矩阵与变换专题.docx

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矩阵与变换专题

矩阵与变换

1、（优质试题江苏卷）已知矩阵

（1）求A2；

（2）求矩阵A的特征值.

【分析】

（1）利用矩阵的乘法运算法则计算的值即可；

（2）首先求得矩阵的特征多项式，然后利用特征多项式求解特征值即可.

【解析】

（1）因为，

所以

==．

（2）矩阵A的特征多项式为

.

令，解得A的特征值.

2、（优质试题江苏卷）已知矩阵．

（1）求的逆矩阵；

（2）若点P在矩阵对应的变换作用下得到点，求点P的坐标．

【解析】分析：

（1）根据逆矩阵公式可得结果；

（2）根据矩阵变换列方程解得P点坐标.

详解：

（1）因为，，所以A可逆，

从而．

（2）设P（x，y），则，所以，

因此，点P的坐标为（3，–1）．

点睛：

本题考查矩阵的运算、线性变换等基础知识，考查运算求解能力.

3、（优质试题江苏卷）已知矩阵A＝，B＝.

（1）求AB；

（2）若曲线C1：

＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程．

规范解答：

（1）因为A＝，B＝，

所以AB＝＝.

（2）设Q（x0，y0）为曲线C1上的任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为P（x，y），

则＝，即所以

因为点Q（x0，y0）在曲线C1上，所以＋＝1，

从而＋＝1，即x2＋y2＝8.

因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：

x2＋y2＝8.

4、（优质试题江苏卷）已知矩阵A＝，矩阵B的逆矩阵B－1＝，求矩阵AB.

规范解答设B＝，

则B－1B＝＝，

即＝，

故解得所以B＝.

因此，AB＝＝.

5、（优质试题江苏卷）已知x，y∈R，向量α＝是矩阵A＝的属于特征值－2的一个特征向量，求矩阵A以及它的另一个特征值．

规范解答由已知，得Aα＝－2α，即＝＝，

则即所以矩阵A＝.

从而矩阵A的特征多项式f（λ）＝（λ＋2）（λ－1），令f（λ）＝0，解得A的特征值λ1＝－2，λ2＝1，

所以矩阵A的另一个特征值为1.

一、二阶矩阵与平面向量

（1）矩阵的概念

在数学中，把形如，，这样的矩形数字（或字母）阵列称为矩阵，其中，同一横排中按原来次序排列的一行数（或字母）叫做矩阵的行，同一竖排中按原来次序排列的一列数（或字母）叫做矩阵的列，而组成矩阵的每一个数（或字母）称为矩阵的元素．

（2）二阶矩阵与平面列向量的乘法

①[a11　a12]＝[a11×b11＋a12×b21]；

②＝.

二、.几种常见的平面变换

（1）当M＝时，则对应的变换是恒等变换．

（2）由矩阵M＝或M＝（k>0）确定的变换TM称为（垂直）伸压变换．

（3）反射变换是轴对称变换、中心对称变换的总称．

（4）当M＝时，对应的变换叫旋转变换，即把平面图形（或点）逆时针旋转θ角度．

（5）将一个平面图投影到某条直线（或某个点）的变换称为投影变换．

（6）由矩阵M＝或确定的变换称为切变变换．

三、线性变换的基本性质

（1）设向量α＝，则λα＝.

（2）设向量α＝，β＝，则α＋β＝.

（3）A是一个二阶矩阵，α、β是平面上任意两个向量，λ是任一实数，则A（λα）＝λAα，A（α＋β）＝Aα＋Aβ.

（4）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．

四、二阶矩阵的乘法

（1）A＝，B＝，

则AB＝

（2）矩阵乘法满足结合律（AB）C＝A（BC）．

几种特殊的变换

反射变换：

M＝：

点的变换为（x，y）→（x，－y），变换前后关于x轴对称；

M＝：

点的变换为（x，y）→（－x，y），变换前后关于y轴对称；

M＝：

点的变换为（x，y）→（－x，－y），变换前后关于原点对称；

M＝：

点的变换为（x，y）→（y，x），变换前后关于直线y＝x对称．

投影变换：

M＝：

将坐标平面上的点垂直投影到x轴上，点的变换为（x，y）→（x，0）；

M＝：

将坐标平面上的点垂直投影到y轴上，点的变换为（x，y）→（0，y）；

M＝：

将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为（x，y）→（x，x）；

M＝：

将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为（x，y）→（y，y）；

M＝：

将坐标平面上的点垂直于y＝x方向投影到y＝x上，点的变换为（x，y）→.

五、逆变换与逆矩阵

（1）对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．

（2）若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且（AB）－1＝B－1A－1.

（3）利用行列式解二元一次方程组．

2.特征值与特征向量

（1）设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量．

（2）从几何上看，特征向量的方向经变换矩阵A的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）．特别地，当λ＝0时，特征向量就变换成零向量。

题型一、由矩阵变换求曲线的方程

由矩阵变换求曲线的方程一般式通过代换法求得，要分布设变换前与变换后的点坐标，用变换后的坐标变式变换前的坐标，然后代入变换前的方程即可。

例1、（优质试题宿迁市直学校期末）已知矩阵M＝的一个特征值为λ＝3，其对应的一个特征向量为α＝，求直线l1：

x＋2y＋1＝0在矩阵M对应的变换作用下得到的曲线l2的方程．

规范解答解法1由Mα＝λα得＝3，

所以a＝2，M＝.（2分）

设P1（x1，y1）是直线l1上任意一点，在矩阵M对应的变换作用下得到点P2（x2，y2），且P2在曲线l2上．

由＝得（4分）

所以（6分）

代入直线l1的方程得x2＋1＝0，所以曲线l2的方程为x＋1＝0.（10分）

解法2由Mα＝λα得＝3，所以a＝2，M＝.（2分）

取直线l1上两点P1（－1，0），P2（1，－1），由＝，＝，（4分）

所以在矩阵M对应的变换作用下P1，P2变换为Q1（－1，－2），Q2（－1，1）在曲线l2上，（6分）

又因为二阶矩阵把直线变为直线，所以曲线l2就是经过点Q1，Q2的直线x＝－1.（10分）

例2、（优质试题南京三模）已知曲线C：

x2＋2xy＋2y2＝1，矩阵A＝所对应的变换T把曲线C变成曲线C1，求曲线C1的方程.

设变换T把曲线C上的任意点P（x，y）变成曲线C1上的点Q（x′，y′），用x′，y′表示x，y，代入曲线C的方程x2＋2xy＋2y2＝1，则得关于x′，y′的方程，这就是曲线C1的方程．

规范解答设曲线C上的任意一点P（x，y），P在矩阵A＝对应的变换下得到点Q（x′，y′）．

则＝，即x＋2y＝x′，x＝y′，

所以x＝y′，y＝.（5分）

代入x2＋2xy＋2y2＝1，得y′2＋2y′·＋22＝1，即x′2＋y′2＝2，

所以曲线C1的方程为x2＋y2＝2.（10分）

例3、（2020年南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港三调）已知a，b，c，d∈R，矩阵A＝的逆矩阵A－1＝.若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到直线y＝2x＋1，求曲线C的方程．

规范解答由题意得，AA－1＝，即＝＝，

所以a＝1，b＝1，c＝2，d＝0，

即矩阵A＝.（5分）

设P（x，y）为曲线C上的任意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为点P′（x′，y′），

则＝，即（8分）

由已知条件可知，P′（x′，y′）满足y＝2x＋1，整理得2x－5y＋1＝0，

所以曲线C的方程为2x－5y＋1＝0.（10分）

题型二矩阵的特征值与特征向量

求矩阵的特征值与特征向量要注意格式和步棸。

先求特征值然后再求特征向量。

例4、（优质试题南京三模）已知矩阵M＝

（1）求M2；

（2）求矩阵M的特征值和特征向量．

规范解答

（1）M2＝＝.（4分）

（2）矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ－1）（λ－3）．

令f（λ）＝0，解得M的特征值为λ1＝1，λ2＝3.（6分）

①当λ＝1时，＝，得

令x＝1，则y＝－1，于是矩阵M的一个特征向量为.（8分）

②当λ＝3时，＝3，得

令x＝1，则y＝1，于是矩阵M的一个特征向量为.

因此，矩阵M的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为，.（10分）

例5.（优质试题南通、泰州一调）已知x∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A－1.

规范解答由已知得＝＝λ，

所以所以A＝.（4分）

设A－1＝，

则AA－1＝＝，

即＝.

所以a＝1，b＝c＝0，d＝.

所以λ＝2，A－1＝.（10分）

例6、（优质试题苏州暑假测试）求矩阵M＝的特征值和特征向量．

.规范解答特征多项式f（λ）＝＝（λ＋1）（λ－6）－8＝λ2－5λ－14＝（λ－7）（λ＋2），

由f（λ）＝0，解得λ1＝7，λ2＝－2.（3分）

将λ1＝7代入特征方程组，得即y＝2x，可取为属于特征值λ1＝7的一个特征向量．（6分）

同理，λ2＝－2时，特征方程组是即x＝－4y，所以可取为属于特征值λ2＝－2的一个特征向量．（8分）

综上所述，矩阵M＝有两个特征值λ1＝7，λ2＝－2.属于λ1＝7的一个特征向量为，属于λ2＝－2的一个特征向量为.（10分）

题型三矩阵运算及逆矩阵

（1）对于二阶矩阵A、B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．

（2）若二阶矩阵A、B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且（AB）－1＝B－1A－1.

（3）利用行列式解二元一次方程组．

例7、（优质试题苏锡常镇调查）已知矩阵A＝，其逆矩阵A－1＝，求A2.

规范解答因为AA－1＝，则有＝，（2分）

即a＝1，b＝，c＝－，则A＝，（5分）

则A2＝＝.（10分）

例8、（优质试题苏州期末）已知矩阵M＝，向量β＝，求M4β.

.若矩阵M的特征值为λ1，λ2，对应的特征向量为α1，α2，且β＝mα1＋nα2，则M4β＝mM4α1＋nM4α2＝mλα1＋nλα2.

解法1（公式法）矩阵M的特征多项式为f（λ）＝＝（λ－1）2－4＝（λ－3）（λ＋1）．（2分）

令f（λ）＝0，得特征值λ1＝3，λ2＝－1.

属于λ1＝3的一个特征向量为α1＝，属于λ2＝－1的一个特征向量为α2＝.（5分）

设β＝mα1＋nα2，易得m＝4，n＝－3，即β＝4α1－3α2，（7分）

所以M4β＝4M4α1－3M4α2＝4λα1－3λα2＝324－3＝.（10分）

解法2（直接法）因为M4＝（M2）2，所以也可直接硬解．

因为M2＝＝，

所以M4＝＝，（7分）

所以M4β＝＝.（10分）

矩阵M＝，若将M的特征多项式f（λ）＝误写为，虽然不影响特征值的结果，但是由此算得的对应特征向量不正确．

例9、（优质试题扬州期末）下得到点N（3，5），求矩阵A的逆矩阵A－1.

规范解答因为A＝，即＝，即解得所以A＝.（5分）

解法1（定义法）设A－1＝，则AA－1＝＝，即（7分）

解得所以A－1＝.（10分）

1、（优质试题盐城市优质试题届高三第三次模拟考试）直线l：

2x－y－3＝0在矩阵M＝所对应的变换TM下得到直线l′，求l′的方程．

规范解答在直线l上点取A（1，－1），

＝，故A（1，－1）在矩阵M的变换下得到A′（－1，3），（4分）

再在直线l上取点B（2，1），

＝，在矩阵M的变换下得到B′（－2，9），（8分）

连结A′B′，可得直线l′：

6x＋y＋3＝0.（10分）

2、（优质试题南京三模）已知矩阵A＝，B＝，若直线l：

x－y＋2＝0在矩阵AB对应的变换作用下得到直线l1，求直线l1的方程．

设直线l上任意一点P（x，y）在矩阵AB对