小学奥数教程完美版全新完整版文档格式.docx
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上一讲中,我们讲述了如何填写3×
3的幻方,其实在幻方的知识世界里,像3×
3、5×
5、7×
7……像这样幻方,称之为奇数幻方,这一讲我们将来学习如何填写五阶幻方。
例题:
在一个5×
5的方格中,填入1-25这25个数字,使5个横列、5个竖列、2个斜列所加之和都相等。
先试试看!
看样子,要想顺利填写好这么多的表格,还真的不容易,没有口诀真的不行,下面这个口诀要记牢:
一居首行正中央,依次斜向右上方,右出框时左边写,上出框时下边放,双出占位写下方。
29
1
8
5
7
4
6
10
3
11
2
9
你能按顺序继续写下去吗?
试试看吧!
幻方(第三课时)
根据上讲中的方法,把口诀运用到所有的奇数幻方中,可以继续填写七阶幻方、九阶幻方、十一阶幻方……,本讲,我们继续试着填写七阶幻方和九阶幻方。
【思路点拨】
再来重温一下口诀吧!
一居首行正中央,依次斜向右上方,右出框时左边写,上出框时下边放,双出占位写下方。
①把1-49这49个数字填入下面方格内,使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。
②把1-81这81个数字填入下面表方格内,使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。
幻方(第四课时)
上面三讲我们学习了奇数幻方的填法,那么偶数幻方该怎样填呢?
下面这节课我们将来学习四阶幻方的填法。
将1-16这16个数填入下面这个4×
4的方格内,使得所有的横、竖、斜列所加之和都相等。
首先,偶数幻方的填写不像奇数幻方那样有规律,它的填写要求是:
调换(数与数间的调换)先把1-16这16个数按顺序填好。
如:
11
12
13
14
15
16
第二步:
画两条对角线,把对角线所划住的数字不动。
第三步:
把对角线没划住的地方的数字进行交叉调换。
215,314,512,89,最后形成新的方格。
幻方(第五课时)
知识概述
对于幻方中偶数幻方的知识,是非常多的,至于八阶幻方,十二阶幻方等是四的倍数的幻方有统一的方法与技巧:
偶阶幻方分两类:
双偶数:
四阶幻方,八阶幻方、十二阶幻方,....,4K阶幻方,(K表示一个非零自然数)
可用<
对称交换法>
方法很简单:
1)把自然数依次排成方阵
2)把幻方划成4×
4的小区,每个小区划对角线,
3)把这些对角线所划到的数,保持不动,
4)把没划到的数,按幻方的中心,以中心对称的方式,进行对调,【与4×
4幻方的方法一样】
5)幻方完成!
17
18
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60
61
62
63
64
现在试着完成一下八阶幻方吧
你能否再按照上述方法完成一个十二阶幻方呢?
同步精练:
把1-144这144个数填入12×
12的方格内,使其成为一个十二阶幻方。
恭喜你顺利完成了考验!
练习卷
按要求填写幻方:
1、三阶幻方
2、四阶幻方
3、五阶幻方
4、七阶幻方
5、八阶幻方
6、九阶幻方
第二讲可能性的大小(游戏与对策)
例1有一堆棋子共53颗,甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子。
规定谁拿走最后1颗棋子,谁就获胜。
如果甲先拿,那么他有没有获胜的策略?
【思路点拨】
由于甲、乙两人轮流从中拿走1颗或2颗棋子,即每次保证两人共拿走1+2=3颗,53颗共要取53÷
3=17(次)……2(颗),即要保证甲先取获胜,那么甲应先取余下的那2颗。
这样下面轮流时,甲只需要与乙拿的总和是3就必胜无疑了。
关键看两个人拿的时候最多合拿几个,然后再看看剩余几个,就把那剩余的先拿走,这样先拿的人就容易取胜了。
同步精练
1、有287个球,甲、乙两人用这些球进行取球比赛,比赛规则是:
甲、乙两人轮流取,每人每次最多取2个,最少取1个,取最后一个球的人为胜利者。
甲要想获胜,他应该如何安排?
2、有388个球,甲、乙两人用这些球进行取球比赛。
比赛的规则是:
甲乙轮流取,每人每次取1个、2个、或3个,取最后一个球的人为失败者。
如果甲先取,甲为了取胜,他应该采取怎样的策略?
3、有197粒棋子,甲乙二人分别轮流取棋子,每次至少取1个,最多取4粒,不能不取,取到最后一粒的为胜者,现在两人通过抽签决定谁先取你认为先取的获胜,还是后取的获胜
第二课时
例2有两堆火柴,一对26根,一堆11根。
甲乙两人轮流从中拿走1根或几根,甚至一堆,但每次都只能在一堆里拿火柴,谁拿走最后一根算谁赢,问甲如何取胜?
【思路点拨】这是另一类对策游戏。
我们先考虑特殊情况。
当两堆的火柴根数相同时,后取者只要根据先取者的取法,在另一堆里取相同的根数,就能保证取到最后一根。
对一般情况,可设法将它转化为特殊情况,所以要先取走多的那几根就行了。
1、有两个箱子分别装有63、108个球。
甲、乙二人轮流在任意一个箱子中任意取球。
规定取到最后一个球的为胜者。
甲先取,他应如何才能获胜
2、取两堆石子,游戏双方理你从其中的任意一堆拿走一粒或几粒石子(甚至可以把这堆石子一次拿走完),但每次至少拿1粒,不准同时在两堆中拿,谁拿最后一粒谁就获胜,问如何才能取胜
3、下面是个圆形,两人轮流在圆形中画规定了大小的△,没人每次画一个△,所画的△不能与已画的相交或重叠,圆形总有被画满的时候,谁画最后一个△,谁就获胜。
如何才能获胜?
练习卷
1、有一枚骰子,六个面分别写着1-6六个数,两次掷这枚骰子,将两次朝上的面上的数相加,和的个位数字最大的可能性是()。
2、有102粒纽扣,两个人轮流从中取几粒,每人至少取1粒,最多取4粒,谁取到最后一粒,就算谁输。
问保证一定获胜的策略是什么?
3、桌面上有199根火柴,甲、乙两人轮流地取1根或2根,谁取到最后一根火柴为胜,问获胜的策略是什么?
4、王叔叔体重75千克,他从地里摘了2筐西瓜,每筐35千克,王叔叔回家要经过一座小桥,小桥只能载重100千克,请你给他想个办法,让他和西瓜一次安全地过河去。
5、一笔画出(笔尖不离开纸)由四条线段连接而成的折线,把下面九个点串起来,你能做到吗?
第三讲图形的面积
(一)
第一课时
例1已知平行四边形的面积是28平方厘米,求阴影部分的面积。
5厘米
4厘米既是平行四边形的高,也是阴影三角形的高,平行四边形的面积是28平方厘米,它的底为28÷
4=7(厘米),平行四边形的底减去5厘米就是三角形的底,7-5=2(厘米)。
根据三角形的面积公式直接求出阴影部分的面积。
求阴影部分的面积最直接的方法是利用计算公式直接求阴影面积;
还可以用总面积减去空白面积求得阴影部分面积。
这两种是最常用最简便的方法。
1.下面的梯形中,阴影部分的面积是150平方厘米,求梯形的面积。
2.已知平行四边形的面积是48平方厘米,求阴影部分的面积。
3.如果用铁丝围成如下图一样的平行四边形,需要用铁丝多少厘米(
单位:
厘米)
9
例2下图中甲和乙都是正方形,求阴影部分的面积。
(单位:
【思路点拨】图中的阴影部分是一个三角形,它的三条边的长都不知道,三条边上的高也不知道。
所以,无法用公式计算出它的面积。
仔细观察本题的图,我们可以发现,如果延长GA和FC,它们会相交(设交点为H),这样就得到长方形GBFH(如下图),它的面积很容易求,而长方形GBFH中除阴影部分之外的其他三部分(△AGB、△BFC及△AHC)的面积都能直接求出。
1、求右图中阴影部分的面积。
2、求右图中阴影部分的面积。
第三课时
例3如图所示:
,甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米,求CE的长度。
【思路点拨】题目中告诉我们,甲三角形的面积比乙三角形的面积大6平方厘米,即甲-乙=6(平方厘米),而甲和乙分别加上四边形ABCF后相减的结果还是6平方厘米,即:
甲-乙=6(平方厘米)
(甲+四边形ABCF)-(乙+四边形ABCF)=6(平方厘米)
即:
正方形ABCD-△ABE=6(平方厘米)
这就是说正方形ABCD的面积比三角形ABE的面积大6平方厘米。
用正方形的面积减去6就得到三角形ABE的面积,再用三角形的面积乘以2再除以AB,就得到BE的长度,从而求出CE的长度。
1、四边形ABCD是一个长为10厘米,宽6厘米的长方形,三角形ADE的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米。
求CF的长是多少厘米?
2、正方形ABCD的边长是12厘米,已知DE是EC长度的2倍,求:
(1)三角形DEF的面积。
(2)CF的长。
第四讲认识分数
《知识概述》
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或几份的数,叫做分数。
其中的一份又叫分数单位。
分数与除法的关系可以表示a÷
b=
(b≠0)。
分数可以分为真分数和假分数;
分子与分母是互质数,被称为最简分数。
分数的分子与分母同时乘以或同时除以一个相同的数(0除外),分数的大小不变,这就是分数的基本性质。
例题精学
例1:
分母是91的真分数有多少个最简真分数有多少个
真分数是指分子小于分母的分数,最简真分数是指分子与分母互质的真分数。
分母是91的真分数一共有90个,分别是
,
……
其分子是1~90的自然数。
在这其中有分子和分母有除1之外的相同质因数。
要求最简真分数,那么分子中凡是91的质因数的倍数都应去掉。
而91=7×
13,在1~90的自然数中,7的倍数有13-1=12(个),13的倍数有7-1=6(个),这样分子可取的数一共有90-(12+6)=72(个)。
1.分母是51的真分数有多少个最简真分数有多少个
2.分子、分母的乘积是420的最简真分数有多少个?
3.分数
中的a是一个非零自然数,为了使这个分数能够约分,a最小是多少?
例2把一个最简分数的分子加上1,这个分数就等于1.
(1)如果把这个分数的分母加上1,这个分数就等于
,原分数是多少?
(2)如果把这个分数的分母加上2,这个分数就等于,原分数是多少?
【思路点拨】这道题有两个小题,总的条件一样。
由于其他的条件不同,两小题的得数是不同的。
有总的条件来看,要求的两个分数的分子都比分母小1.
(1)分母加上1,分子应比分母小2,现在
的分子比分母小1,说明进行过约分了,未约分前的分子比分母小2,说明是用2约分的,也就是说原分数的分母加上1之后,再把分子分母同时除以2所得到的分数是
,说明约分前是
,这样原分数应是
。
第
(2)题请你自己思考。
同步精练
1.一个最简分数的分子缩小5倍,分母扩大9倍后是
2.
3.一个分数约分成最简分数是
原分子、分母的和是90,原分数是多少
4.
5.
例3分数
的分子和分母都减去同一个整数,所得的分数约分后是
,求减去的数。
【思路点拨】一个分数的分子和分母同时间去一个相同的数后,分子与分母的差不变。
原分数的分子与分母的差是136-73=63,得到的新分数的分子与分母的差也是63.而新分数约分后变成
,9-2=7,因此可知约去的数是63÷
7=9.新分数是
=
,这样就可以求出减去的数是多少了。
1.
的分子、分母同时加上多少后就可以约分为
2.一个真分数的分子、分母是两个连续的自然数,如果分母加上4,这个分数约分后是
,原来这个数是多少?
6.一个分数,分子加上1后,其值为1,分子减去1后,其值为
,求这个分数
第四课时
例4分数
的分子减去某数,而分母同时加上这个数后,所得的新分数化简后为
,求某数。
【思路点拨】分子减去一个数,同时分母加上这个数,那么分子与分母的和不变。
原分数的分子、分母之和为55+64=119,说明新分数的分子、分母之和也是119,而新分数约分后是
,分子、分母的和是4+13=17,因此可知约去的数是119÷
17=7。
新分数为
这样可以推算出这个原数了。
1.的分子减去某数,而分母加上某数后约分为
2.有一个分数,分子加上1可约分为
,分子减去1可约分为
,求这个数。
3.一个分数,如果分子加上16,分母减去166,那么约分后是
;
如果分子加上124,分母加上340,那么约分后是
,求原分数是多少?
1、填空题。
(1)一个最简分数的分子、分母之积是30,这个最简分数是()。
(2)一个最简真分数的分子、分母之和是15,这个最简真分数是()。
(3)分母是85的真分数共有()个,分母是85的最简真分数共有()个。
(4)一个分数的分子、分母之和是90,约分后是
,求原来的分数是()。
(5)一个最简真分数,把它的分母扩大5倍,而分子缩小4倍,化简后是
,求这个最简真分数是()。
2、分数
的分子分母同时加上同一个自然数,新分数化简得
,求这个自然数。
3、分数
的分子加上一个数,分母减去同一个数,新分数化简为
4、一个真分数的分子、分母是两个相邻的奇数,如果分母加上3后,这个分数约分为
第五讲相遇问题
相遇问题中数量之间的基本关系式:
速度和×
相遇时间=相遇路程相遇路程÷
速度和=相遇时间
相遇路程÷
相遇时间=速度和
【例1】:
一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距450千米的辆两地相向而行,公共汽车每小时40千米,小轿车每小时行50千米,问几小时后两车相距90千米?
【分析与解】两车在相距450千米的两地相向而行,距离逐渐缩短,在相遇前某一时刻两车相距90千米,这时两车共行的路程应为(450-90)千米。
需要注意的是当两车相遇后继续行驶时,两车之间的距离又从零逐渐增大,到某一时刻,两车再一次相距90千米。
这时两车共行的路程为(450+90)千米。
所以:
(450-90)÷
(40+50)=4(小时)
或(450+90)÷
(40+50)=6(小时)
答:
两车在出发后4小时相距90千米,在出发后6再一次相距90千米。
1.一个圆形操场跑道的周长是500米,两个学生同时同地相背而行。
甲每分钟走66米,乙每分钟走59米。
经过几分钟才能相遇?
2、两地相距1200千米,甲乙两辆火车从两地相向而行,同时出发,甲每小时行120千米,乙每小时行180千米,多少小时后,两车相差300千米
【例2】甲乙两列火车从相距770千米的两地相向而行,甲车每小时行45千米,乙车每小时行41千米,乙车先出发2小时后,甲车才出发。
甲车行几小时后与乙车相遇?
【分析与解】甲、乙两车出发时间有先有后,乙车先出发2小树,这段时间甲车没有行驶,那么乙车这2小时所行的路程不是甲、乙两车同时相对而行的路程,所以要先求出甲、乙两车同时相对而行的路程,再除以速度和,才是甲、乙两车同时相对而行的时间。
乙车先行的路程:
41×
2=82(千米),甲乙两车同时相对而行路程:
770-82=688(千米),甲车行的时间:
688÷
(45+41)=8(小时)
甲车行8小时后与乙车相遇。
解题技巧:
关键抓住先走的车,它所行的路程,把它所走的路程先刨除在外,然后计算两车(人)真正相距的路程,是解答此类问题的关键。
①小丽家距学校有1500米,中午11:
40分放学回家时,小丽从学校以每分钟50米的速度回家,走了4分钟后,爸爸骑自行车从家出发去接小丽,爸爸的速度是每分钟150米,爸爸出发多长时间会接到小丽?
②某送货员从A乡镇往B乡镇去送货,他以每小时40千米的速度开摩托车前往,走了小时后,接货人开汽车去接他,结果接货人在出发2小时后接到了送货员,已知接货人的速度是每小时60千米。
问:
A、B两个乡镇相距多少千米
【例3】两地相距900米,甲乙二人同时同地向同一方向行走,甲每分钟走80米,乙每分钟走100米,当乙到达目标后,立即返回,与甲车相遇,从出发到相遇共经过多少分钟?
【分析与解】甲、乙二人开始是同向行走,乙走得快,先到达目的地后,然后返回,途中与甲相遇,这又变成了相遇问题,把同向走的时间与相遇走的时间相加就是共同经过的时间。
已到达目的地时间:
900÷
100=9(分钟),甲9分钟走的路程:
80×
9=720(米),甲距目标还有:
900-720=180(米),相遇时间:
180÷
(100+80)=1(分钟),共用的时间为:
9+1=10(分钟)。
1、兄妹二人同时离家上学,哥哥每分钟走90米,妹妹每分钟走60米,哥哥到校门时,发现忘带课本,立即沿原路回家去取,行至离学校180米处与妹妹相遇,他们家离校多远?
2、甲、乙二人同时从A地到B地,甲每分钟走250米,乙每分钟走90米。
甲到达B地后立即返回A地,在离B地千米处与乙相遇,A、B两地间的距离是多少千米?
【例4】:
甲乙两人同时从两地出发,相向而行,距离是100千米,甲每小时走6千米,乙每小时走4千米,甲带着一只狗,狗每小时走10