最新高三数学总复习讲义向量汇总Word格式.docx
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方向相同或相反的非零向量,叫共线向量.任一组共线向量都可以移到同一直线上.规定:
«
与任一向量共线.
共线向量又称为平行向量.
7.相反向量:
长度相等且方向相反的向量.
二、向量的运算
(一)运算定义
①向量的加减法,②实数与向量的乘积,③两个向量的数量积,这些运算的定义都是“自然的”,它们都有明显的物理学的意义及几何意义.
其中向量的加减法运算结果仍是向量,两个向量数量积运算结果是数量。
研究这些运算,发现它们有很好地运算性质,这些运算性质为我们用向量研究问题奠定了基础,向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示,且可以用坐标来运算,向量运算问题可以完全坐标化.
刻划每一种运算都可以有三种表现形式:
图形、符号、坐标语言。
主要内容列表如下:
运算
图形语言
符号语言
坐标语言
加法与减法
+«
记«
=(x1,y1),«
=(x1,y2)
则«
=(x1+x2,y1+y2)
=(x2-x1,y2-y1)
实数与向量的乘积
=λ«
λ∈R
=(x,y)
则λ«
=(λx,λy)
两个向量的数量积
·
=x1x2+y1y2
(二)运算律
加法:
①«
(交换律);
②«
(结合律)
实数与向量的乘积:
;
③«
两个向量的数量积:
①«
②(λ«
)·
(λ«
)=λ(«
);
③(«
注:
根据向量运算律可知,两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则,正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算,
例如(«
±
)2=«
(三)运算性质及重要结论
⑴平面向量基本定理:
如果«
是同一平面内两个不共线的向量,那么对于这个平面内任一向量«
有且只有一对实数«
使«
,称«
为«
的线性组合。
①其中«
叫做表示这一平面内所有向量的基底;
②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量«
的方向分解为两个向量的和,并且这种分解是唯一的.
这说明如果«
且«
那么«
③当基底«
是两个互相垂直的单位向量时,就建立了平面直角坐标系,因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.
向量坐标与点坐标的关系:
当向量起点在原点时,定义向量坐标为终点坐标,
即若A(x,y),则«
=(x,y);
当向量起点不在原点时,向量«
坐标为终点坐标减去起点坐标,即若A(x1,y1),B(x2,y2),则«
⑵两个向量平行的充要条件
符号语言:
坐标语言为:
设非零向量«
∥«
(x1,y1)=λ(x2,y2),
即«
或x1y2-x2y1=0,在这里,实数λ是唯一存在的,当«
同向时,λ>
0;
当«
异向时,λ<
0。
|λ|=«
λ的大小由«
及«
的大小确定。
因此,当«
确定时,λ的符号与大小就确定了.这就是实数乘向量中λ的几何意义。
⑶两个向量垂直的充要条件
坐标语言:
,则«
⑷两个向量数量积的重要性质:
即«
(求线段的长度);
②«
(垂直的判断);
(求角度)。
以上结论可以(从向量角度)有效地分析有关垂直、长度、角度等问题,由此可以看到向量知识的重要价值.
①两向量«
的数量积运算结果是一个数«
(其中«
),这个数的大小与两个向量的长度及其夹角的余弦有关.
叫做向量«
在«
方向上的投影(如图).
数量积的几何意义是数量积«
等于«
的模与«
方向上的投影的积.
③如果«
∴«
这就是平面内两点间的距离公式.
课前预习
1.在«
中,«
()
«
2.平面内三点«
若«
,则x的值为( )
(A)-5(B)-1(C)1(D)5
3.设«
,«
,«
是任意的非零平面向量,且相互不共线,则:
①(«
)«
(«
=0②|«
|-|«
|<
|«
|
不与«
垂直④(3«
+2«
(3«
2«
)=9|«
|2-4«
|2中,
真命题是()(A)①②(B)②③(C)③④(D)②④
4.△OAB中,«
,t∈R,则点P在()
(A)∠AOB平分线所在直线上(B)线段AB中垂线上
(C)AB边所在直线上(D)AB边的中线上
5.正方形«
对角线交点为M,坐标原点O不在正方形内部,且«
=(0,3),«
=(4,0),则«
=()
(A)(«
)(B)(«
)(C)(7,4)(D)(«
)
6.已知«
则实数x=_______.
7.已知«
_____,«
______,«
的夹角的余弦值是_____.
8.在△«
中,«
«
=▲.;
9.已知«
的三个顶点分别为«
求«
的大小.
10.已知△ABC中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),BC边上的高为AD,求点D和向量«
坐标。
11.在△OAB的边OA、OB上分别取点M、N,使|«
|∶|«
|=1∶3,|«
|=1∶4,设线段AN与BM交于点P,记«
=«
,用«
表示向量«
典型例题
一、平面向量的实际背景与基本概念
EG1.如图1,设O是正六边形的中心,分别写出图中与«
、«
相等的向量。
变式1:
如图1,设O是正六边形的中心,分别写出
图中与«
共线的向量。
解:
变式2:
如图2,设O是正六边形的中心,分别写出图中与«
的模相等的向量以及方向相同的向量。
二、平面向量的线性运算
EG2.如图,在平行四边形ABCD中,«
a,«
b,
你能用a,b表示向量«
吗?
如图,在五边形ABCDE中,«
c,«
d,
D
E
C
AB
试用a,b,c,d表示向量«
和«
如图,在平行四边形ABCD中,若,«
b
则下列各表述是正确的为()
A.«
B.«
C.«
a+bD.«
(a+b)
变式3:
已知«
=a,«
=b,«
=c,«
=d,且四边形ABCD为平行四边形,则()
A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0
C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0
变式4:
在四边形ABCD中,若«
,则此四边形是( )
A.平行四边形 B.菱形 C.梯形 D.矩形
变式5:
已知a、b是非零向量,则|a|=|b|是(a+b)与(a-b)垂直的()
A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
变式6:
在四边形ABCD中,«
=a+2b,«
=-4a-b,«
=-5a-3b,其中a、b不共线,则四边形ABCD为()
A.平行四边形B.矩形C.梯形D.菱形
变式7:
已知菱形ABCD,点P在对角线AC上(不包括端点A、C),则«
等()
A.λ(«
),λ∈(0,1)B.λ(«
),λ∈(0,«
C.λ(«
-«
),λ∈(0,1)D.λ(«
变式8:
已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点,且«
,
则下列各式:
+«
③«
=-«
④«
其中正确的等式的个数为()
A.1B.2C.3D.4
EG3.
b
a
如图,已知任意两个非零向量a、b,试作«
a+b,«
a+2b,
a+3b,你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗?
为什么?
a+2b,«
2a+4b,«
3a+6b
(其中a、b是两个任意非零向量),证明:
A、B、C三点共线.
证明:
∵«
2a+4b,
∴«
所以,A、B、C三点共线.
已知点A、B、C在同一直线上,并且«
a+3b(其中a、b是两个任意非零向量),试求m、n之间的关系.
EG4.已知四边形ABCD,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,求证:
已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F,
EF
AB
求证:
三、平面向量的基本定理及坐标表示
EG4.已知a=(4,2),b=(6,y),且a//b,求y.
与向量a=(12,5)平行的单位向量为()
B.«
或«
D.«
已知a«
,b«
,当a+2b与2a-b共线时,«
值为()
A.1B.2C.«
D.«
已知A(0,3)、B(2,0)、C(-1,3)与«
方向相反的单位向量是()
A.(0,1)B.(0,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)
已知a=(1,0),b=(2,1).试问:
当k为何实数时,ka-b与a+3b平行,平行时它们是同向还是反向?
EG5.设点P是线段«
上的一点,«
的坐标分别为«
.
(1)当点P是线段«
上的中点时,求点P的坐标;
(2)当点P是线段«
的一个三等分点时,求P的坐标
已知两点«
,则P点坐标是()
B.«
C.«
如图,设点P、Q是线段AB的三等分点,若«
=a,
=b,则«
= ,«
= (用a、b表示)
四、平面向量的数量积
EG6.已知|a