届高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练60文docx.docx
《届高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练60文docx.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《届高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练60文docx.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
届高考数学一轮复习第九章解析几何层级快练60文docx
层级快练（六十）
1.抛物线的焦点到准线的距离是（）
A.2B.1
11
c-2
答案D
解析抛物线标准方程x2=2py（p>0）中P的几何意义为：
抛物线的焦点到准线的距离，又P=扌，故选D.
29亠4
D.y=—-x或x=—-y
答案A
Q4
解析设抛物线的标准方程为/=kx或/=吋，代入点P（-2,3）,解得k=-~,m=-,
y"=—|xx2=-|y,选A.
3.若抛物线y=ax2的焦点坐标是（0,1）,则a=（）
1
A.1B.-
1
C.2D.7
4
答案D
解析因为抛物线的标准方程为x2=^y,所以其焦点坐标为（0,右），则有右=1，a=|,故选D.
4.若抛物线y2=2px上一点P（2,yo）到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为（）
A.y2=4xB.y'=6x
C.y2=8xD.y2=10x
答案C
解析・・•抛物线『=2px,・・・准线为x=—
・・•点P（2,y°）到其准线的距离为4,・\|-|-2|=4.
・・.p=4,.•・抛物线的标准方程为y'=8x.
5.己知点A（-2,3）在抛物线C：
y2=2px的准线上，记C的焦点为F,则直线AF的斜率为（）
4
A.—§B.—1
31
C.-4D.-2
答案C
解析因为点A在抛物线的准线上，所以一号=一2,所以该抛物线的焦点F（2,0）,所以kAF
3—03
=_2_2=
6.（2018•衡水中学调研卷）若抛物线y2=2px（p>0）上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6,则抛物线的方程为（）
A.y2=4xB.y2=36x
C.y2=4x或『=36xD.y2=8x或『=32x
答案C
解析因为抛物线『=2px（p>0）上一点到抛物线的对称轴的距离为6,所以若设该点为P,则P（x°,±6）.因为P到抛物线的焦点F§,0）的距离为10,所以由抛物线的定义得xo+|=10①.因为P在抛物线上，所以36=2pxo②.由①②解得p=2,xo=9或p=18,x（i=l,则抛物线的方程为y2=4x或y2=36x.
7.（2016•课标全国I）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A,B两点，交C的准线于D,E两点.已知|AB|=4^,|DE|=2击，则C的焦点到准线的距离为（）
A.2B.4
C.6D.8
答案B
解析由题意，不妨设抛物线方程为y2=2px（p>0）,由|AB|=4a/2,|DE|=2^5,可取
2边），D（—号，&）,设0为坐标原点，rfl10A|=10D|,得孑+8=牛+5,得p=4,所以选
B.
8.（2018•吉林长春调研测试）己知直线h：
4x—3y+6=0和直线L：
x=—1,抛物线寸=4X上一动点P到直线h和直线12的距离之和的最小值是（）
B.2
D.3
答案B
解析由题可知12：
x=—l是抛物线y2=4x的准线，设抛物线的焦点为F（l,0）,则动点P
到12的距离等于|PF|,则动点P到直线h和直线12的距离之和的最小值，即焦点F到直线
1.：
4x—3y+6=0的距离，所以最小值是止|土匸=2,故选B.
22
9.点A是抛物线G：
y2=2px（p>0）与双曲线C2：
丰一泊=l（a〉0,b〉0）的一条渐近线的交点,
若点A到抛物线G的准线的距离为p,则双曲线C2的离心率等于（）A.边B.萌
B.&D.&
答案C
解析求抛物线G:
y~2px（p>0）与双曲线C2：
与一£=1@>0,b>0）的一条渐近线的交点为clD
2pa“
x=〒，?
2
所以爷~=*‘c2=5a2,e=&,故选C.
10.
若以MF为直径的圆过点（0,2）,则C的方程为（
A.y'=4x或y'=8x
C.y2=4x或b=i6x
B.
D.
）
y'=2x或y2=8x
y2=2x或b=i6x
（2013•课标全国II,理）设抛物线C：
y2=2px（p>0）的焦点为F,点M在C上，|MF|=5
答案C
解析方法一：
设点M的坐标为（xo,yo）,由抛物线的定义，得|MF|=xo+^=5,则x0=5—
又点F的坐标为召，0）,所以以MF为直径的圆的方程为（x-x°）（x-%+（y-y°）y=0.
2
Yo
将x=0,y=2代入得pxo+8—4yo=0,即〒一4yo+8=O,所以yo=4.
由yj=2pxo,得16=2p（5—§）,解之得p=2或p=&
所以C的方程为y'=4x或y2=16x.故选C.
方法二由已知得抛物线的焦点F&,0）,设点A（0,2）,抛物线上点M（x。
，yo）,则AE=（|,
2
—2）,AM=（^~,y0—2）.
、、8
由已知得,AF-AM=0,即yo2-8yo+16=O,因而y°=4,M（-,4）.
由抛物线定义可烁昭冷+=又p>0,解得p=2或p=8,故选C.
11.（2018•合肥质检）已知抛物线y2=2px（p>0）±一点M到焦点F的距离等于2p,则直线
MF的斜率为（）
A.±^3B.±1
答案A
解析设M（x“，yM）,由抛物线定义可得|MF|=x«+7=2p,解得x产学，代入抛物线方程可
得刊=土羽p,则直线MF的斜率为」^=旦亟=土书，选项A正确.Xh_2卩
12.（2018•太原一模）已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,AABC的顶点都在抛物线上,
且满足FA+FB+FC=O,则丄+丄+丄
KabKbcKca
A.0
y：
J=（0,0）,
,1X2—Xi
故yi+y2+y：
j=0.
Z22、
亦y22
y2—yi
守,同理可知十
■LiJ_iJ__2（Yi+y2+y3）_
2p
答案
y：
＜+y2J__ys+yi
2p'kcA2p'
13.（2018•河南新乡第一次调研）经过抛物线y2=8x的焦点和顶点且与其准线相切的圆的半径为.
答案3解析圆心是x=l与抛物线的交点.r=l+2=3.
14.（2018•福建闽侯三中期中）已知抛物线x2=4y的焦点为F,准线为1,P为抛物线上一
点，过P作PA丄1于点A,当ZAF0=30°（0为坐标原点）时，|PF|=.
4答案3
解析设1与y轴的交点为B,在RtAABF中，ZAFB=30°,|BF|=2,所以|AB|=^.
9a（3i4
设P（x°,y0）,则x0=±-^-,代入x'=4y中,得yo=§，从M|PF|=|PA|=y0+l=-
15.已知定点Q（2,-1）,F为抛物线y2=4x的焦点，动点P为抛物线上任意一点，当|PQ|
+|PF|取最小值时，P的坐标为・
答案（£一1）
解析设点P在准线上的射影为D,则根据抛物线的定义可知|PF|=|PD|,・・・要使|PQ|+|PF|取得最小值，即D,P,Q三点共线时|PQl+|PF|最小.将Q（2,一1）的纵坐标代入y2=4x得x=t，故P的坐标为（扌，—1）.
J
L
r
16.
米.
答案2&
解析建立如图所示的平血直角坐标系,
米.水位下降1米后，水而宽
2
右图是抛物线形拱桥，当水面在1时，拱顶离水面2米，水面宽
设抛物线的方程为x2=-2py（p>0）,
由点（2,—2）在抛物线上，可得p=l,则抛物线方程为x2=-2y.当y=—3时，x=±&,
所以水面宽为2&米.
17.抛物线y'=2px（p>0）有一个内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边所在直线方
程为y=2x,斜边长为5你，求此抛物线方程.答案『=4x
解析设抛物线y2=2px（p>0）的内接直角三角形为AOB,直角边0A所在直线方程为y=2x,
另一直角边所在直线方程为y=—
y=2x,（p、
解方程组｛2°可得点A的坐标为RP；
[y“=2px,\2）
■__1
解方程组「一一歹‘可得点B的坐标为（8p,-4p）.
.『=2px,
V|0A|2+|0B|2=|AB|2,且|AB|=5伍,
・・・（^+pJ+（64p2+16p2）=325.
・・・p=2,・・・所求的抛物线方程为y2=4x.
18.
（2018・上海春季高考题）利用“平行于圆锥母线的平面截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影射出的抛物线的平面图，图3是一个射灯投影的直观图，在图2与图3中，点0、A、B在抛物线上，0C是抛物线的对称轴，0C丄AB于C,AB=3米，0C=4.5米.
（1）求抛物线的焦点到准线的距离;
（2）在图3屮，已知0C平行于圆锥的母线SD,AB、DE是圆锥底而的直径，求圆锥的母线与
轴的夹角的大小（精确到0.01°）.
答案⑴+
（2）9.59°
解析
（1）如图，以0为坐标原点，0C所在直线为y轴，建系.
・・・B（1.5,-4.5）・
设抛物线方程为x2=-2py.
点B（1.5,-4.5）在抛物线上.
・“=#.・••焦点到准线距离为
（2）如图,C为DE中点,OC〃SD,・・・0为SE中点.
SC丄DE,0C=4.5,・・・SE=20C=9.
DE=AB=3,•••CE=1・5.
AZSCE^9.59°.
・・・圆锥的母线与轴的夹角约为9.59°.
1.抛物线y=4x?
关于直线x-y=O对称的抛物线的准线方程是（）
1
A.y=—1B-y=——
答案D
解析抛物线x2=p的准线方程为尸一占关于x=y对称的准线方程x=—右为所求.
2.已知点P是抛物线『=2x上的一个动点，则点P到点（0,2）的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（）
A.焉-B.3
答案A
解析抛物线『=2x的焦点为F§,0）,准线是1,由抛物线的定义知点P到焦点F的距离
等于它到准线1的距离，因此要求点P到点（0,2）的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值，可以转化为求点P到点（0,2）的距离与点P到焦点F的距离之和的最小值，结合
答案C
解析抛物线方程化标准方程为x2=^,焦点在y轴上，焦点为（0,音）.
4.已知点A（—2,3）在抛物线C：
y2=2px的准线上，过点A的直线与C在笫一-象限相切于
点B,记C的焦点为F,则直线BF的斜率为（）
答案D
解析先确定切线的方程，再联立方程组求解.
抛物线y2=2px的准线为直线x=—§而点A（-2,3）在准线上，所以一|=-2,即p=4,
从而C：
y2=8x,焦点为F（2,0）.设切线方程为y—3=k（x+2）,代入y?
=8x得y+2k
ki
+3=0（kH0）①.rfl于A=1—4X-・（2k+3）=0,所以k=—2或k=-因为切点在第一象限，所以k=|.
将匸+代入①中，得y=8,再代入y2=8x中得x=8,所以点B的坐标为（8,8）,所以直线
84
BF的斜率为石=亍.
5.（2018•海口一模）过点F（0,3）且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为（）
A.y2=12xB.y2=—12x
C・x2=—12yD.x'=12y
答案D
6.
（2018•湖北黄冈中学检测）若坐标原点到抛物线丫=01/的准线的距离为2,则实数m=
答案D
解析x2=-y,故由题意可得宀=2,所以m=±|.
m4|m|8
7.（2018-江西吉安一中期中）已知抛物线x2=4y的焦点为F,其上有两点A（Xl,yJ,B（x2,
y2）满足|AF|—|BF|=2,则yi+x/—y2—X22=（）
A.4B.6
C.8D.10
答案D
解析V|AF—|BF|=2,.*.yi+l—（y^+l）=2,・：
yi—y2=2,所以yi+xi2—y-2-x22=5（yi
—y2）=10,故选D・
8.（2018•云南昆明适应性检测）己知抛物线C：
y2=2px（p>0）的焦点为F,点A,B在C上,且点F是AAOB的重心，贝iJcosZAFB为（）
37
A.—tB.—~
b8
1123
Cn
1225
答案D
解析设A（xi,yi）,B（x2,y2）,则rfl重心坐标公式得%yi+y2=0,故A,B关于x
轴对称，则xi=X2=卩，所以|AF|=|BF|=卩+号=卩，|ABf=6p2,所以由余弦定理可得cos
9.（2018•湖南郴州第二次质检）已知正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线『=2px（p〉0）上，则这个正三角形的边长为（）
A.2^3pB.2p
C.4^3pD.4p
答案C
…••直线0A的方程为y=^x,由<
—亚
L3%，得
y=2px,
x=6p,、y=2^p,
.*.A（6p,2a/3p）,
30°，斜率
解析・・•抛物线『=2px关于x轴对称，.••若正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线『=2px（p>0）上，则A,B关于x轴对称，如图所示，.••直线0A的倾斜角为
则B（6p,一2萌p）,・・・|AB|=4羽p,・・・这个正三角形的边长为4羽p.故选C.
10.（2016•浙江，理）若抛物线『=4x上的点M到焦点的距离为10,则M到y轴的距离是
答案9
解析由于抛物线y2=4x的焦点为F（l,0）,准线为x=—1,设点M的坐标为（x,y）,贝!
]x+1=10,所以x=9.故M到y轴的距离是9.
11.在抛物线y2=4x上找一点M,使|MA|+|MF|最小，其中A（3,2）,F（l,0）,求M点的坐标及此时的最小值.
答案M（l,2）,最小值为4
解析如图点A在抛物线y2=4x的内部，由抛物线的定义可知，|MA|+|MF|b\
=|MA|+|MH|,\
其中|M川为M到抛物线的准线的距离.
过A作抛物线准线的垂线交抛物线于恥，垂足为B,
则|MA|+|MF|=|MA|+|MH|>|AB|=4,
当且仅当点M在M.的位置时等号成立.
此时Mi点的坐标为（1,2）.
12.
（2018・黑龙江大庆一模）已知圆x2+y2+mx-|=0与抛物线y2=4x的准线相切，则m
解析圆x'+y'+mx—+=0圆心为（一》，0）,半径r=寸；+抛物线f=4x的准线为x
=-1.由I
13.一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=ax上，另一个顶点在坐标原点，若这个三角形
的而积为3裁，贝2=・
答案±2羽
解析设正三角形边长为x,贝036^/3=p2sin60°.
x=12.
当a>0时，将（6萌，6）代入
y2=ax得a=2羽.
当a<0时，将（一6书，6）代入
y2=ax得a=—2^/3,故a=±2y[i.
14.已知抛物线y=ax?
—1的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的
三角形面积为・
答案2
11y
解析y=ax'—1变形为x2=-（y+l）,此抛物线焦点坐标为（0,——1）,
aqa\/
由题意1=0,
1
・・・a=孑
・••抛物线为y=^x2—1,令y=0,得x=±2,如图.
顶点A（0,一1）,|BC|=4・
・・・S△做=*|BC|・|AF|=|x4Xl=2.
15.（2017•湖北恩施一中开学考）长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2=x±滑动，则线段AB屮点M到y轴距离的最小值是
答案;
解析设抛物线y2=x的焦点为F,准线为1,点A,B,\1在1上的射影分别为点C,D,N,连接AC,BD,MN,如图.由梯形的中位线定理，可W|MN|=|（|AC|+|BD|）.连接AF,BF,根据抛物线的定义得|AF|=|AC|,|BF|=|BD|.根据平面几何知识,可得|AF|+|BF|N|AB|,当且仅当点F在AB上时取等号,・・・|AC|+|BD|M|AB|=2,・・・|MN|=*（|AC|+|BD|）M*|AB|=1.
设点M的横坐标为a,抛物线/=x的准线方程为x=—右则
13|MN|=a+~>l,解得a屯.
因此，当且仅当线段AB为经过抛物线焦点的弦时，AB的中点M到y轴的距离最小，头#.
16.过点M（2,一2p）作抛物线x2=2py（p>0）的两条切线，切点分別为A,B,若线段AB屮点
的纵坐标为6,求抛物线方程.
答案x2=2y或x2=4y
解析X—2py变形为y—少X,
2p
x
J
k/x
:
N=一•设A（xi,yj,B（X2,y2）,
P
.•.yz|x=Xl=-
p
•I切线AM方程为y—yi=~（x—xi）.
p
即y=-x-^.同理BM方程为y仝x—竽.
P2pp2p
_rz、f.f.,-八、i2X1X12x2X2
又（2,—2p）在两条且线上，二—2p=—_,—2p=—厂・
P2pp2p
v22x
AxuX2是方程丁一一一2p=0的两根•
2pP
即x2—4x—4p2=0.・：
xi+x2=4,xiX2=—4p‘.
Ayi+y2（xi2+x22）=^~[（xi+x2）2—2xix2]=^-（16+8p2）.
又・・•线段AB屮点纵坐标为6,.-.7,4-72=12,即4（16+8离=12.
解得p=l或p=2.
・•・抛物线方程为x2=2y或x2=4y.
升级会员 