一 元 二 次 方 程Word下载.docx

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并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

22、把（x+1）（2x+3）=5x2+2化成一般形式是，它的二次项系数是，一次项系数是，常数项是，根的判别式△=。

23、方程（x2－4）（x+3）=0的解是。

24、（x－5）（x+3）+x（x+6）=145；

25、（x2－x+1）（x2－x+2）=12；

26、ax2+（4a+1）x+4a+2=0（a≠0）。

一元二次方程的解法

1、方程

的解是。

2、方程3－（2x－1）2=0的解是。

3、方程3x2－

x=0的解是。

4、方程x2+2x－1=0的解是。

5、设x2+3x=y，那么方程x4+6x3+x2－24x－20=0可化为关于y的方程是。

6、方程（x2－3）2+12=8（x2－3）的实数根是。

7、用直接开平方法解关于x的方程：

x2－a2－4x+4=0。

8、2x2－5x－3=0

9、2x2+

x=30

11、3x（2－3x）=－1

12、3x2－

x=0

13、x2－

x－

x+

=0

14、3x（3x－2）=－1

15、25（x+3）2－16（x+2）2=0

16、4（2x+1）2=3（4x2－1）

17、（x+3）（x－1）=5

18、3x（x+2）=5（x+2）

19、（1－

）x2=（1+

）x

20、

21、25（3x－2）2=（2x－3）2

22、3x2－10x+6=0

23、（2x+1）2+3（2x+1）+2=0

24、x2－（2+

）x+

－3=0

25、abx2－（a4+b4）x+a3b3=0（a·

b≠0）

26、mx（x－c）+（c－x）=0（m≠0）

27、abx2+（a2－2ab－b2）x－a2+b2=0（ab≠0）

28、x2－a（2x－a+b）+bx－2b2=0

29、解方程：

x2－5｜x｜+4=0。

30、（2x2－3x－2）a2+（1－x2）b2－ab（1+x2）=0

31、mx（m－x）－mn2－n（n2－x2）=0

32、已知实数a、b、c满足：

+（b+1）2+｜c+3｜=0，求方程ax2+bx+c=0的根。

33、已知：

y=1是方程y2+my+n=0的一个根，求证：

y=1也是方程nx2+mx+1=0的一个根。

34、已知：

关于y的一元二次方程（ky+1）（y－k）=k－2的各项系数之和等于3，求k的值以及方程的解。

35、m为何值时方程2x2-5mx+2m2=5有整数解?

并求其解.

36、若m为整数，求方程x+m=x2－mx+m2的整数解。

37、下面解方程的过程中，正确的是（）

A.x2=2B.2y2=16

解：

。

解：

2y=±

4，

∴y1=2，y2=－2。

C.2（x－1）2=8D.x2=－3

（x－1）2=4，解：

，x2=

x－1=±

，

2。

∴x1=3，x2=－1。

38、

x2=5；

39、3y2=6；

40、2x2－8=0；

41、－3x2=0。

42、（x+1）2=3；

43、3（y－1）2=27；

44、4（2x+5）2+1=0；

45、（x－1）（x+1）=1。

46、（ax－n）2=m（a≠0，m＞0）；

47、a（mx－b）2=n（a＞0，n＞0，m≠0）。

48、你一定会解方程（x－2）2=1，你会解方程x2－4x+4=1吗?

49、

（1）x2+4x+=（x+）2；

（2）x2－3x+=（x－）2；

（3）y2+y+

=（y－）2；

（4）x2+mx+=（x+）2。

50、x2－4x－5=0；

51、3y+4=y2；

52、6x=3－2x2；

53、2y2=5y－2。

54、1.2x2－3=2.4x；

55、y2+

－4=0。

56、用配方法证明：

代数式－3x2－x+1的值不大于

57、若

，试用配方法求

的值。

58、2x2－3x+1=0；

59、y2+4y－2=0；

60、x2－

+3=0；

61、x2－x+1=0。

62、4x2－3=0；

63、2x2+4x=0。

64、4x－5x2=－1；

65、y（y－2）=3；

66、（2x+1）（x－3）=－6x；

67、（x－3）2－2（x+1）=x－7。

68、m为何值时，代数式3（m－2）1－1的值比2m+1的值大2?

69、4x2－6x=4；

70、x=0.4－0.6x2；

71、

72、

73、用公式法解一元二次方程：

2x2+4x+1=0。

（精确到0.01）

74、2（x+1）2=8；

75、y2+3y+1=0。

76、x2+2x+1+3a2=4a（x+1）；

77、（m2-n2）y2-4mny+n2-m2=0

78、解一元二次方程（x－1）（x－2）=0，得到方程的根后，观察方程的根与原方程形式有什么关系。

你能用前面没有学过的方法解这类方程吗?

79、方程2x2=0的根是x1=x2=。

80、方程（y－1）（y+2）=0的根是y1=，y2=。

81、方程x2=

的根是。

82、方程（3x+2）（4－x）=0的根是。

83、方程（x+3）2=0的根是。

84、3y2－6y=0；

85、25x2－16=0；

86、x2－3x－18=0；

87、2y2－5y+2=0。

88、y（y－2）=3；

89、（x－1）（x+2）=10。

90、（x－2）2－2（x－2）－3=0；

91、（2y+1）2=3（2y+1）。

92、已知2x2+5xy－7y2=0，且y≠0，求x∶y。

93、3（x－2）2=27；

94、y（y－2）=3；

95、2y2－3y=0；

96、2x2－2x－1=0。

97、（2x+1）2=（2－x）2；

98、（y+

）2－4

y=0；

99、（y－2）2+3（y－2）－4=0；

100、abx2－（a2+b2）x+ab=0（ab≠0）。

101、（x+2）2－2（x+2）－1=0。

102、x2－3mx－18m2=0；

103、已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当a，b，c满足什么条件时：

（1）方程的两个根都为零?

（2）方程的两个根中只有一个根为零?

（3）方程的两个根互为相反数?

（4）方程有一个根为1?

104、当a,c异号时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况是

A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根

C.没有实数根D.不能确定

105、下列一元二次方程中，没有实数根的方程是（）

A.2x2－2x－9=0B.x2－10x+1=0

C.y2－

y+1=0D.3y2+

y+4=0

106、当k满足时，关于x的方程（k+1）x2+（2k－1）x+3=0是一元二次方程。

107、方程2x2=8的实数根是。

108、4（x－3）2=36；

109、（3x+8）2－（2x－3）2=0；

110、2y（y－

）=

－y；

111、2x2－6x+3=0；

112、2x2－3x－2=0；

113、（m+1）x2+2mx+（m－1）=0

114、2y2+4y+1=0（用配方法）。

115、4（x+3）2－16=0；

116、

x2=5x；

117、

x2=4x－

118、（3x－1）2=（x+1）2；

119、3x2－1－2x=0；

120、

（用配方法）。

一元二次方程的根的判别式

1、方程2x2+3x－k=0根的判别式是；

当k时，方程有实根。

2、关于x的方程kx2+（2k+1）x－k+1=0的实根的情况是。

3、方程x2+2x+m=0有两个相等实数根，则m=。

4、关于x的方程（k2+1）x2－2kx+（k2+4）=0的根的情况是。

5、当m时，关于x的方程3x2－2（3m+1）x+3m2－1=0有两个不相等的实数根。

6、如果关于x的一元二次方程2x（ax－4）－x2+6=0没有实数根，那么a的最小整数值是。

7、关于x的一元二次方程mx2+（2m－1）x－2=0的根的判别式的值等于4，则m=。

8、设方程（x－a）（x－b）－cx=0的两根是α、β，试求方程（x－α）（x－β）+cx=0的根。

9、不解方程，判断下列关于x的方程根的情况：

（1）（a+1）x2－2a2x+a3=0（a>

0）

（2）（k2+1）x2－2kx+（k2+4）=0

10、m、n为何值时，方程x2+2（m+1）x+3m2+4mn+4n2+2=0有实根?

11、求证：

关于x的方程（m2+1）x2－2mx+（m2+4）=0没有实数根。

12、已知关于x的方程（m2－1）x2+2（m+1）x+1=0，试问：

m为何实数值时，方程有实数根?

13、已知关于x的方程x2－2x－m=0无实根（m为实数），证明关于x的方程x2+2mx+1+2（m2－1）（x2+1）=0也无实根。

14、已知：

a>

0,b>

a+c,判断关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况。

15、m为何值时，方程2（m+1）x2+4mx+2m－1=0。

（1）有两个不相等的实数根；

（2）有两个实数根；

（3）有两个相等的实数根；

（4）无实数根。

16、当一元二次方程（2k－1）x2－4x－6=0无实根时，k应取何值?

17、已知：

关于x的方程x2+bx+4b=0有两个相等实根，y1、y2是关于y的方程y2+（2－b）y+4=0的两实根，求以

、

为根的一元二次方程。

18、若x1、x2是方程x2+

x+q=0的两个实根，且

求p和q的值。

19、设x1、x2是关于x的方程x2+px+q=0（q≠0）的两个根，且x21+3x1x2+x22=1，

，求p和q的值。

20、已知x1、x2是关于x的方程4x2－（3m－5）x－6m2=0的两个实数根，且

，求常数m的值。

21、已知α、β是关于x的方程x2+px+q=0的两个不相等的实数根，且α3－α2β－αβ2+

β3=0，求证：

p=0,q<

22、已知方程（x－1）（x－2）=m2（m为已知实数，且m≠0），不解方程证明：

（1）这个方程有两个不相等的实数根；

（2）一个根大于2，另一个根小于1。

23、k为何值时，关于x的一元二次方程kx2－4x+4=0和x2－4kx+4k2－4k－5=0的根都是整数。

24、不解方程判别根的情况

x（

x－2）+1=0。

25、不解方程判别根的情况x2－0.4+0.6=0；

26、不解方程判别根的情况2x2－4x+1=0；

27、不解方程判别根的情况4y（y－5）+25=0；

28、不解方程判别根的情况（x－4）（x+3）+14=0；

29、不解方程判别根的情况

30、试证：

关于x的一元二次方程x2+（a+1）x+2（a－2）=0一定有两个不相等的实数根。

31、若a＞1，则关于x的一元二次方程2（a+1）x2+4ax+2a－1=0的根的情况如何?

32、若a＜6且a≠0，那么关于x的方程ax2－5x+1=0是否一定有两个不相等的实数根?

为什么?

若此方程一定有两个不相等的实数根，是否一定满足a＜6且a≠0?

33、.a为何值时，关于x的一元二次方程x2－2ax+4=0有两个相等的实数根?

34、已知关于x的一元二次方程ax2－2x+6=0没有实数根，求实数a的取值范围。

35、已知关于x的方程（m+1）x2+（1－2x）m=2。

m为什么值时：

（1）方程有两个不相等的实数根?

（2）方程有两个相等的实数根?

（3）方程没有实数根?

36、分别根据下面的条件求m的值：

（1）方程x2－（m+2）x+4=0有一个根为－1；

（2）方程x2－（m+2）x+4=0有两个相等的实数根；

（3）方程mx2－3x+1=0有两个不相等的实数根；

（4）方程mx2+4x+2=0没有实数根；

（5）方程x2－2x－m=0有实数根。

37、已知关于x的方程x2+4x－6－k=0没有实数根，试判别关于y的方程y2+（k+2）y+6－k=0的根的情况。

38、m为什么值时，关于x的方程mx2－mx－m+5=0有两个相等的实数根?

39、已知关于x的一元二次方程

（p≠0）有两个相等的实数根，试证明关于x的一元二次方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根。

40、已知一元二次方程x2－6x+5－k=0的根的判别式

=4，则这个方程的根为。

41、若关于x的方程x2－2（k+1）x+k2－1=0有实数根，则k的取值范围是（）

A.k≥－1B.k＞－1C.k≤－1D.k＜-1

42、已知方程ax2+bx+c=0（a≠0，c≠0）无实数根，试判断方程

的根的情况。

一元二次方程根与系数的关系

1、如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根是x1、x2，那么x1+x2=，x1·

x2=。

2、已知x1、x2是方程2x2+3x－4=0的两个根，那么：

x1+x2=；

x1·

x2=；

；

x21+x22=；

（x1+1）（x2+1）=；

｜x1－x2｜=。

3、以2和3为根的一元二次方程（二次项系数为1）是。

4、如果关于x的一元二次方程x2+

x+a=0的一个根是1－

，那么另一个根是，a的值为。

5、如果关于x的方程x2+6x+k=0的两根差为2，那么k=。

6、已知方程2x2+mx－4=0两根的绝对值相等，则m=。

7、一元二次方程px2+qx+r=0（p≠0）的两根为0和－1，则q∶p=。

8、已知方程x2－mx+2=0的两根互为相反数，则m=。

9、已知关于x的一元二次方程（a2－1）x2－（a+1）x+1=0两根互为倒数，则a=。

10、已知关于x的一元二次方程mx2－4x－6=0的两根为x1和x2，且x1+x2=－2，则m=，（x1+x2）

=。

11、已知方程3x2+x－1=0，要使方程两根的平方和为

，那么常数项应改为。

12、已知一元二次方程的两根之和为5，两根之积为6，则这个方程为。

13、若α、β为实数且｜α+β－3｜+（2－αβ）2=0，则以α、β为根的一元二次方程为。

（其中二次项系数为1）

14、已知关于x的一元二次方程x2－2（m－1）x+m2=0。

若方程的两根互为倒数，则m=；

若方程两根之和与两根积互为相反数，则m=。

15、已知方程x2+4x－2m=0的一个根α比另一个根β小4，则α=；

β=；

m=。

16、已知关于x的方程x2－3x+k=0的两根立方和为0，则k=

17、已知关于x的方程x2－3mx+2（m－1）=0的两根为x1、x2，且

，则m=。

18、关于x的方程2x2－3x+m=0，当时，方程有两个正数根；

当m时，方程有一个正根，一个负根；

当m时，方程有一个根为0。

19、若方程x2－4x+m=0与x2－x－2m=0有一个根相同，则m=。

20、求作一个方程，使它的两根分别是方程x2+3x－2=0两根的二倍，则所求的方程为。

21、一元二次方程2x2－3x+1=0的两根与x2－3x+2=0的两根之间的关系是。

22、已知方程5x2+mx－10=0的一根是－5，求方程的另一根及m的值。

23、已知2+

是x2－4x+k=0的一根，求另一根和k的值。

24、证明：

如果有理系数方程x2+px+q=0有一个根是形如A+

的无理数（A、B均为有理数），

那么另一个根必是A－

25、不解方程，判断下列方程根的符号，如果两根异号，试确定是正根还是负根的绝对值大?

26、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

x31x2+x1x32

27、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

28、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

（x21－x22）2

29、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

x1－x2

30、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

31、已知x1和x2是方程2x2－3x－1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

x51·

x22+x21·

x52

32、求一个一元二次方程，使它的两个根是2+

和2－

33、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。

34、造一个方程，使它的根是方程3x2－7x+2=0的根；

（1）大3；

（2）2倍；

（3）相反数；

（4）倒数。

35、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时，方程的两个实数根满足：

（1）一个根比另一个根大2；

（2）一个根是另一个根的3倍；

（3）两根差的平方是17。

36、已知关于x的方程2x2－（m－1）x+m+1=0的两根满足关系式x1－x2=1，求m的值及两个根。

37、α、β是关于x的方程4x2－4mx+m2+4m=0的两个实根，并且满足

，求m的值。

38、已知一元二次方程8x2－（2m+1）x+m－7=0，根据下列条件，分别求出m的值：

（1）两根互为倒数；

（2）两根互为相反数；

（3）有一根为零；

（4）有一根为1；

（5）两根的平方和为

39、已知方程x2+mx+4=0和x2－（m－2）x－16=0有一个相同的根，求m的值及这个相同的根。

40、已知关于x的二次方程x2－2（a－2）x+a2－5=0有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，

求a的值。

41、已知方程x2+bx+c=0有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b、c的值。

42、设：

3a2－6a－11=0，3b2－6b－11=0且a≠b，求a4－b4的值。

43、试确定使x2+（a－b）x+a=0的根同时为整数的整数a的值。

44、已知一元二次方程（2k－3）x2+4kx+2k－5=0，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求

当k取何整数时，方程有两个整数根。

45、已知：

α、β是关于x的方程x2+（m－2）x+1=0的两根，求（1+mα+α2）（1+mβ+β2）的值。

46、已知x1,x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1、x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常数p、q的值。

47、已知x1、x2是关于x的方程x2+m2x+n=0的两个实数根；

y1、y2是关于y的方程y2+5my+7=0的两个实数根，且x1－y1=2,x2－y2=2，求m、n的值。

48、关于x的方程m2x2+（2m+3）x+1=0有两个乘积为1的实根，x2+2（a+m）x+2a－m2+6m－4=0有大于0且小于2的根。

求a的整数值。

49、关于x的一元二次方程3x2－（4m2－1）x+m（m+2）=0的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m的值。

50、已知：

α、β是关于x的二次方程：

（m－2）x2+2（m－4）x+m－4=0的两个不等实根。

（1）若m为正整数时，求此方程两个实根的平方和的值；

（2）若α2+β2=6时，求m的值。

51、已知关于x的方程mx2－nx+2=0两根相等，方程x2－4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍。

求证：

方程x2－（k+n）x+（k－m）=0一定有实数根。

52、关于x的方程

=0，其中m、n分别是一个等腰三角形的腰长和底边长。

（1）求证：

这个方程有两个不相等的实根；

（2）若方程两实根之差的绝对值是8，等腰三角形的面积是12，求这个三角形的周长。

53、已知关于x的一元二次方程x2+2x+p2=0有两个实根x1和x2（x1≠x2），在数轴上，

表示x2的点在表示x1的点的右边，且相距p+1，求p的值。

54、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为α、β，且两个关于x的方程x2+（α+1）x+β2=0与x2+（β+1）x+α2=0有唯一的公共根，求a、b、c的关系式。

55、如果关于x的实系数一元二次方程x2+2（m+3）x+m2+3=0有两个实数根α、β，那么（α－1）2+（β－1）2的最小值是多少?

56、已知方程2x2－5mx+3n=0的两根之比为2∶3，方程x2－2nx+8m=0的两根相等（mn≠0）。

求

证：

对任意实数k，方程mx2+（n+k－1）x+k+1=0恒有实数根。

57、

（1）方程x2－3x+m=0的一个根是

，则另一个根是。

（2）若关于y的方程y2－my+n=0的两个根中只有一个根为0，那么m，n应满足。

58、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积

x2+3x+1=0；

59、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积

3x2－2x－1=0；

60、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积

－2x2+3=0；

61、不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积

2x2+5x=0。

62、已知关于x的方程2x2+5x=m的一个根是－2，求它的另一个根及m的值。

63、已知关于x的方程3x2－1=tx的一个根是－2，求它的另一个根及t的值。

64、设x1，x2是方程3x2－2x－2=0的两个根，