二次函数综合题训练题型汇总.docx

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二次函数综合题训练题型汇总

二次函数综合题训练典型题型汇总

求该二次函数的表达式；

写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

点P（mm）与点Q均在该函数图像上求m的值及点Q到x轴的距离

3、（07年海口模拟一）如图3，已知抛物线yax2bxc经过0（0,0）,A（4,0）,B（3,-3）

三点，连结AB,过点B作BC//x轴交该抛物线于点C.

（1）求这条抛物线的函数关系式•

（2）两个动点P、Q分别从OA两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度运动•其中，点P沿着线段0A向A点运动，点Q沿着折线AtBtC的路线向C点运动•设这两个动点运动的时间为t（秒）（0Vtv4）,△PQA的面积记为S.

1求S与t的函数关系式；

2当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？

并指出此时△PQA的形状；

3是否存在这样的t值，使得△PQA是直角三角形？

若存在，请直接写出此时P、Q两

点的坐标；若不存在，请说明理由

S（万元）

4、（07年海南省调研）某公司推出了一种高效环保型除草剂，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程•图4的二次函数图象（部分）刻车了该公司年初以来累积利润与时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和S与t之间的关系）.

根据图象提供信息，解答下列问题：

（1）公司从第几个月末开始扭亏为盈；

（2）累积利润S与时间t之间的函数关系式；

（3）求截止到几月末公司累积利润可达30万元；

（4）求第8个月公司所获利是多少元？

5、（07年海口模拟二）如图5，已知抛物线yax2bxc的顶点坐标为E（1,0），与y轴的交点坐标为（0,1）.

（1）求该抛物线的函数关系式•

（2）A、B是x轴上两个动点，且A、B间的距离为AB=4,A在B的左边，过A作ADLx轴

交抛物线于D,过B作BC丄x轴交抛物线于C.设A点的坐标为（t,0）,四边形ABCD的面积为S.

1求S与t之间的函数关系式.

2求四边形ABCD勺最小面积，此时四边形ABCD是什么四边形？

3当四边形ABCD面积最小时，在对角线BD上是否存在这样的点P,使得△PAE的周

长最小，若存在，请求出点P的坐标及这时△PAE的周长；若不存在，说明理由.

图5

备用图

（1）求该二次函数的关系式；

（2）设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积；

3

（3）有两动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒3个单位长度的速度沿折线OAC

2

按otAtC的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按OtC宀A的路线运动，当D、E两点相遇时，它们都停止运动.设D、E同时从点O出发t秒时，ODE的面积为S.

1请问D、E两点在运动过程中，是否存在DE//OC，若存在，请求出此时t的值；

若不存在，请说明理由；

2请求出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；

3设S0是②中函数S的最大值，那么S0=

图11-1

图11-2

8、（05海南中考）如图8，抛物线yxbxc与x轴交于

A（-1,0）,B（3,0）两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）设

（1）中的抛物线上有一个动点P,当点P在该抛物线上

滑动到什么位置时，满足Sxpa=8,并求出此时P点的坐标；

（3）设

（1）中抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上

是否存在点Q,使得△QAC的周长最小？

若存在，求出Q点的坐标;

若不存在，请说明理由•

22

9、（04海口中考）如图9、已知抛物线y=x+（2n-1）x+n-1（n为常数）.

（1）当该抛物线经过坐标原点，并且顶点在第四象限时，

求出它所对应的函数关系式；

⑵设A是⑴所确定的抛物线上位于x轴下方、且在对称轴左侧—

的一个动点，过A作x轴的平行线，交抛物线于另一点D,

再作AB丄x轴于B,DCLx轴于C.

1当BC=1时，求矩形ABCD的周长；

2试问矩形ABCD的周长是否存在最大值？

如果存在，请求出这个最大值，并指出此时A点的坐标；如果不存在，请说明理由

米M

10、（07本校模拟一）如图10,已知点A（0,8），在

抛物线ylx2上，以A为顶点的四边形ABCD是平行四边形,

2

且项点B,C,D在抛物线上，AD//x轴，点D在第一象限.

（1）求BC的长；

⑵若点P是线段CD上一动点，当点P运动到何位置时，

△DAP的面积是7.

⑶连结ACE为AC上一动点，当点E运动到何位置时，直线OE将ABCD分成面积相等的两部分？

并求此时E点的坐标及直线OE的函数关系式.

1、

（1）

（2）

（3）

2、解：

2）

3）

二次函数综合题训练题型集合参考答案

•••点A（3,4）在直线y=x+m上，

•4=3+m.

•m=1.

设所求二次函数的关系式为y=a（x-1）2.

2

•••点A（3,4）在二次函数y=a（x-1）的图象上，

2

•4=a（3-1）2,

•a=1.

•所求二次函数的关系式为y=（x-1）2.

即y=x2-2x+1.

设P、E两点的纵坐标分别为yp和yE.

•PE=h=yP-yE

2

=（x+1）-（x2-2x+1）

2

=-x+3x.

即h=-x2+3x（0vxv3）.

存在.

解法1:

要使四边形DCEP是平行四边形，

•••点D在直线y=x+1上,

•••点D的坐标为（1,2）,

2

•-x2+3x=2.

2

即x2-3x+2=0.

解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去

必需有PE=DC.

1分）

2分）

3分）

4分）

5分）

（6分）

7分）

8分）

9分）

10分）

11分）

•当P点的坐标为（2,3）时，四边形DCEP是平行四边形.解法2:

要使四边形DCEP是平行四边形，设直线CE的函数关系式为y=x+b.

•/直线CE经过点C（1,0）,

•0=1+b,

•b=-1.

•直线

CE的函数关系式为y=x-1.

xi

x22xi

得x2-3x+2=0.

必需有BP//CE.

12分）

13分）

14分）

11分）

12分）

解之,得xi=2,x2=i（不合题意,舍去

•当P点的坐标为（2,3）时，四边形DCEP是平行四边形.

13分）

14分）

（1）将x=-1,y=-1;x=3,y=-9分别代入yax24xc得

2

玄J"4

（1）C，解得

a3243

对称轴为x2；

c.

顶点坐标为

ai,•二次函数的表达式为y

c6.

2，-10）．

x24x

将（mm代入

yx24x

6，

得mm2

4m6，

解得mii,m26．

•叶6.T点P与点

•/m>0,・.mi

Q关于对称轴x

1不合题意，

2对称，•••点

舍去．

Q到x轴的距离为

6．

3、

（1）v抛物线yax2bxc经过0（0,0）,A（4,0）,B（3,,3）,

16a4b0

9a3b,3.解得a-33,b

c0

43,c0.•…

3

••…（2分）

•所求抛物线的函数关系式为

y—x2

3

3

（3分）

（注：

用其它方法求抛物线的函数关系式参照以上标准给分.）

由tan/BAE=BB3，得/BAE=60°.

AE

（i）当点Q在线段AB上运动，即

过点Q作QFLx轴于F,贝UQF=_2t,

2

0vtw2时,

（4分）

1

•••S=丄PA-QF

2

2（4

3

t）

3t.

（ii）当点Q在线段BC上运动，即

QA=t,PA=4-1.

2WtV4时，Q点的纵坐标为-3,PA=4-t.

0,•当t=2时，S有最大值,

最大值

（9分）

（2［①过点B作BELx轴于E,贝UBE=3,AE=1,AB=2.

（ii）当2WtV4时,

、•3

•••S随着t的增大而减小.

•当t=2时，S有最大值，最大值S22.33

2

综合（i）（i），当t=2时，S有最大值，最大值为

△PQA是等边三角形.

3存在.

当点Q在线段AB上运动时，要使得△PQA是直角三角形，必须使得/PQA=90这时PA=2QA即4-t=2t,•t4.

•••P、Q两点的坐标分别为R（4,0）,Q（l°,空

333

②S4t28t204（t1）216.

（8分）

……（13分）

5-t和t，要使得厶PQA

当点Q在线段BC上运动时，QP两点的横坐标分别为

此时AD=BC=AB=DC=4四边形ABCD是正方形.（10分）

③当四边形ABCD的面积最小时，四边形ABCD是正方形，

其对角线BD上存在点P,使得△PAE的周长最小.（11分）

•••AE=4（定值），

•••要使△PAE的周长最小，只需PA+PE最小.

•••此时四边形ABCD是正方形，点A与点C关于BD所在直线对称,

•由几何知识可知，P是直线CE与正方形ABCD寸角线BD的交点.

•••点E、BCD的坐标分别为（1,0）（3,0）（3,4）（-1,4）

•直线BDEC的函数关系式分别为：

y=-x+3,y=2x-2.

•P（5,4）（13分）

33

在Rt△CEB中,CE=224225,

•△PAE的最小周长=AE+AP+PE=AE+CP+PE=AE+CE2?

5.（14分）

6、解：

（1）令y=0,解得X11或x3（1分）

•A（-1,0）B（3,0）;（1分）

将C点的横坐标x=2代入yX2x3得y=-3,.・.C（2,-3）（1分）

•直线AC的函数解析式是y=-x—1

（2）设P点的横坐标为x（-1

x的范围不写不扣分）

则P、E的坐标分别为：

P（x,-x-1）,（1分）

2

E（（x,x2x3）（1分）

•••P点在E点的上方，PE=（x1）（x22x3）x2x2（2分）

19

•当x—时，PE的最大值=一（1分）

24

（3）存在4个这样的点F,分别是F1（1,0）,F2（3,0）,F3（4.7）,F4（47）

7、解：

（1）令x0，则y4；

令y0则x3.•A3,0、C0,4

•••二次函数的图象过点C0,4,

•可设二次函数的关系式为

2

yaxbx4…1分

又•••该函数图象过点A3,0、B1,0

09a3b4=2分

48

•所求二次函数的关系式为

y

4

42x

3

（2）•

42yx

3

8

x

3

4

d216

一

x1

3

3

•顶点

M的坐标为

一—4分

过点M作MFx轴于F

1c

“16

1,

16110

3

1

4

2

3

2

3

•四边形

AOCM勺面积为10

-—6分

OACA上，此时1

…S四边形AOCMSAFMS梯形FOCM

（3［①不存在DE//OC…7分

•••若DE//OC则点DE应分别在线段

解之得a3，b3

ii当1

5

③So243

80

10、

（1）•••四边形ABCD是平行四边形,

•AD=BC.

•

A（0,8）,

ABCD

又•D点在第一象限，

P（X2,y2）,

•y2=-.

2

17.D/17

•X2=.•P（,

66

•x1=4,「.BC=4.

（2）•C（2,2）,D（4,8）,

•直线CD的函数关系式为y=3x-4.设点P在线段CD上,

--y2=3x2-4.

•/AD=BC=4,

•1x4（8-y2）=7,

2

9

•3x2-4=-,

2

即当点P在（乂，-）的位置时，△DAP的面积是7.

62

（3）连接AC当点E运动到AC的中点（或AC与BD的交点）时，即E点为的中心，其坐标为E（1,5）,直线OE将ABCD分成面积相等的两部分.

设直线OE的函数关系式为y=kx,

•k=5，•直线OE的函数关系式为y=5x.

11、

（1）根据题目条件，ABC的坐标分别是（-10,0）、（0,6）、（10,0）.

将BC的坐标代入yax2c,得6

0

解得a—,c6•

50

•••抛物线的表达式是

32

x

50

6.

⑵可设N（5,yN）,

干是32

于是yN5

50

45

c,

从而支柱MN的长度是10-4.5=5.5米.

（3）设DE是隔离带的宽，EG是三辆车的宽度和，

则G点坐标是（7,0）（7=2十2+2X3）.

过G点作GH垂直AB交抛物线于H,则yH_27263丄3.

5050

根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车