高考数学一轮复习专题23函数的单调性与最值讲Word格式文档下载.docx
《高考数学一轮复习专题23函数的单调性与最值讲Word格式文档下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《高考数学一轮复习专题23函数的单调性与最值讲Word格式文档下载.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
(1).增函数:
若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、,当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数;
(2)减函数:
若对于定义域内的某个区间上的任意两个自变量、,当时,都有
,那么就说函数在区间上是减函数.
对点练习
判断正误(在括号内打“√”或“×
”)
(1)对于函数f(x),x∈D,若对任意x1,x2∈D,且x1≠x2有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>
0,则函数f(x)在区间D上是增函数.( )
(2)函数y=
的单调递减区间是(-∞,0)∪(0,+∞).( )
(3)对于函数y=f(x),若f
(1)<
f(3),则f(x)为增函数.( )
(4)函数y=f(x)在[1,+∞)上是增函数,则函数的单调递增区间是[1,+∞).( )
【答案】
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×
(4)若f(x)=x,f(x)在[1,+∞)上为增函数,但y=f(x)的单调递增区间可以是R.
2.函数的最值
1.最大值:
一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:
(1)对于任意的,都有;
(2)存在,使得.
那么,我们称是函数的最大值.
2.最小值:
那么,我们称是函数的最小值.
【xx·
厦门质检】函数f(x)=
x-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为________.
【答案】3
【解析】由于在R上单调递减,在[-1,1]上递增,所以f(x)在[-1,1]上单调递减,故f(x)在[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.
【考点深度剖析】
函数的单调性与最值是高考考查的重点、热点.常常以基本初等函数为载体,考查函数单调性的判定、函数单调区间的确定、函数单调性的应用(解不等式、确定参数的取值范围)、研究函数的最值等,有时与导数综合考查,题型涉及选择题、填空题及解答题多种.
【重点难点突破】
考点1单调性的判定和证明
【1-1】【xx·
阜阳模拟】给定函数①,②,③,④.其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是( )
A.①② B.②③
C.③④D.①④
【答案】B
(0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减的函数序号是②③.
【1-2】已知函数,则()
A.在上单调递增 B.在上单调递增
C.在上单调递减 D.在上单调递减
【解析】解法一:
,定义域为,且函数在区间及上均为单调递增函数,且,故函数在区间上单调递增,故选B.
解法二:
函数的定义域为,且
在定义域上恒成立,且,因此函数在区间上单调递增,故选B.
【1-3】【xx天津模拟】若函数f(x)满足“对任意x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2)”,则f(x)的解析式可以是( )
A.B.C.D.
【答案】C
对于D,在(0,+∞)上单调递增,排除D.
【领悟技法】
1.利用基本初等函数的单调性与图像:
只需作出函数的图象便可判断函数在相应区间上的单调性;
2.性质法:
(1)增函数增函数增函数,减函数减函数减函数,增函数减函数增函数,减函数增函数减函数;
(2)函数与函数的单调性相反;
(3)时,函数与的单调性相反();
时,函数与的单调性相同().
2.导数法:
在区间D上恒成立,则函数在区间D上单调递增;
在区间D上恒成立,则函数在区间D上单调递减.
4.定义法:
作差法与作商法(常用来函数单调性的证明,一般使用作差法).
【注】分段函数的单调性要求每段函数都满足原函数的整体单调性,还需注意断点处两边函数值的大小比较.
【触类旁通】
【变式一】【xx安徽合肥调研】下列函数中,在区间(0,+∞)内单调递减的是( )
A.y=
-xB.y=x2-x
C.y=lnx-xD.y=ex-x
【答案】A
【解析】对于A,在(0,+∞)内是减函数,在(0,+∞)内是增函数,则在(0,+∞)内是减函数;
B,C选项中的函数在(0,+∞)上均不单调;
选项D中,,而当x∈(0,+∞)时,y′>0,所以函数在(0,+∞)上是增函数.
【变式二】【xx山西孝义二模】函数,当时是增函数,当时是减函数,则等于()
A.-3B.13C.7D.5
【解析】由题意知函数的对称轴,所以,所以,故选B.
考点2函数的单调区间
【2-1】求函数的单调区间
【答案】单调递增区间为和;
单调递减区间为和.
【2-2】的递增区间是()
A.B.C.D.
是,故选A.
1.基本初等函数的单调区间:
函数
图象
参数范围
单调区间或单调性
一次函数
单调递增区间
单调递减区间
二次函数
单调递减区间为
;
单调递增区间为
.
反比例函数
和
指数函数
(且)
对数函数
幂函数
在上递减
没有单调性
在上递增
正弦函数
余弦函数
正切函数
2.图象法:
对于基本初等函数及其函数的变形函数,可以作出函数图象求出函数的单调区间.
3.复合函数法:
对于函数,可设内层函数为,外层函数为,可以利用复合函数法来进行求解,遵循“同增异减”,即内层函数与外层函数在区间D上的单调性相同,则函数在区间D上单调递增;
内层函数与外层函数在区间D上的单调性相反,则函数在区间D上单调递减.
4.导数法:
不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递增区间,不等式的解集与函数的定义域的交集即为函数的单调递减区间.
【变式一】)函数f(x)=log
(x2-4)的单调递增区间为( )
A.(0,+∞)B.(-∞,0)
C.(2,+∞)D.(-∞,-2)
【答案】D
上是增函数,即f(x)单调递增区间为(-∞,-2).
【变式二】函数的单调递增区间为.
【答案】和.
【解析】作出函数的图象如下图所示,
由图象可知,函数的单调递增区间为和.
考点3利用单调性确定参数取值范围
【3-1】【xx山东济南模拟】若函数f(x)=-x2+2ax与g(x)=(a+1)1-x在区间[1,2]上都是减函数,则a的取值范围是( )
A.(-1,0)B.(-1,0)∪(0,1]
C.(0,1)D.(0,1]
【解析】∵
在上是减函数,∴.①
又在上是减函数.
∴,∴.②
由①②知,.
【3-2】【xx浙江“超级全能生”3月联考】已知在上递减的函数,且对任意的,总有,则实数的取值范围为()
A.B.C.D.
【3-3】已知函数在区间上为增函数,则实数的取值范围.
【答案】
【解析】函数:
,由复合函数的增减性可知,若在(-2,+∞)为增函数,∴1-2a<0,
1.解决抽象不等式时,切勿将自变量代入函数解析式进行求解,首先应该注意考查函数的单调性.若函数为增函数,则;
若函数为减函数,则.
2.在比较、、、的大小时,首先应该根据函数的奇偶性与周期性将、、、通过等值变形将自变量置于同一个单调区间,然后根据单调性比较大小.
【变式一】【xx浙江金华十校联考】已知函数f(x)为(0,+∞)上的增函数,若f(a2-a)>
f(a+3),则实数a的取值范围为________.
【答案】(-3,-1)∪(3,+∞)
【变式二】【xx河北保定一模】已知函数
,若数列满足,且是递增数列,则实数的取值范围是
A.(1,3)B.C.(2,3)D.
【解析】因为是递增数列,所以
解得
即,故选C.
考点4函数的单调性和最值及其综合应用
【4-1】函数f(x)=
在区间[a,b]上的最大值是1,最小值是
,则a+b=________.
【答案】6
【解析】易知f(x)在[a,b]上为减函数,
∴
即
∴a+b=6.
【4-2】【xx浙江,17】已知αR,函数在区间[1,4]上的最大值是5,则的取值范围是___________.
【解析】
函数最值的求解方法:
1.单调性法:
考查函数的单调性,确定函数的最值点,便可求出函数相应的最值.
对于由基本初等函数图象变化而来的函数,通过观察函数图象的最高点或最低点确定函数的最值.
3.分段函数的最值:
将每段函数的最值求出,比较大小确定函数的最值.
对于一般的可导函数,可以利用导数求出函数的极值,并与端点值进行大小比较,从而确定函数的最值.
【变式一】【xx贵州贵阳检测】定义新运算⊕:
当a≥b时,a⊕b=a;
当a<
b时,a⊕b=b2,则函数f(x)=(1⊕x)x-2⊕x,x∈[-2,2]的最大值等于( )
A.-1B.1
C.6D.12
【解析】 由已知得当时,,当时,,∵,在定义域内都为增函数,且1-2=13-2=-1.∴的最大值为f
(2)=23-2=6.
【变式二】【xx北京西城区5月模拟】函数,若存在,使得,则的取值范围是()
,解得,即则的取值范围是,故答案为.
【易错试题常警惕】
易错典例:
函数的单调递减区间为.
易错分析:
求单调区间时,只顾及到内层二次函数的单调区间,而忽视了函数定义域的重要性.
正确解析:
自变量满足,解得或,
令,,
则内层函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,
而外层函数在上是减函数,
由复合函数单调性可知,函数的单调递减区间为.
【规范解答】 因为f(xy)=f(x)+f(y),且f(3)=1,所以2=2f(3)=f(3)+f(3)=f(9).2分
又f(a)>
f(a-1)+2,所以f(a)>
f(a-1)+f(9),再由f(xy)=f(x)+f(y),可知f(a)>
f(9(a-1)).4分
从而有
8分
解得1<
a<
.11分
故所求实数a的取值范围为
.12分
【学科素养提升之思想方法篇】
数形结合百般好,隔裂分家万事休——数形结合思想
我国著名数学家华罗庚曾说过:
"
数形结合百般好,隔裂分家万事休。
数"
与"
形"
反映了事物两个方面的属性。
我们认为,数形结合,主要指的是数与形之间的一一对应关系。
数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过"
以形助数"
或"
以数解形"
即通过抽象思维与形象思维的结合,可以使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而起到优化解题途径的目的.
向量的几何表示,三角形、平行四边形法则,使向量具备形的特征,而向量的坐标表示和坐标运算又具备数的特征,因此,向量融数与形于一身,具备了几何形式与代数形式的“双重身份”.因此,在应用向量解决问题或解答向量问题时,要注意恰当地运用数形结合思想,将复杂问题简单化、将抽象问题具体化,达到事半功倍的效果.
【典例】求出f(x)=|x2-4x+3|的单调区间.
【答案】f(x)的增区间为[1,2],[3,+∞),减区间为(-∞,1],[2,3].
[3,+∞),减区间为(-∞,1],[2,3].