最新高三数学总复习讲义向量汇总Word格式.docx
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方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:
«
与任一向量共线.
共线向量又称为平行向量.
7.相反向量:
长度相等且方向相反的向量.
二、向量的运算
（一）运算定义
①向量的加减法，②实数与向量的乘积，③两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”，它们都有明显的物理学的意义及几何意义.
其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果是数量。
研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.
刻划每一种运算都可以有三种表现形式：
图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下：
运算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法
+«
记«
=（x1,y1）,«
=（x1,y2）
则«
=（x1+x2,y1+y2）
=（x2-x1,y2-y1）
实数与向量的乘积
=λ«
λ∈R
=（x,y）
则λ«
=（λx,λy）
两个向量的数量积
·
=x1x2+y1y2
（二）运算律
加法：
①«
（交换律）;
②«
（结合律）
实数与向量的乘积：
;
③«
两个向量的数量积:
①«
②（λ«
）·
（λ«
）=λ（«
）;
③（«
注：
根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，
例如（«
±
）2=«
（三）运算性质及重要结论
⑴平面向量基本定理:
如果«
是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量«
有且只有一对实数«
使«
，称«
为«
的线性组合。
①其中«
叫做表示这一平面内所有向量的基底;
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量«
的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
这说明如果«
且«
那么«
③当基底«
是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
向量坐标与点坐标的关系：
当向量起点在原点时，定义向量坐标为终点坐标，
即若A（x，y），则«
=（x,y）；
当向量起点不在原点时，向量«
坐标为终点坐标减去起点坐标，即若A（x1,y1），B（x2,y2），则«
⑵两个向量平行的充要条件
符号语言：
坐标语言为：
设非零向量«
∥«
（x1,y1）=λ（x2,y2），
即«
或x1y2-x2y1=0,在这里,实数λ是唯一存在的,当«
同向时,λ>
0；
当«
异向时,λ<
0。
|λ|=«
λ的大小由«
及«
的大小确定。
因此,当«
确定时，λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。
⑶两个向量垂直的充要条件
坐标语言：
，则«
⑷两个向量数量积的重要性质：
即«
（求线段的长度）;
②«
（垂直的判断）;
（求角度）。
以上结论可以（从向量角度）有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.
①两向量«
的数量积运算结果是一个数«
（其中«
）,这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.
叫做向量«
在«
方向上的投影（如图）.
数量积的几何意义是数量积«
等于«
的模与«
方向上的投影的积.
③如果«
∴«
这就是平面内两点间的距离公式.
课前预习
1．在«
中，«
（）
«
2.平面内三点«
若«
，则x的值为（ ）
（A）-5（B）-1（C）1（D）5
3.设«
，«
，«
是任意的非零平面向量，且相互不共线，则：
①（«
）«
（«
=0②|«
|-|«
|<
|«
|
不与«
垂直④（3«
+2«
（3«
2«
）=9|«
|2-4«
|2中，
真命题是（）（A）①②（B）②③（C）③④（D）②④
4.△OAB中,«
，t∈R，则点P在（）
（A）∠AOB平分线所在直线上（B）线段AB中垂线上
（C）AB边所在直线上（D）AB边的中线上
5.正方形«
对角线交点为M，坐标原点O不在正方形内部，且«
=（0，3），«
=（4，0），则«
=（）
（A）（«
）（B）（«
）（C）（7，4）（D）（«
）
6.已知«
则实数x=_______.
7.已知«
_____,«
______,«
的夹角的余弦值是_____.
8．在△«
中,«
«
=▲.；
9.已知«
的三个顶点分别为«
求«
的大小.
10.已知△ABC中，A（2，-1），B（3，2），C（-3，-1），BC边上的高为AD，求点D和向量«
坐标。
11.在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N，使|«
|∶|«
|=1∶3，|«
|=1∶4，设线段AN与BM交于点P，记«
=«
，用«
表示向量«
典型例题
一、平面向量的实际背景与基本概念
EG1.如图1，设O是正六边形的中心，分别写出图中与«
、«
相等的向量。
变式1：
如图1，设O是正六边形的中心，分别写出
图中与«
共线的向量。
解：
变式2：
如图2，设O是正六边形的中心，分别写出图中与«
的模相等的向量以及方向相同的向量。
二、平面向量的线性运算
EG2.如图，在平行四边形ABCD中，«
a，«
b，
你能用a，b表示向量«
吗？
如图，在五边形ABCDE中，«
c，«
d，
D
E
C
AB
试用a，b，c，d表示向量«
和«
如图，在平行四边形ABCD中，若，«
b
则下列各表述是正确的为（）
A．«
B．«
C．«
a+bD．«
（a+b）
变式3：
已知«
=a，«
=b,«
=c,«
=d,且四边形ABCD为平行四边形，则（）
A.a+b+c+d=0B.a－b+c－d=0
C.a+b－c－d=0D.a－b－c+d=0
变式4：
在四边形ABCD中，若«
，则此四边形是（ ）
A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．矩形
变式5：
已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是（a+b）与（a－b）垂直的（）
A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
变式6：
在四边形ABCD中，«
=a+2b，«
=－4a－b，«
=－5a－3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（）
A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形
变式7：
已知菱形ABCD，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则«
等（）
A.λ（«
）,λ∈（0,1）B.λ（«
）,λ∈（0,«
C.λ（«
－«
）,λ∈（0,1）D.λ（«
变式8：
已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且«
，
则下列各式：
+«
③«
=－«
④«
其中正确的等式的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
EG3．
b
a
如图，已知任意两个非零向量a、b，试作«
a+b，«
a+2b，
a+3b，你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？
为什么？
a+2b，«
2a+4b，«
3a+6b
（其中a、b是两个任意非零向量），证明：
A、B、C三点共线．
证明：
∵«
2a+4b，
∴«
所以，A、B、C三点共线．
已知点A、B、C在同一直线上，并且«
a+3b（其中a、b是两个任意非零向量），试求m、n之间的关系．
EG4.已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：
已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，
EF
AB
求证：
三、平面向量的基本定理及坐标表示
EG4.已知a=（4，2），b=（6，y），且a//b，求y．
与向量a=（12，5）平行的单位向量为（）
B．«
或«
D．«
已知a«
，b«
，当a+2b与2a－b共线时，«
值为（）
A．1B．2C．«
D．«
已知A（0,3）、B（2,0）、C（－1,3）与«
方向相反的单位向量是（）
A．（0,1）B．（0,－1）C．（－1,1）D．（1,－1）
已知a=（1，0），b=（2，1）．试问：
当k为何实数时，ka－b与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向？
EG5.设点P是线段«
上的一点，«
的坐标分别为«
．
（1）当点P是线段«
上的中点时，求点P的坐标；
（2）当点P是线段«
的一个三等分点时，求P的坐标
已知两点«
，则P点坐标是（）
B．«
C．«
如图，设点P、Q是线段AB的三等分点，若«
＝a，
＝b，则«
＝ ，«
＝ （用a、b表示）
四、平面向量的数量积
EG6.已知|a
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