万有引力与航天能量守恒讲解.docx
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万有引力与航天能量守恒讲解
第六章万有引力与航天
第一单元行星的运动、万有引力定律
【知识要点】
一．开普勒行星运动定律
所有行星绕太阳运动的轨道都是,太阳处在椭圆的一个焦点上。
对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等。
所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即
（K只与中心天体质量M有关）。
二.万有引力定律：
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的乘积成正比，跟它们的二次方成反比。
表达式：
。
说明：
万有引力定律适用于两个质点（两个天体）、一个质点和一个均匀球（卫星和地球）、两个均匀球体（质量均匀分布的球可以看作质量在球心的质点）。
三.万有引力定律的应用：
（天体质量M,卫星质量m，天体半径R,轨道半径r，天体表面重力加速度g,卫星运行向心加速度аn，卫星运行周期T）。
1.两种基本思路：
万有引力=向心力（一个天体绕另一个天体作圆周运动时，r=R+h）
G
人造地球卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星r=R+h）：
，r越大，v越小；
，r越大，
越小；
，r越大，
T越大；r越大，
越小。
在天体表面任意放一物体万有引力近似等于重力（重力是万有引力的一个分力）。
地面物体的重力加速度：
mg=G
g=G
≈9.8m/s2
高空物体的重力加速度：
mg′=G
g′=G
<9.8m/s2
2.用万有引力定律求中心天体的质量和密度
（1）利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
由于，故天体质量M＝，
天体密度ρ＝＝＝。
（2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T，轨道半径r。
由万有引力等于向心力，即，得出中心天体质量M＝；中心天体密度ρ＝＝，若为近天体表面卫星，则r≈R，ρ＝。
（3）万有引力和重力的关系:
一般的星球都在不停地自转，星球表面的物体随星球自转需要向心力，因此星球表面上的物体所受万有引力的一个分力是重力，另一个分力是使该物体随星球自转所需的向心力
【导与练】
1.假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为（ ）
A.B.C.D.
2.若有一颗“宜居”行星，其质量为地球的p倍，半径为地球的q倍，则该行星卫星的环绕速度是地球卫星环绕速度的（ ）
A.倍B.倍C.倍D.倍
3.假设地球是一半径为R.质量分布均匀的球体。
一矿井深度为d。
已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。
矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为（）
A．1－B．1+C．
D．
4．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为
设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为
，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为（）
A．
B.
C．
D.
5.一个人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，假如该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的1/4，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（）
A.向心加速度大小之比为4:
1B.角速度大小之比为2:
1
C.周期之比为1:
8D.轨道半径之比为1:
2
6．一物体静置在平均密度为
的球形天体表面的赤道上。
已知万有引力常量Ｇ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
太阳
7．2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家，如图所示，该拉格朗日点位于太阳与地球连线的延长线上，一飞行器位于该点，
在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的（）
A．线速度大于地球的线速度
B．向心加速度大于地球的向心加速度
C．向心力仅由太阳的引力提供
D．向心力仅由地球的引力提供
8.如图:
甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕质量为M和2M的行星
做匀速圆周运动，下列说法正确的是（）
A．甲的向心加速度比乙的小
B．甲的运行周期比乙的小
C．甲的角速度比乙大
D．甲的线速度比乙大
9.动能相等的两人造地球卫星A、B的轨道半径之比
，它们的角速度之比
，质量之比
。
第二单元宇宙速度
【知识要点】
一.第一宇宙速度:
卫星在地球表面附近（轨道半径可视为地球半径）绕地球作圆周运动的线速度,在所有圆周运动的卫星中是最大的运行速度,是最小的发射速度.
卫星贴近地球表面飞行
。
地球表面任意放一物体
：
=
=7.9km/s。
说明：
7.9km/s称为第一宇宙速度；11.2km/s称为第二宇宙速度（又叫脱离速度）；16.7km/s称为第三宇宙速度（又叫逃逸速度）。
二．近地卫星和极地卫星
1.近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，又因为在地面附近
，所以有
。
它们分别是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度和周期。
2.极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。
3.两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心。
三．地球同步卫星的特点
1.轨道平面一定：
轨道平面和赤道平面重合。
2.周期一定：
与地球自转周期相同，即T＝24h＝86400s。
3.角速度一定：
与地球自转的角速度相同。
4.高度一定：
据G＝mr得r＝＝4.24×104km，
卫星离地面高度h＝r－R≈6R（为恒量）。
5.速率一定：
运动速度v＝2πr/T＝3.07km/s（为恒量）。
6.绕行方向一定：
与地球自转的方向一致。
说明：
“同步”的含义就是和地球保持相对静止（又叫静止轨道卫星），
四．双星系统
天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。
双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T、角速度均为ω，两颗恒星之间的距离为r。
（引力常量为G）
五.卫星的发射：
卫星在发射时加速上升和返回减速下降的过程中，均发生超重现象，进入圆周运动轨道后，发生完全失重现象，一切在地面依靠重力才能完成的实验都无法完成。
六.经典力学的局限性：
牛顿运动定律只适用于解决宏观、低速问题，不适用于微观世界和高速运动问题。
【导与练】
1.地球自转在逐渐变慢，3亿年前地球自转的周期约为22小时．假设这种趋势会持续下去，地球的其他条件都不变，未来人类发射的地球同步卫星与现在的相比（ ）
A．距地面的高度变大B．向心加速度变大
C．线速度变大D．角速度变大
2．冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7：
1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。
由此可知冥王星绕O点运动的（）
A.轨道半径约为卡戎的1/7B.角速度大小约为卡戎的1/7
C.线度大小约为卡戎的7倍D.向心力小约为卡戎的7倍
3．已知地球的质量约为火星质量的10倍，地球的半径约为火星半径的2倍，则航天器在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的速率约为（ ）
A．3.5km/sB．5.0km/sC．17.7km/sD．35.2km/s
4．如图13所示，飞行器P绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，
下列说法正确的是（ ）
A．轨道半径越大，周期越长
B．轨道半径越大，速度越大
C．若测得周期和张角，可得到星球的平均密度
D．若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度
5．长期以来“卡戎星（Charon）”被认为是冥王星唯一的卫星，它的公转轨道半径r1＝19600km，公转周期T1＝6.39天.2006年3月，天文学家新发现两颗冥王星的小卫星，其中一颗的公转轨道半径r2＝48000km，则它的公转周期T2最接近于（ ）
A．15天B．25天C．35天D．45天
6.2011年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。
任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。
变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为
、
。
则
等于（）
A.
B.
C.
D.
7.我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。
某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。
由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1,S1和S2的距离为r，已知引力常量为G。
由此可求出S2的质量为（）
A．
B．
C．
D．
8.已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。
有关同步卫星，下列表述正确的是（）
A.卫星距离地面的高度为
B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度
C.卫星运行时受到的向心力大小为
D.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
9.为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。
随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2则（）
A.X星球的质量为
B.X星球表面的重力加速度为
C.登陆舱在
与
轨道上运动是的速度大小之比为
D.登陆舱在半径为
轨道上做圆周运动的周期为
10．2012年6月16日下午6时37分神舟九号载人飞船搭载三名宇航员顺利升空，完成与天宫一号自动、手动对接等一系列任务后安全返回地面，这一科技成就标志我国航天技术取得新突破。
已知飞船在绕地球飞行N圈，用时ts后进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度为h的圆形轨道。
地球半径R，表面处的重力加速度为g。
（1）用题中数据导出第一宇宙速度；
（2）飞船在上述圆轨道上运行的周期及角速度。
11．万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．
（1）用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0.
a.若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值（计算结果保留两位有效数字）；
b.若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式．
（2）设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长．
第七章机械能守恒定律
第一单元功、功率
【知识要点】：
一.功的定义:
一个物体受到的作用，并且在的方向上发生了一段位移，这个力就对物体做了功。
是描述力对空间积累效应的物理量，是量.定义式:
，其中F是力，L是在的方向上发生的位移（对地），θ是F与L间的夹角。
二.做功两个必要因素：
和。
三．功的正负判断（W=F·L·cosθ）
夹角
功的正负
θ＜90°
力对物体做正功
θ＞90°
力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功
θ＝90°
力对物体不做功
四.功的计算
1.恒力做功的计算公式W＝FLcosα，其中F为恒力，L是物体相对地面的位移，而不是相对于和它接触的物体的位移。
2.变力做功的计算：
①用动能定理计算式。
②当变力做功的功率一定时，用功率和时间计算：
W＝。
③将变力做功转化为恒力做功。
3.总功的计算：
①先求物体所受的合外力，再求合外力的功；表达式为（为合力与位移方向的夹角）
②先求每个力做的功，再求各功的代数和;即。
③根据功是转化的量度反过来可求功.
④摩擦力、空气阻力做功的计算:
功的大小等于力和路程的乘积.发生相对运动的两物体的这一对相互摩擦力做的总功:
W=fd（d是两物体间的相对路程），且W=Q（摩擦生热）
五.功率
1．功率的定义：
功跟完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：
，功率大则做功快，功率小则做功慢。
3.功率的计算：
.定义式：
，所求出的功率是时间t内的平均功率。
不管是恒力做功，还是变力做功，都适用。
.计算式：
，其中θ是力F与速度v间的夹角。
v一定是力F方向上物体的瞬时速度。
用该公式时，要求F为恒力。
说明：
当v为瞬时速度时，对应的P为瞬时功率；
当v为平均速度时，对应的P为平均功率
若力和速度在一条直线上，上式可简化为
4.额定功率与实际功率
额定功率:
发动机正常工作时的最大输出功率。
实际功率:
发动机实际输出的功率，它可以小于额定功率，但不能长时间超过额定功率。
5.交通工具的启动问题：
通常说的机车的功率或发动机的功率实际上是指牵引力的功率。
六.机车起动的两种模式
1.以恒定功率启动
2.以恒定加速度a启动
以恒定功率启动以恒定加速度a启动
【导与练】
1.如图所示:
水平地面上有三个底面相同、倾角分别为30°、45°、60°的固定斜面，三个斜面与物体间的
动摩擦因数相同，同一物体沿三个斜面从顶端开始由静止下滑到底部的过程中，克服摩擦力做功最多的
斜面是（ ）
A．倾角为30°的斜面
B．倾角为45°的斜面
C．倾角为60°的斜面
D．一样多
2.宇航员在进行素质训练时，抓住秋千杆由水平状态开始下摆，到达竖直状态的过程中，如图所示，宇航员所受重力的瞬时功率变化情况是（ ）
A．一直增大
B．一直减小
C．先增大后减小
D．先减小后增大
3.如图所示，摆球质量为m，悬线的长为L，把悬线拉到水平位置后放手。
设在摆球运动过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是（ ）
A．重力做功为mgL
B．绳的拉力做功为0
C．空气阻力（F阻）做功为－mgL
D．空气阻力（F阻）做功为－F阻πL
4.一物体在水平面上，受恒定的水平拉力和摩擦力作用沿直线运动，已知在第1秒内合力对物体做的功为45J,在第1秒末撤去拉力，其v－t图像如图所示，g取10m/s2，则（ ）
A．物体的质量为10kg
B．物体与水平面的动摩擦因数为0.2
C．第1秒内摩擦力对物体做的功为－60J
D．第1秒内拉力对物体做的功为60J
5.如图所示,在外力作用下某质点运动的v－t图像为正弦曲线。
从图中可以判断（ ）
A．在0～t1时间内，外力做正功
B．在0～t1时间内，外力的功率逐渐增大
C．在t2时刻，外力的功率最大
D．在t1～t3时间内，外力做的总功为零
6．如图甲所示，静止于光滑水平面上坐标原点处的小物块，在水平拉力F作用下，沿x轴方向运动，拉力F随物块所在位置坐标x的变化关系如图乙所示，图线为半圆。
则小物块运动到x0处时F做的总功为（ ）
A．0B.Fmx0
C.Fmx0D.x02
7．放在地面上的物体受到水平拉力的作用，在0～6s内其速度与时间图像和拉力的功率与时间图像如图所示，则物体的质量为（取g＝10m/s2）（ ）
A.kgB.kg
C.kgD.kg
8.如图所示,建筑工人通过滑轮装置将一质量是100kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10N/kg，求这一过程中：
（1）人拉绳子的力做的功；
（2）物体的重力做的功；
（3）物体受到的各力对物体做的总功。
第二单元动能定理
【知识要点】
一.动能
1.定义:
物体由于而具有的能。
2．公式:
。
3．矢标性:
动能是标量，只有正值。
4．动能的变化量:
，是状态量。
二.动能定理：
力在一个过程中对物体所做的总功,等于物体在这个过程中动能的变化.
表达式：
。
1.物理意义：
。
2．做功与动能的关系
（1）物体的动能增加。
（2）物体的动能减少。
（3）物体的动能不变。
3．适用条件
（1）。
（2）。
（3）。
【导与练】
1.如图所示,一块长木板B放在光滑的水平面上,在B上放一物体A，现以恒定的外力拉B,由于A、B间摩擦力的作用,A将在B上滑动，以地面为参考系，A、B都向前移动一段距离。
在此过程中（）
A．外力F做的功等于A和B动能的增量
B．B对A的摩擦力所做的功，等于A的动能增量
C．A对B的摩擦力所做的功，等于B对A的摩擦力所做的功
D．外力F对B做的功等于B的动能的增量与B克服摩擦力所做的功之和
2.如图所示，质量相等的物体A和物体B与地面间的动摩擦因数相等,在力F的作用下，一起沿水平地面向右移动x，则（ ）
A．摩擦力对A、B做功相等
B．A、B动能的增量相同
C．F对A做的功与F对B做的功相等
D．合外力对A做的功与合外力对B做的功不相等
3.取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为（ ）
A. B.C.D.
4.如图甲所示，静止在水平地面的物块A，收到水平向右的拉力F作用，F与时间t的关系如图乙所示,设物块与地面的静摩擦力最大值fm与滑动摩擦力大小相等，则（）
A．0－t1时间内F的功率逐渐增大
B．t2时刻物块A的加速度最大
C．t2时刻后物块A做反向运动
D．t3时刻物块A的动能最大
5．人用手托着质量为m的物体，从静止开始沿水平方向运动，前进距离L后，速度为v（物体与手始终相对静止），
物体与手掌之间的动摩擦因数为μ，则人对物体做的功为（ ）
A．mgl B．0C．μmgLD.mv2
6．如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上
半径为R有光滑圆柱，A的质量为B的两倍。
当B位于地面时，A恰与圆柱轴心
等高。
将A由静止释放，B上升的最大高度是（）
A.2RB.5R/3C.4R/3D.2R/3
7.质量为m的小球被系在轻绳一端，在竖直平面内做半径为R的圆周运动，如图所示，运动过程中小球受到空气阻力的作用。
设某一时刻小球通过轨道的最低点，此时绳子的张力为7mg，在此后小球继续做圆周运动，经过半个圆周恰好能通过最高点，则在此过程中小球克服空气阻力所做的功是（ ）
A.mgR B.mgR
C.mgRD．mgR
8.右端连有光滑弧形槽的水平桌面AB长L＝1.5m，如图所示。
将一个质量为m＝0.5kg的木块在F＝1.5N的水平拉力作用下，从桌面上的A端由静止开始向右运动，木块到达B端时撤去拉力F，木块与水平桌面间的动摩擦因数μ＝0.2，取g＝10m/s2。
求：
（1）木块沿弧形槽上升的最大高度；
（2）木块沿弧形槽滑回B端后，在水平桌面上滑动的最大距离。
9.一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。
此队员从山沟的竖直一侧，以速度v0沿水平方向跳向另一侧坡面。
如图所示，以沟底的O点为原点建立坐标系Oxy。
已知，山沟竖直一侧的高度为2h，坡面的抛物线方程为
，探险队员的质量为m。
人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。
（1）求此人落到坡面时的动能；
（2）此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？
动能的最小值为多少？
第三单元机械能守恒定律
【知识要点】
一.重力势能
1.定义:
地球上的物体具有跟它的高度有关的能量，叫做，表达式：
。
说明:
重力势能是地球和物体组成的系统共有的，而不是物体单独具有的.
重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化与参考平面选取无关。
重力势能是标量，但有“+”、“-”之分，其意义表示物体的重力势能比它在参考平面大还是小。
2.重力做功的特点:
重力做功只决定于的高度差，与物体的运动路径.WG=mgh.
重力做功等于的增量。
即。
重力做功：
二．弹性势能
1.定义：
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，而具有的势能。
2.大小：
与及有关，表达式：
（
为弹簧的型变量）。
3.弹力做功与弹性势能变化的关系弹力做正功，弹性势能；弹力做负功，弹性势能。
三．机械能守恒定律的两种表述
1.在只有重力或弹力做功的情形下，物体的和发生相互转化，但机械能的总量保持不变。
2.如果没有摩擦和介质阻力，物体只发生和的相互转化时，机械能的总量保持不变。
四.机械能守恒的条件：
机械能守恒的条件：
只有和（或）只有做功（即没有发生机械能与其他形式能的转化）。
具体有以下三种情况:
1.只有重力和弹力作用,没有其他力作用；
2.有重力、弹力以外的力作用,但这些力不做功；
3.有重力、弹力以外的力做功,但这些力做功的代数和为零
特别提醒:
机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统在克服内部阻力做功，将部分机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少．
五.机械能守恒定律的各种表达形式
①
，即
；
②
；
；
用①时，需要规定重力势能的参考平面。
用②时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参考平面的选取没有关系。
尤其是用
，只要把增加的机械能和减少的机械能都写出来，方程自然就列出来了。
【导与练】
1．下列说法正确的是（）
A．如果物体所受到的合外力为零，则其机械能一定守恒
B．如果物体所受到的合外力做的功为零，则其机械能一定守恒
C．物体沿光滑曲面自由下滑的过程中，其机械能一定守恒
D．做匀加速运动的物体，其机械能可能守恒
2如图所示，A、B两球质量相等，A球用不能伸长的轻绳系于O点，B球用轻弹簧系于O′点,与O′点在同一水平面上，分别将A、B球拉到与悬点等高处，使绳和轻弹簧均处于水平，弹簧处于自然状态，将两球分别由静止开始释放，当两球达到各自悬点的正下方时，两球仍处在同一水平面上，则（ ）
A．两球到达各自悬点的正下方时，两球动能相等
B．两球到达各自悬点的正下方时，A球动能较大
C．两球到达各自悬点的正下方时，B球动能较大
D．两球到达各自悬点的正下方时，A球受到向上的拉力较大
3.一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动．当物块的初速度为v时，上升的最大高度为H，如图所示；当物块的初速度为时，上升的最大高度记为h.重力加速度大小为g.则物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为（ ）
A．tanθ和B.tanθ和
C．tanθ和D.tanθ和
4图所示：
某人以平行斜面的拉力将物体沿斜面拉下，拉力大小等于摩擦力大小。
则下列说法正确的是（）
A．物体匀速下滑
B．合外力对物体做的功等于零
C．物体的机械能减少
D．物体的机械能保持不变
5如图所示，在水平桌面上的A点有一个质量为m的物体，以初速度v0被抛
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