公考数量关系笔记Word文档下载推荐.docx
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N、中间=〔左角-右角〕×
上角；
圆圈推理和正方形推理的运算顺序是：
先观察对角线成规律，然后再观察上下半部和右半部成规律；
九宫格那么是每行或者每列成规律
数学运算
1、能被常见数字整除的数字的特征
⑴被2整除的数字：
末尾数为0，2，4，6，8
⑵被3〔或9〕整除的数字：
各位数字和能被3〔或9〕整除
⑶被4〔或25〕整除的数字：
末两位数字能被4〔或25〕整除
⑷被8〔或125〕整除的数字：
末三位数字能被8〔或125〕整除
⑸被5整除的数字：
末尾数为0，5
⑹被7〔或13〕整除的数字：
末三位与末三位之前的数字之差能被7〔或13〕整除〔对于位数较多的数字，可反复使用〕
⑺被11整除的数字：
奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除
2、余数问题
⑴被2〔或5〕除得到的余数：
就是其末一位数字被2〔或5〕除得到的余数
⑵被4〔或25〕除得到的余数：
就是其末两位数字被4〔或25〕除得到的余数
⑶被8〔或125〕除得到的余数：
就是其末三位数字被8〔或125〕除得到的余数
⑷被3〔或9〕除得到的余数：
就是其各位数字之和被3〔或9〕除得到的余数
余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数为最小周期
例、一个数除3余1，除4余1，除5余1，那么这个数表示为60n+1
一个数除5余4，除6余3，除8余1，那么这个数表示为120n+9
一个数除3余1，除4余2，除10余8，那么这个数表示为60n-2
3、2是唯一一个为偶数的质数，因此，如果两个质数的和〔或差〕是奇数，那么其中必有一个为2，如果两个质数的积为偶数，那么其中也必有一个为2.
4、乘方尾数问题
1）底数留个位
2）指数留末两位除以4留余数〔余数为0看作4〕
例1：
22007+32021+42021的个位数是多少？
3
22007+32021+42021=23+34+41=8+1+4=3
数列求和公式：
12-22+32-42+…+〔-1〕n-1n2=〔-1〕n-1n（n+1）/2
当n≥5时，n！
尾数均为0
5.处以“7〞乘方余数问题
口诀：
底数除以7留余数；
指数除以6留余数〔余数为0那么看作6〕
20072021除以7余数是多少？
6.去9法：
在整数范围内的+、-、×
、÷
运算当中，可以使用“弃九法〞来排除选项
例如：
11338×
25593的值为：
A.290133434B.290173434C.290163434D.290153434
6.循环数的转换：
198198198转化为：
198×
1001001
7.二次方程
一个长方形，面积为60，周长为32，那么其较短的边长为多少？
根据韦达定理复原方程“x2-16x+60〞其方程根为6，10
即较短边长为6
8.等差数列公式
项数=〔末-首〕/公差+1
其中：
奇数列的求和为：
N2
在连续奇数13-------205207中选取n个不同数，使得它们的和为2359，那么n的最大值是多少
47485051
最值问题
1、三次函数：
y=ax3+bx2+cx+d求最值：
将Y=3ax2+2bx+c=0求得x代入原式得最值
2、二次函数：
y=ax2+bx+c最值为（4ac-b2）/4a
裂相相加法
公式：
倍/差〔1/小分母-1/大分母〕
3/〔2×
5〕-3/〔5×
8〕+3/〔8×
11〕+……3/〔29×
32〕=？
3/3〔1/2-1/32〕=15/32
容斥问题
两集合容斥公式：
满足1+满足2-都满足=总数-不满足
某部门共有82人，其中男性62人，本省籍42人，不是本省籍的女性11人，那么本省籍的男性人数有〔
〕。
A．33
B．21
C．22
D．23
新变化：
三集合条件缺乏是要按两集合容斥计算
奥运会期间共有英语、日语和德语翻译人员60人，其中能做英语翻译的有31人，能做日语翻译的有31人，能做德语翻译的有21人，既能做英语翻译又能做日语翻译的有12人，既能做英语翻译又能做德语翻译的有6人，三种语言翻译都能做的有3人，那么只能做德语翻译的人有多少个?
A.10个B.12个C.14个D.16个
三集合容斥公式：
∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣-∣C∩A∣+∣A∩B∩C∣
公式2：
W=X+Y+Z;
A+B+C=X×
1+Y×
2+Z×
3
某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片，其中有24人三部电影全看过，20人一部也没有看过，那么只看过其中两部电影的人数是〔〕
A.69人B.65人C.57人D.46人
页码问题
1、从数字推页码公式：
100-999页：
页码=数字/3+36
1000-9999页：
页码=〔数字+123×
9〕/4
2、出现数字次数问题：
〔分类〕
200页的书出现过多少次“1〞
分类：
个位上每10出现1一个“1〞：
200/10×
1=20个
十位上每100出现10个“1〞：
200/100×
10=20个
百位上每百出现100个“1〞：
100=100个
共有：
20+20+100=140个
翻硬币问题
1、如果有N个硬币〔N为偶数〕每次同时翻N-1个杯子那么至少需N次使其改变状态
2、如果有N个硬币〔N为偶数〕每次同时翻转偶数个硬币那么无论多少次也都不能改变其状态
1、现在有6个硬币正面朝上，你可以每次翻转5个那么最少经过多少次可以使硬币都反面朝上？
6次
2、有7个杯口全部朝上的杯子，每次将其中4个同时翻转，经过几次翻转，杯口可以全部向下？
无论几次都不行
拆数问题
对于拆数问题只能拆成2和3，3的个数要尽量的多，2的个数不多于2个
将14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，可以求出的最大积是多少？
162
过河问题
有M个人需过河，尽有一条小船，每次只能载N个人，需要几次过河？
〔M-1〕/〔N-1〕
剪绳问题
一条绳连续对折N次，从中M刀，那么被剪成了〔2N×
M+1〕
正方体外表积问题
无论是堆放正方体还是挖正方体一次多4个侧面面积
延着顶点那么外表积不变
假设一个边长为20厘米的正方体外表上挖一个边长为10厘米的正方体洞，问大正方体的外表积增加了多少？
400M2
排列组合
1、假设将N个元素重新排列，使每个元素都不在自己的位置上，可能的方法数记作Tn，那么T1=0，T2=1，T3=2，T4=9，T5=44，T6=265
淘汰赛所需场次：
仅需决出冠亚军，比赛场次=N-1
需决出第1、2、3、4名，比赛场次=N
循环赛所需场次：
单循环〔任意两个队打一场比赛〕，比赛场次=CN2
双循环〔任意两个队打两场比赛〕，比赛场次=PN2
（其中N为参加比赛的总人数或总的队数）
2、m人进行传球游戏，传递N次后，球最后又回到发球人手里的传球方式为
S=[（m-1〕N+（-1）N（m-1）]/m
四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。
开始由甲发球，并作为第一次传球，假设第五次传球后，球又回到甲手中，那么共有传球方式：
A.60种B.65种C.70种D.75种
3、重复剔除型
例一：
将6个人平均分成三组，问一共有多少种分配方法？
C26×
C24×
C22÷
A33
当平均分组时，一旦有N个组人数相同，最后都要处以ANN以剔除重复情况
例题：
将11个人分成“3、3、2、2、1〞这样五组，共有多少种分配方法？
例二：
六个人围成一个圈，不同的排列方法有多少？
A66÷
6=120
当N人排成一圈，有ANN÷
N种排法
例三：
用6枚不同的珍珠串一条项链，共有多少种不同的串法？
当N枚珍珠串成一条项链，有ANN÷
2N种串法
4、分配插板法
例如：
将9个苹果平均分配给5个人，每人至少一个苹果，那么不同的分法有多少种？
C48=70
又如，将9个苹果放到3个不同的箱子，要求1个箱子不少于1个，第2个箱子不少于2个，第三
个箱子不少于3个，问有多少种分法？
先把一个苹果放到第2个箱子，2个苹果放到第3个箱子就可以用插板法
5、概率换算型
A、B、C、D、E、F六个人排成一排，请问A要站在B的前面〔不要挨着〕并且B要在C的前
面〔不要求挨着〕的站法共有多少种？
6个人共有A66=720种，对于A、B、C三人共有A33=6种其中有1种即1/6，所以720÷
概率问题
1、条件概率：
在事件A发生[P（A）>
0]的前提下，事件B发生的条件概率等于事件A、B同时发生的概率与事件A发生概率之商。
即：
P（B/A）=P（A∩B）/P（A）
2、二项分布：
重复试验n次，每次试验只有两种结果，并且事件发生的概率P在整个试验中保持不变，那么N次独立重复试验中发生K次的概率为P=CnkPk〔1-P〕n-k
3、n个签中有m个好签，在不知道前面抽签结果时，无论第几次抽，抽到好签概率均为P〔A〕=m/n
抽屉原理
1、把多于m×
n个元素放到n个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个元素
2、把〔mn-1〕个元素放到n个抽屉里，其中必有一个抽屉中之多有〔m-1〕个元素
鸡兔同笼
鸡数=（兔脚数×
总头数-总脚数）/〔兔脚数-鸡脚数〕
兔数=（总脚数-鸡脚数×
总头数）/〔兔脚数-鸡脚数〕
日期星期
每过一年就加1，闰年再加1，每过一月就加2，相差多少再补算
钟表问题
格：
1、钟面为12大格，时针每小时走1大格，分针每小时12大格，相差11大格
2、钟面为60小格，时针每小时走5小格，分针每小时60小格，相差55小格
3、分针的速度是时针的12倍，时针是分针速度的11/12
度数：
1、时针每小时走30o，分针每小时走360o，相差330o。
2、时针每分钟走0.5o，分针每分钟走6o，相差5.5o。
方阵问题
1、方阵不伦哪一层，每边上元素量相同，每向里一层，每边上人数就少2。
2、每层元素数=（每边元素数-1）×
4
每边元素数=每层元素数/4+1
3、方阵相邻两层元素数之差为8
实心方阵
1、实心方阵总元素=（最外层每边元素数）2
2、实心方阵总元素=（最外层元素数/4+1）2
3、方阵N×
N，N为偶数时，最里层元素为4，N为奇数是最里层元素为1
空心方阵
1、空心方阵总元素数=（最外层每边元素数）2-（最里层每边元素数-2）2
2、空心方阵总元素数=（最外层每边元素数）2-（最外层每边元素数-2×
层数）2
3、空心方阵总元素数=（最外层每边元素数-层数）×
层数×
集中化统筹〔把货物集中在一仓库，运费最少〕
1、非闭合路径上，每个点上货物重量相同时，最优方法为
当点为奇数时，应将货物集中在中间点
当点为偶数时，应将货物放在中间两点的任意一处
2、非闭合路径上，确定一点，判断该点两端货物的重量，把轻的一端向重的一端集中
假设一条路上每隔10公里就有一个自然村，共有5个自然村，依次在一至五号这5个自然村收购粮食重量分别为10、15、20、25、30吨，现要选一自然村建立临时粮站，每吨粮食运输费为0.5元、公里，要让运输费用最少，临时粮站应选在：
A．五号B.四号C.三号D.二号
解析：
以三号，四号中间的路作为判断点，其左侧粮食重量为10+15+20=45吨，其右侧粮食重量为25+30=55吨。
左侧小于右侧，货物应向右侧流动，放在四号自然村。
装卸工统筹〔如果有X个工厂和Y辆车，那么最少需要装卸工人数为〕
1、当X>
Y时，所需的装卸工总数最少是需要装卸工人数最多的Y个工厂所需的装卸工人数之和
2、当X<
Y时，所需的装卸工总数最少是各个工厂需要的装卸工人数之和
一个车队有三辆汽车，担负五家工厂的运输任务，这五家工厂分别需要7、9、4、10、6名装卸工，共计36名；
如果安排一局部装卸工跟车装卸，那么不需要那么多装卸工，而只需要在装卸任务较多的工厂再安排一些装卸工就能完成装卸任务。
那么在这种情况下，总共至少需要〔〕名装卸工才能保证各厂的装卸需求
A．26B.四号7C.28D.29
选出五个工厂的需要装卸工最多的三个，其人数分别为7、9、10，7+9+10=26，所以选A
等量转化问题
1、假设Y个空瓶可换1瓶饮料，买了X瓶饮料，那么最多可以喝Z瓶，有Z=X+∣X/（Y-1）∣
2、假设Y个空瓶可换1瓶饮料，最多喝Z瓶，那么需买X瓶饮料，有X=Z-∣Z/Y∣
3、假设Y个空瓶可换N瓶饮料，买了X瓶饮料，那么最多可以喝Z瓶，有Z=X+∣X/（Y-N）∣×
N
4、假设Y个空瓶可换N瓶饮料，最多喝Z瓶，那么需买X瓶饮料，有X=Z-∣Z/Y∣×
实例二：
2004年产量为X，比去年增长a%，收入为Y，比去年增长b%，
那么2004年单价比2003年增长Y=（b%-a%）/1+a%
扶梯上下问题
扶梯总长=人走的台阶数×
〔1±
V梯/V人〕，顺行用加法，逆行用减法
商场的自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个孩子在行驶的扶梯上上下走动，女孩由下往上走，男孩由上往下走，结果女孩走了40级到达楼上，男孩走了80级到达楼下。
如果男孩单位时间内走的扶梯级数是女孩的2倍。
那么当该扶梯静止时，可看到的扶梯梯级有多少级
不变速沿途数车
核心提示：
计算途中所见车辆的出发时间，从而确定可以遇到的车的数量
有甲、乙两汽车站，从甲站到乙站与从乙站到甲站每隔6分同时各发车一辆，且都是1小时到达目的地。
问某旅客乘车从甲站到乙站，在途中可看到几辆从乙站开往甲站的汽车？
〔〕
假设这个人9：
00出发，那么10：
00到达终点。
出发时，从对面8：
00发出的汽车刚好进站；
到达时，对面10：
00刚好又发一辆车，这两辆车都不算途中遇到，晚于8：
00而早于10：
00发出的，都可以在途中遇到。
总间隔为2小时，发车间隔为6分钟，不算尾首一共有2*60/6-1=19〔辆〕
屡次相遇问题
甲乙两车同时从A.B两地相向而行，第二次相遇时，一车离A的距离为S1，另一车离B的距离为S2，求AB两点的距离。
S=3S1-S2〔此为两岸问题〕
如果的是都距离A或B的距离，那么S=（3S1+S2）/2
调和平均数
常见题型：
都是所求值：
X=2AB/〔A+B〕
1、等距离平均速度问题
2、等价钱平均价格问题〔什锦糖问题〕
3、等溶质增减溶剂问题〔加水、蒸发水问题〕
4、等发车前后过车问题〔沿途前后过车问题〕
发车时间间隔T=2t1t2/〔t1+t2〕车速/人速=（t2+t1）/（t2-t1）
小明放学后，沿某路公共汽车路线以不变速度步行回家，该路公共汽车也以不变速度不停地运行。
每隔30分钟就有辆公共汽车从后面超过他，每隔20分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车。
问：
该路公共汽车每隔多少分钟发一次车?
解：
T=2×
30×
20/〔30+20〕=24车速/人速=（30+20）/〔30-20〕=5
浓度问题
典型例题：
例题一：
甲杯中有浓度为17%的溶液400克,乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克,现在从甲乙取出相同质量的溶液,把甲杯取出的倒入乙杯中,把乙杯取出的倒入甲杯中,使甲乙两杯的溶液的浓度相同,问现在两杯溶液浓度为多少?
A20%
B20.6%
C21.2%
D21.4%
其本质相当于完全混合题型
例题二：
甲、乙两个容器中分别装有17%的酒精溶液400克，9%的酒精溶液600克，从两个容器中分别取出相同重量的酒精溶液倒人对方容器中，这时两个容器的酒精浓度相同，那么从甲容器倒入乙容器中的酒精溶液的克数是（）
A.200B.240C.250D.260
其方法为：
X/〔600-X〕=〔400-X〕/X
浓度分别为a%、b%的溶液，质量分别为M、N，交换质量L后浓度都变成c%那么
1、C%=〔a%×
M+b%×
N〕/（M+N）
2、L=MN/（M+N）
题型二、混合稀释型
1、溶液倒出比例为A的溶液，再参加相同的溶剂，那么浓度变成原来的〔1-A〕
2、溶液参加比例为A的溶剂，在倒出相同的溶液，那么浓度变成原来的1/（1+A）
例题：
从一瓶浓度为20%的消毒液中倒出2/5后，加满清水，再倒出2/5，又加满清水，此时消毒液的浓度
倒出比例为2/5且为两次那么：
20%×
〔1-2/5〕2=7.8%
杯中原来有浓度为18%的盐水溶液100ML，重复以下操作2次：
参加100ML水，充分混合后，倒出100ML溶液。
问杯中水溶液的浓度变为多少
参加比例为1且为两次那么：
18%×
[1/〔1+1〕]2=4.5%
牛吃草问题
公示：
y=〔N-X〕×
T
Y代表原有存量〔比方“原有草量〞〕
N代表促使原有存量减少的变量〔比方“牛数〞〕
X代表存量的自然增长速度〔比方“草长速度〞〕
T代表存量完全消失所耗用的时间
注：
当出现牛羊不同是先统一化归为牛或羊计算，当出现“M头牛吃W亩草〞是N用“M/W〞带入
如果22头牛吃33公亩草，54天吃尽，17头牛吃28公亩草，84天吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩草，需要多少头？
同时，记住新的牛吃草算法
排队数人问题
实力五：
有X个人排队，站成一排，从左向右，甲是第M个，从右向左数，乙是N个，那么甲乙中有多少个人？
X-〔X-M〕-〔X-N〕-2
年龄问题
提示注意用把题目转化为表格形式便于计算且清晰
哥哥现在的年龄是弟弟当年的3倍,哥哥当年的年龄与弟弟现在的年龄相同，现在兄弟的年龄和是30岁，求哥哥的年龄？
表格如下：
哥哥弟弟
现在：
3XY
当年：
YX
极值题型一
共有100个人参加某公司的找聘考试，考试内容共有5道题，1——5题分别有80人，92人，86人，78人，和74人答对，答对3道和3道以上的人能通过考试，请问至少有多少人能通过考试？
答错人数分别为20、8、14、22、26那么共有90次，90次可分配给30人，使得这30个人每人错3道，那么至少还有100-30=70人通过。
某班40名同学在期末考试中，语文、数学、英语三门课成绩优秀的分别有32人、35人、33人，三门课都优秀的人数至少是（）人。
A.32B.28C.24D.20
［答案］D
［解析］想要“三门课都优秀的人尽量少〞，就要让“至少一门课不优秀的人尽可能多〞。
各门分别有8、5、7人未到达优秀，共8+5+7=20〔人次〕，如果这20人次分配给20个不同的人，就能保证20个人“不都优秀〞，这也是最多的情形。
所以“三门都优秀的〞至少有40-20=20〔人〕。
正方形涂漆
一个边长为8的正方体，由假设干个边长为1的正方体组成，现在要将大正方体外表涂漆，问一共有多少个小正方体外表被涂漆？
即：
8³
-〔8-2〕³
=296
公式为：
大边长的立方-〔大边长-2〕的立方
某医院内科病房有护士15名,每两人值一班,轮流值班,每8小时换一班.某两人同值一班后,到下次同值班需要多少天?
〔〕
A．30 B．35 C．45 D．105
15*14/2=10524/8=3105/3=35
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