练Word文件下载.docx

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同理，得＝tan30°

∵∠AOB＝∠COD＝90°

∴∠AOC＝BOD，

∴△AOC∽△BOD，

∴＝＝，∠CAO＝∠DBO.

∴∠AMB＝180°

－∠CAO－∠OAB－MBA＝180°

－（∠DAB＋∠MBA＋∠OBD）＝180°

－90°

＝90°

①点C与点M重合时，如解图①，

同理得△AOC∽△BOD，

∴∠AMB＝90°

，＝，

设BD＝x，则AC＝x，

在Rt△COD中，

∵∠OCD＝30°

，OD＝1，

∴CD＝2，

∴BC＝x－2.

在Rt△AOB中，∠OAB＝30°

，OB＝.

∴AB＝2OB＝2，

在Rt△AMB中，由勾股定理，得AC2＋BC2＝AB2，

即（x）2＋（x－2）2＝

（2）2，

解得x1＝3，x2＝－2（舍去），

∴AC＝3；

②点C与点M重合时，如解图②，同理得：

∠AMB＝90°

即（x）2＋（x＋2）2＝

（2）2

解得x1＝－3，解得x2＝2（舍去）．

∴AC＝2.

综上所述，AC的长为3或2.

图①

图②

例1题解图

1．（2016·

河南）

（1）发现

如图①，点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b.

填空：

当点A位于________________时，线段AC的长取得最大值，且最大值为__________（用含a，b的式子表示）．

（2）应用

点A为线段BC外一动点，且BC＝3，AB＝1，如图②所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE.

①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；

②直接写出线段BE长的最大值．

（3）拓展

如图③，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA＝2，PM＝PB，∠BPM＝90°

，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．

2．（2015·

河南）如图①，在Rt△ABC中，∠B＝90°

，BC＝2AB＝8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.

①当α＝0°

时，＝____；

②当α＝180°

（2）拓展探究

试判断：

当0°

≤α<

360°

时，的大小有无变化？

请仅就图②的情形给出证明．

（3）解决问题

当△EDC旋转至A，D，E三点共线时，直接写出线段BD的长．

3．（2014·

如图①，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE.

①∠AEB的度数为__________；

②线段AD，BE之间的数量关系为______________．

如图②，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°

，点A，D，E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系，并说明理由．

如图③，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝1，且∠BPD＝90°

，请直接写出点A到BP的距离．

4．（2018·

南阳二模）在△ABC中，∠ACB是锐角，点D在射线BC上运动，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°

，得到AE，连接EC.

（1）操作发现

若AB＝AC，∠BAC＝90°

，当D在线段BC上时（不与点B重合），如图①所示，请你直接写出线段CE和BD的位置关系和数量关系是______________，______________；

（2）猜想论证

在

（1）的条件下，当D在线段BC的延长线上时，如图②所示，请你判断

（1）中结论是否成立，并证明你的判断．

如图③，若AB≠AC，∠BAC≠90°

，点D在线段BC上运动，试探究：

当锐角∠ACB等于________度时，线段CE和BD之间的位置关系仍成立（点C，E重合除外）？

此时若作DF⊥AD交线段CE于点F，且当AC＝3时，请直接写出线段CF的长的最大值是____．

5．已知，如图①，△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形（其顶点B，E重合），∠BAC＝∠AED＝90°

，O为BC的中点，F为AD的中点，连接OF.

①如图①，＝_______；

②将△AED绕点A逆时针旋转45°

，如图②，＝_______；

（2）类比延伸

将图①中△AED绕点A逆时针旋转到如图③所示的位置，请计算出的值，并说明理由．

（3）拓展探究

将图①中△AED绕点A逆时针旋转，旋转角为α，0°

≤α≤90°

，AD＝，△AED在旋转过程中，存在△ACD为直角三角形，请直接写出线段CD的长．

类型二图形面积关系问题

（2017·

河南）如图①，在Rt△ABC中，∠A＝90°

，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．

（1）观察猜想

图①中，线段PM与PN的数量关系是________，位置关系是________；

（2）探究证明

把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；

把△ADE绕A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

例2题图

【分析】

（1）利用三角形的中位线定理得出PM＝CE，PN＝BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线定理得出PM∥CE，继而得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；

（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同

（1）的方法得出PM＝BD，PN＝BD，即可得出PM＝PN，同

（1）的方法即可得出结论；

（3）先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM＋AN，最后用面积公式即可得出结论．

【自主解答】

（1）∵点P，N是BC，CD的中点，

∴PN∥BD，PN＝BD.

∵点P，M是CD，DE的中点，

∴PM∥CE，PM＝CE.

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴BD＝CE，

∴PM＝PN.

∵PN∥BD，

∴∠DPN＝∠ADC，

∵PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCA.

∵∠BAC＝90°

∴∠ADC＋∠ACD＝90°

∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCA＋∠ADC＝90°

∴PM⊥PN，

（2）由旋转知，∠BAD＝∠CAE，

∴△ABD≌△ACE（SAS），

∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE.

同

（1）的方法，利用三角形的中位线定理，得PN＝BD，

PM＝CE，

∴PM＝PN，

∴△PMN是等腰三角形，

同

（1）的方法得，PM∥CE，

∴∠DPM＝∠DCE，

同

（1）的方法得，PN∥BD，

∴∠PNC＝∠DBC.

∵∠DPN＝∠DCB＋∠PNC＝∠DCB＋∠DBC，

∴∠MPN＝∠DPM＋∠DPN＝∠DCE＋∠DCB＋∠DBC＝∠BCE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ACE＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABD＋∠DBC＝∠ACB＋∠ABC.

∴∠ACB＋∠ABC＝90°

∴∠MPN＝90°

∴△PMN是等腰直角三角形，

例2题解图

（3）如解图，同

（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，

∴当MN最大时，△PMN的面积最大，

∴DE∥BC且DE在顶点A上面，

∴MN最大＝AM＋AN，

连接AM，AN，

在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°

∴AM＝2，

在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，

∴MN最大＝2＋5＝7，

∴S△PMN最大＝PM2＝×

MN2＝×

（7）2＝.

1．（2013·

河南）如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°

，∠B＝∠E＝30°

如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：

①线段DE与AC的位置关系是______________；

②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是______________．

当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想

（1）中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．

已知∠ABC＝60°

，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E（如图④）．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．

2．已知Rt△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°

，D为AB边的中点，∠EDF＝90°

，将∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于E，F.当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时，如图①所示，试证明S△DEF＋S△CEF＝S△ABC.

（1）当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，如图②所示，上述结论是否成立？

若成立，请说明理由；

若不成立，试说明理由．

（2）直接写出图③中，S△DEF，S△CEF与S△ABC之间的数量关系．

3．（2018·

郑州模拟）如图①所示，将两个正方形ABCD和正方形CGFE如图所示放置，连接DE，BG.

（1）图中∠DCE＋∠BCG＝__________°

设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，则S1与S2的数量关系为______________；

猜想论证：

（2）如图②所示，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转后得到矩形FECG，连接DE，BG，设△DCE的面积为S1，△BCG的面积为S2，猜想S1和S2的数量关系，并加以证明；

（3）如图③所示，在△ABC中，AB＝AC＝10cm，∠B＝30°

，把△ABC沿AC翻折得到△AEC，过点A作AD平行CE交BC于点D，在线段CE上存在点P，使△ABP的面积等于△ACD的面积，请写出CP的长．

驻马店一模）如图①，△ABC与△CDE都是等腰直角三角形，直角边AC，CD在同一条直线上，点M，N分别是斜边AB，DE的中点，点P为AD的中点，连接AE，BD，PM，PN，MN.

图①中，PM与PN的数量关系是______________，位置关系是______________；

将图①中的△CDE绕着点C顺时针旋转α（0°

＜α＜90°

），得到图②，AE与MP，BD分别交于点G，H，判断△PMN的形状，并说明理由；

把△CDE绕点C任意旋转，若AC＝4，CD＝2，请直接写出△PMN面积的最大值．

参考答案

类型一

针对训练

1．解：

（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC＝a，AB＝b，

∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC＋AB＝a＋b.

（2）①CD＝BE，

理由：

∵△ABD与△ACE是等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°

∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB.

在△CAD和△EAB中，，

∴△CAD≌△EAB，∴CD＝BE.

②∵线段BE长的最大值等于线段CD的最大值，

由

（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，

∴线段BE长的最大值为BD＋BC＝AB＋BC＝4；

（3）∵将△APM绕着点P顺时针旋转90°

得到△PBN，连接AN，如解图①，

则△APN是等腰直角三角形，

∴PN＝PA＝2，BN＝AM.

∵点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），

∴OA＝2，OB＝5，∴AB＝3，

∴线段AM长的最大值等于线段BN长的最大值，

∴当点N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，

最大值为AB＋AN.

∵AN＝AP＝2，

∴线段AM的长最大值为2＋3.

如解图②，过点P作PE⊥x轴于点E.

∵△APN是等腰直角三角形，

∴PE＝AE＝，

∴OE＝BO－AB－AE＝5－3－＝2－，

∴P（2－，）．

第1题解图

2．解：

（1）①当α＝0°

时，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°

∴AC＝＝＝4.

∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴AE＝4÷

2＝2，BD＝8÷

2＝4，

∴＝＝.

②如解图①，当α＝180°

得可得AB∥DE，

∵＝，

∴＝＝＝.

（2）当0°

≤α≤360°

时，的大小没有变化．

∵∠ECD＝∠ACB，

∴∠ECA＝∠DCB.

又∵＝＝，

∴△ECA∽△DCB，

图③

第2题解图

（3）①如解图②，

∵AC＝4，CD＝4，CD⊥AD，

∴AD＝＝＝＝8.

∵AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°

∴四边形ABCD是矩形，

∴BD＝AC＝4.

③如解图③，连接BD，过点D作AC的垂线交AC于点Q，过点B作AC的垂线交AC于点P，

∴AD＝＝＝＝8，

∴DE＝AB＝×

（8÷

2）＝×

4＝2，

∴AE＝AD－DE＝8－2＝6，

由

（2），可得＝，

∴BD＝＝.

综上所述，BD的长为4或.

3．解：

（1）∵△ACB和△DCE均为等边三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°

∴∠ACD＝∠BCE.

在△ACD和△BCE中，

∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠ADC＝∠BEC.

∵△DCE为等边三角形，∴∠CDE＝∠CED＝60°

∵点A，D，E在同一直线上，∴∠ADC＝120°

∴∠BEC＝120°

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝60°

②∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE.

（2）∠AEB＝90°

，AE＝BE＋2CM.

理由如下：

∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，

∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC.

∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠CED＝45°

∵点A，D，E在同一直线上，

∴∠ADC＝135°

，∴∠BEC＝135°

∴∠AEB＝∠BEC－∠CED＝90°

∵CD＝CE，CM⊥DE，∴DM＝ME.

∵∠DCE＝90°

，∴DM＝ME＝CM，

∴AE＝AD＋DE＝BE＋2CM.

（3）∵PD＝1，∴点P在以点D为圆心，1为半径的圆上．

∵∠BPD＝90°

，∴点P在以BD为直径的圆上，

∴点P是这两圆的交点．

①当点P在如解图①所示位置时，

连接PD，PB，PA，作AH⊥BP，垂足为H，

过点A作AE⊥AP，交BP于点E.

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ADB＝45°

，AB＝AD＝DC＝BC＝，∠BAD＝90°

∴BD＝2.∵DP＝1，∴BP＝.

∵∠BPD＝∠BAD＝90°

∴点A、P、D、B在以BD为直径的圆上，

∴∠APB＝∠ADB＝45°

∴△PAE是等腰直角三角形．

又∵△BAD是等腰直角三角形，点B，E，P共线，AH⊥BP，

∴由

（2）中的结论可得：

BP＝2AH＋PD，

∴＝2AH＋1，

∴AH＝；

②当点P在如解图②所示位置时，

连接PD、PB、PA、作AH⊥BP，垂足为H，

过点A作AE⊥AP，交PB的延长线于点E，

同理可得：

BP＝2AH－PD，

∴＝2AH－1，

∴AH＝.

综上所述，点A到BP的距离为或.

第3题解图

4．解：

（1）①∵AB＝AC，∠BAC＝90°

线段AD绕点A逆时针旋转90°

得到AE，

∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE，

∴CE＝BD，∠ACE＝∠B，

∴∠BCE＝∠BCA＋∠ACE＝90°

∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系为CE＝BD，CE⊥BD；

（2）

（1）中的结论仍然成立．证明如下：

如解图①，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°

∴AE＝AD，∠DAE＝90°

∵AB＝AC，∠BAC＝90°

∴∠CAE＝∠BAD，

∴△ACE≌△ABD，

∴∠BCE＝90°

（3）45°

过A作AM⊥BC于M，过点E作EN⊥MA交MA的延长线于N，如解图②.

∴∠DAE＝90°

，AD＝AE，

∴∠NAE＝∠ADM，易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，

∴NE＝AM.

∵CE⊥BD，即CE⊥MC，∴∠MCE＝90°

∴四边形MCEN为矩形，

∴NE＝MC，∴AM＝MC，

∴∠ACB＝45°

∵四边形MCEN为矩形，

∴Rt△AMD∽Rt△DCF，

∴＝，设DC＝x，

∵在Rt△AMC中，∠ACB＝45°

，AC＝3，

∴AM＝CM＝3，MD＝3－x，∴＝，

∴CF＝－x2＋x＝－（x－）2＋，

∴当x＝时，CF有最大值，最大值为.

故答案为45°

，；

第4题解图

5．解：

（1）①∵△ABC，△AED是两个全等的等腰直角三角形，

∴AD＝BC.

∵O为BC的中点，F为AD的中点，

∴AF＝OC.

∵∠BAC＝∠AED＝90°

，AB＝AC，AE＝DE，

∴∠DAE＝∠CBA＝45°

∴AD∥BC，

∴四边形AFOC是平行四边形，

∴OF＝AC＝EC，∴＝；

故答案：

②∵AO＝AC，∠BAO＝∠CAO＝45°

，∠DAE＝45°

∴∠DAE＝∠CAO.

∵AE＝AC，

∴AF＝AO，

∴＝，

∴△AFO∽△AEC，

∴＝＝；

（2）OF＝EC.

在等腰直角△ADE中，F为AD的中点，

∴AF＝AD＝AE.

在等腰直角△ABC中，O为BC的中点，

如解图①，连接AO，

∴AO＝AC，∠BAO＝∠CAO＝45°

∴∠DAE＝45°

∴∠DAE＝∠CAO，即∠DAO＝∠CAE.

（3）∵△ABC和△AED是两个全等的等腰直角三角形，

∴AD＝BC＝，

∴ED＝AE＝AB＝AC＝1，

当△ACD为直角三角形时，分两种情况：

第5题解图

①当AD与AB重合时，如解图②，连接CD.

当△ACD为直角三角形时，AD⊥AC，

即将△ADE绕点A逆时针旋转45°

∵AD＝，AC＝1，

∴由勾股定理可得CD＝＝；

②当AE与AC重合时，如解图③，

当△ACD为直角三角形时，AC⊥CD，

即将△ADE绕点A逆时针旋转90°

，此时CD＝AC＝1.

综上所述，CD的长为或1.

类型二

（1）①△DEC绕点C旋转到点D恰好落在AB边上，

∴AC＝CD.

－∠B＝90°

－30°

＝60°

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACD＝60°

又∵∠CDE＝∠BAC＝60°

∴∠ACD＝∠CDE，

∴DE∥AC；

②∵∠B＝30°

，∠C＝90°

∴CD＝AC＝AB，

∴BD＝AD＝AC，

根据等边三角形的性质，△ACD的边AC，AD上的高相等，

∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S1＝S2；

（2）∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，

∴BC＝CE，AC＝CD，∠DCE＝∠ACB＝90°

∵∠ACN＋∠ACE＝180°

∴∠ACN＝∠DCM.

在△ACN和△DCM中，

∴△ACN≌△DCM（AAS），

∴AN＝DM，

（3）如解图，过点D作DF1∥BE交BA于点F1，易求得四边形BEDF1是菱形，∴BE＝DF1，且BE，DF1边上的高相等，

此时S△DCF1＝S△BDE；

过点D作DF2⊥BD.

∵∠ABC＝60°

，F1D∥BE交BA于点F2，

∴∠F2F1D＝∠ABC＝60°

∵BF1＝DF1，∠F1BD＝∠ABC＝30°

，∠F2DB＝90°

∴∠F1DF2＝∠ABC＝60°

∴△DF1F2是等边三角形，

∴DF1＝DF2.

∵BD＝CD，∠ABC＝60°

，点D是角平分线上一点，

∴DBC＝∠DCB＝×

60°

＝30°

∴∠CDF1＝180°

－∠BCD＝180°

＝150°

∠CDF2＝360°

－150°

－60°

∴∠CDF1＝∠CDF2.

在△CDF1和△CDF2中，

∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点．

，点D是角平分线上一点，DE∥AB，

∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝×

又∵BD＝4，

∴BE＝×

4÷

cos30°

＝2÷

∴BF1＝，BF2＝BF1＋F1F2＝＋＝.

故BF的长为或.

当∠EDF