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1、个位上是0或5的数都是5的倍数。
2、个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。
3、在整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数。
3的倍数的特征
1、一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
（请注意）同时是2、5、3的倍数的特征：
个位上是0且各位上的数的和是3的倍数。
三、质数和合数
质数和合数
1、一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数（或素数）。
2、一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。
3、1既不是质数，也不是合数。
最小的质数是2，最小的合数是4。
（请注意）质数中只有2是偶数，2是唯一的欧质数。
除2外，其他质数都是奇数；
但奇数不完全是质数。
例如：
9虽然是奇数，但它不是质数。
（请注意）偶数和合数之间有一定的联系：
除2外，所有的偶数都是合数；
但合数不完全是偶数。
45虽然是合数，但它不是偶数。
制作100以内的质数表
1、制作100以内的质数表的方法：
①根据质数、合数的意义直接找出100以内的质数，然后制成表格。
②用“筛选法”先画去1，再画去10以内质数的所有倍数（它们本身除外），这样就能找出100以内的质数，然后制成表格。
奇数和偶数的运算性质
1、和差的奇偶性：
奇数±
奇数＝偶数；
偶数＝奇数（大数减小数）；
偶数±
偶数＝偶数。
2、积的奇偶性：
奇数×
奇数＝奇数；
偶数＝偶数；
偶数×
第三单元长方体和正方体
一、长方体和正方体的认识
1、长方体的特征：
长方体是由6个长方形（特殊情况下有2个相对的面是正方形）围成的立体图形；
一个长方形有6个面、8个定点和12条棱；
相对的面完全相同，相对的棱长长度相等。
2、长方体长、宽、高的含义：
相交于同一定点的三条棱长的长度分别叫做长方体的长、宽、高。
长方体的12条棱中有4条长、4条宽、4条高。
3、正方体的特征：
正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形。
正方体有6个面、12条棱和8个顶点，6个面完全相同，12条棱的长度都相等。
4、长方体和正方体的关系（正方体是特殊的长方体）
从面、棱、顶点三方面比较长方体和正方体的异同
长方体
正方体
相同点
都有6个面、12条棱和8个顶点。
不同点
6个面都是长方形（特殊情况下有2个相对的面是正方形），相对的面完全相同。
6个面都是完全相同的正方形。
每一组互相平行的4条棱的长度相等。
12条棱的长度都相等。
二、长方体和正方体的表面积
1、长方体和正方体表面积的意义：
长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。
2、长方体表面积的计算公式：
①长方体的表面积＝长×
宽×
2＋长×
高×
2＋宽×
2
②长方体的表面积＝（长×
宽＋长×
高＋宽×
高）×
3、长方体表面积的字母公式：
①S＝2ab＋2ah＋2bh②S＝（ab＋ah＋bh）×
（注意：
S表示长方体的表面积，a、b、h分别表示长方体的长、宽、高）
4、正方体表面积的计算公式：
正方体的表面积＝棱长×
棱长×
6
5、正方体表面积的字母公式：
S＝6a2
S表示正方体的表面积，a表示正方体的棱长）
三、长方体和正方体的体积
体积和体积单位
（1）
1、体积的意义：
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2、体积单位：
常用的体积单位有立方厘米（cm3）、立方分米（dm3）、立方米（m3）。
3、长方体的体积计算公式：
长方体的体积＝长×
高。
字母公式：
V＝a×
b×
h。
V表示长方体的体积，a表示长方体的长，b表示长方体的宽，h表示长方体的高）
4、正方体的体积计算公式：
正方体的体积＝棱长×
棱长。
V＝a3。
体积和体积单位
（2）
1、长方体和正方体体积计算公式的应用：
已知长方体的长、宽、高，可以直接利用长方体的体积公式计算出长方体的体积；
已知正方体的棱长，可以直接利用正方体的体积公式计算出正方体的体积。
2、长方体、正方体统一的体积计算公式
长方体（或正方体）的体积＝底面积×
字母公式：
V＝Sh。
V表示体积，S表示底面积，h表示高）
3、长方体和正方体统一的体积计算公式的应用：
根据公式V＝Sh，可推导出S＝V÷
h，h＝V÷
S，已知这三个量中的任意两个量，都可以求出第三个量。
（请注意）长方体的表面积－底面积×
2＝4个侧面的面积和。
4个侧面的面积和＝底面周长×
高
体积单位间的进率
1、m3和dm3、dm3和cm3分别是相邻的体积单位，进率都是1000，即1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3。
长度单位、面积单位、体积单位的不同
意义
单位名称
相邻两个单位间的进率
长度单位
表示物体长度的量
米、分米、厘米
10
面积单位
计量物体面积大小的量
平方米、平方分米、平方厘米
100
体积单位
计量物体所占空间大小的量
立方米、立方分米、立方厘米
1000
2、体积单位之间互化的方法：
①由低级单位转化成高级单位，如果进率是10、100、1000……用低级单位的数除以进率，或把低级单位的数的小数点向左移动一位、两位、三位……②由高级单位转化成低级单位，如果进率是10、100、1000……用高级单位的数乘进率，或把高级单位的数的小数点向右移动一位、两位、三位……
（请注意）只有相邻的两个体积单位之间的几率才是1000，判断和互化时首先要看这两个单位是不是相邻的。
容积和容积单位
1、容积的意义：
容器所能容纳物体的体积、通常叫做它们的容积。
2、容积的单位：
升和毫升，分别用字母L和mL表示。
3、1L＝1000mL1L＝1dm31mL＝1cm3
4、长方体或正方体容器容积的计算方法与体积的计算方法相同，但要从容器的里面测量长、宽、高。
（请注意）容积和体积的联系：
①容积的大小可以通过容器所能容纳的物体的体积显示出来；
②容积的计算方法与体积的计算方法相同。
（请注意）容积和体积的区别：
①意义不同；
②计算时，测量数据的方法不同；
③有容积的物体一定有体积，但有体积的物体不一定有容积。
（请注意）物体的容积并不是物体的体积，体积是指物体自身所占空间的大小，容积是指物体所能容纳的物体的体积。
求不规则物体的体积
1、求形状不规则的物体的体积可以用排水法，上升的那部分水的体积就是形状不规则的物体的体积。
（请注意）用排水法求形状不规则的物体的体积时，将物体放入水中后，明确水上升的高度才是解题关键。
第四单元分数的意义和性质
一、分数的意义
分数的产生和意义
1、在测量、分物或计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用分数来表示。
2、单位“1”的含义：
一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体，这个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫做单位“1”，也叫做整体“1”。
3、分数的含义：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份货几份的数，叫做分数。
分数的形式可以用
（m、n为自然数，且m≠0）表示。
4、分数单位的意义：
把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数叫分数的单位。
5、分数单位及其个数：
一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；
分子是几，就是几个这样的分数单位。
（知识巧记）单位“1”，很重要，“平均分”，莫小瞧。
若干份，当分母，取份数，为分子。
计数单位好理解，几分之一记得牢。
单位个数是分子，千万不要弄混淆。
（请注意）不是所有分数的分数单位都不相同，分母不同的分数，分数单位是不同的；
分母相同的分数，分数单位是相同的。
二、分数与除法
1、分数与除法的关系：
两个整数相除，可以用分数表示商，即a÷
b＝
（b≠0），反之，分数也可以看作两个数相除，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号，分数值相当于商。
2、求一个数是另一个数（0除外）的几分之几的问题的解题方法：
一个数÷
另一个数＝
，即比较量÷
标准量＝
。
（请注意）分数和除法既有联系，又有区别，二者之间不能用相等或相同等词语来表述。
三、真分数和假分数
1、真分数的意义和特征
真分数的意义：
分子比分母小的分数叫做真分数。
真分数的特征：
真分数小于1。
2、假分数、带分数的意义和特征
假分数的意义与特征：
分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。
假分数大于或等于1。
带分数的意义与特征：
由整数（不包括0）和真分数合成的数叫做带分数。
带分数大于1。
3、把假分数化成数或带分数的方法：
用分子除以分母。
当分子是分母的整数倍时，能化成整数，商就是这个整数；
当分子不是分母的整数倍时，能化成带分数，商是带分数的整数部分，余数是真分数部分的分子，分母不变。
4、直线上的点表示分数的方法：
用直线上的点表示分数，先确定分数在哪个区间，再确定分点。
（请注意）假分数化成整数时，商就是这个整数，没有分母；
化成带分数时，分子除以分母的商是带分数的整数部分，分母不变。
四、分数的基本性质
1、分数的基本性质：
分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质。
2、分数的基本性质的应用：
利用分数的基本性质可以把分母不同的分数化成分母相同的分数，还可以把一个分数成指定分母的分数。
（请注意）在叙述分数的基本性质时，不能忘记限定的条件，即同时乘或者除以的数不能为0。
（请注意）在运用分数的基本性质解题时，必须保证分数的大小不变，即分子和分母同时乘或除以同一个不为0的数。
五、约分
1、公因数和最大公因数的意义：
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数。
其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
2、求两个数最大公因数的方法：
①列举法：
先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出最大的一个。
②筛选法：
先找出两个数中较小数的因数，从中圈出叫大数的因数，再看哪一个因数最大。
③分解质因数法：
先将这两个数分别分解质因数，再从分解的质因数中找出这两个数公有的质因数，公有的质因数相乘所得的积就是这两个数的最大公因数。
④短除法：
把两个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。
3、求两个数最大公因数的特殊情况：
①当两个数成倍数关系时，较小数就是这两个数的最大公因数。
②公因数只有1的两个数的最大公因数是1。
4、互质数的意义和判断方法：
公因数只有1的两个数叫做互质数。
六、约分
1、约分的意义和方法：
①把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。
②约分的基本方法有两种：
（第一种方法）逐步约分法：
用分数和分母公有的质因数逐步去除分子和分母，直到得出一个最简分数。
（第二种方法）一次约分法：
用分数的分子和分母的最大公因数去除分子和分母，就得到最简分数。
③分子和分母只有公因数1的分数叫做最简分数。
七、通分
1、公倍数和最小公倍数的意义：
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
2、求两个数的最小公倍数的方法：
分别写出两个数各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。
先写出两个数中较大的倍数，然后从这组数中按从小到大的顺序圈出较小的倍数，第一个圈出的数就是它们的最小公倍数。
3、求两个的最小公倍数的特殊情况：
①如果两个数中较大数是较小的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
②如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
（请注意）两个数的公倍数不一定比这两个数都大，两个数的公因数也不一定比这两个数都小。
4、求两个数最小公倍数的实际应用：
用求公倍数的方法解决实际问题时，明确求哪几个数的公倍数是解题的关键。
5、分母相同及分子相同的分数大小比较的方法：
①分母相同的两个分数大小比较的方法：
分母相同，分子不同的两个分数，分子大的分数大。
②分子相同的两个分数大小比较的方法：
分子相同，分母不同的两个分数，分母小的分数大。
6、通分的意义和方法
①公分母：
把异分母分数化成同分母分数，这个相同的分母叫做它们的公分母，其中最小的一个叫做最小公分母。
②通分的意义：
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。
③通分的方法：
通分时用原分母的公倍数作公分母（为了计算简便，通常选用最小公倍数作公分母），然后把每个分数都化成用这个公倍数作分母的分数。
（请注意）通分时，并不是只能选择分母的最小公倍数作公分母，只要是分母的公倍数就可以，但是选择最小公倍数分母计算起来会比较简便。
7、小数化成分数的方法：
根据小数的意义，有限小数可以直接写成分母是10，100，1000……的分数。
原来是几位小数，就在1后面写几个0作分母，把原来的小数点去掉作分子，能约分的要约分。
8、分数化成小数的方法：
①分母是10，100，1000……的分数化成小数，可以直接去掉分母，看1后面有几个0，就在分子中从最后一位起向左数出几位，点上小数点。
②分母不是10，100，1000……的分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，如果不作特殊要求，一般按“四舍五入”法保留两位小数。
（请注意）把带分数化成小数，方法与上面相同，带分数的整数部分作为小数的整数部分，分数部分化成小数，作为小数的小数部分。
例如1
＝1＋0.5＝1.5，2
＝2.1。
9、判断一个最简分数能否化成有限小数的方法：
一个最简分数，如果分母中只含有质因数2或5，这个分数就能化成有限小数；
如果分母中除了含有质因数2或5以外，还含有其他的质因数，这个最简分数就不能化成有限小数。
（请注意）判断一个分数能不能化成有限小数，先看这个分数是不是最简分数，再看它的分母中含有哪些质因数。
（请注意）在把带小数化成分数时，不要丢掉整数部分；
把带分数化成小数时，也不要丢掉整数部分。
第五单元图形的运动（三）
一、旋转
1、图形旋转的特征：
图形旋转后，形状、大小都没有发生变化，只是位置发生了变化。
2、图形旋转的性质：
图形绕某一点旋转一定的度数，图形中对应点、对应线段都旋转相同的度数，对应点到旋转点的距离相等，对应线段、对应角都分别相等。
3、在方格纸上画简单图形旋转90°
后的图形的方法：
①找出原图形的几个关键点所在的位置；
②根据对应点旋转90°
对应线段长度不变来找出关键点旋转后的对应点；
③顺次连接所画出的对应点，就能得到旋转后的图形。
（知识巧记）图形旋转位置变，形状、大小如从前，对应点、线随图转，对应角度永不变。
二、平移和旋转在拼图中的应用
（请注意）在对图形变换进行分析时，不要认为一个图形只能通过一种变换方式得到，一个图形可以通过一种或两种甚至三种变换方式得到。
第六单元分数的加法和减法
一、同分母分数加、减法
1、同分母分数连加，可以按照整数连加的计算顺序从左到右计算，也可以直接把每个加数的分子连加起来作分子，分母不变。
2、同分母分数连减，可以按照整数连减的计算顺序从左到右计算，也可以直接把被减数的分子连续减去减数的分子作分子，分母不变。
3、在计算过程中，“1”可以化成任意一个在计算中需要的分子和分母相同的分数，最后结果要化成最简分数。
（知识巧记）分数相加减，过程很简单。
分母如相同，只把分子看。
分子相加减，分母不用变。
如果连加减，按照顺序算。
二、异分母分数加、减法
1、异分母分数相加、减，先通分，然后按照同分母分数加、减法的计算法则进行计算。
2、运用拆分法解决复杂的分数加法问题：
如果一个分数是由相邻的自然数的积作分母，1作分子，形如
（a为不等于0的自然数），那么可以把这个分数拆分成
－
，即
＝
三、分数加减混合运算
1、分数加减混合运算的运算顺序与整数加减混合运算的运算顺序相同。
没有括号的，按照从左到右的顺序进行计算；
有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的。
2、计算没有括号的异分母分数的混合运算时，可以分步通过进行计算；
也可以将几个分数一次性通分进行计算。
3、整数加法的运算定律对分数加法同样适用。
4、（简单的分数问题）解决此题的关键是抓住纯牛奶的总量不会改变这一特点进行分析推理，明确每次喝纯牛奶的数量和加水的数量，从而解决问题。
第七单元折线统计图
一、单式折线统计图
1、折线统计图的特点：
既可以反映出数量的多少，又能表示出数量的增减变化。
2、绘制折线统计图的方法：
①画出横轴和纵轴（补画统计图时此步骤已给出）；
②确定一个单位长度表示数量多少（补画统计图时此步骤已给出）；
③描点，描点时应注意先找准横轴上的点，再找准纵轴上相对应的点，过两点分别做横轴、纵轴的垂线，两条垂线的交点就是所要描的点，在交点处点上实心点；
④用线段顺次连接所有点，并标注数据；
⑤标注好日期和标题。
（日期也可不标注）
3、折线统计图的应用：
可以根据折线统计图发现问题、解决问题，并进行合理地推测。
（知识巧记）统计图，类型多，条形、折线一一说。
条形数量好比较，折线增减更明了。
绘制折线较简单，描点连线来解决。
完成绘图细分析，解决问题更容易。
二、复式折线统计图
1、复式折线统计图：
如果在统计过程中存在两组（或多组）数据，且需要在一幅统计图中表示这两组（或多组）数据，就要用两种（或多种）不同颜色（或不同形式）的折线来表示不同数量的变化情况，这种统计图就是复式折线统计图。
2、复式折线统计图的特点：
复式折线统计图不但能表示出各组数据的多少，数据的增减变化的情况，而且可以比较各组数据的变化趋势。
3、复式折线统计图的绘制方法：
与单式折线统计图的绘制方法基本相同，只是用不同的折线表示表示不同的量，需标明图例。
4、运用横向、纵向、综合、对比等不同的观察方法，可以读懂复式折线统计图，从中获取更多的信息，并能根据信息回答或提出相应的问题，同时进行简单地分析和合理地推测。
第八单元数学广角——找次品
1、解决问题策略的多样性：
从解题的称量过程中可以知道，在3瓶钙片中找出1瓶次品，至少需要称1次就能保证找出次品。
2、运用优化策略解决问题：
在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品的称量次数最少。
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