正余弦定理练习题答案Word文档下载推荐.docx

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“ABC的内角A、B、C的对边分别为Q、b.C•若c=g6=^6,6=120%则o等于（B・2C"

在aABC中，角A、5、C所对的边分別为6b、G若0=1,c=EC峙则4=_在△ABC中，已知a=響，fa=4,4=30%则sin8=.

11.

12.

在4ABC中，已知ZA=30°

Z8=120%b=12,贝I]o+c=

在“ABC中，o=2bcosC,贝仏ABC的形状为•

在茲ABC中，已知0=3迈，cosC=j,SAMc=4^/i.则b=.

在4ABC中，b=4心C=30°

c=2,则此三角形有组解・

如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140。

的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔A的方位角为110%航行半小时后船到达C点，观测灯塔人的方位角是65。

・则货轮到达C点时，与灯塔A的距离是多少

18.在“ABC中，0、b、C分別为角A、8、C的对边，若a=2晶sinjcosj=j>

sinBsinC=cos名求A、

19.（2009年高考四川卷AABC中，A、B为锐角•角久B、C所对应的边分别为6b、c,且cos2A=I，sinB=^^.⑴求A+B的值：

⑵若o—fa=7i—1,求a,fa,c的值.

20.4ABC中，0b=65/i,sinfi=sinCAABC的面积为15晶求边b的长.

3.

6-

余弦定理

在4ABC中，如果8C=6,人6=4,cosB=p那么AC等于（

A.6B.2^6C.3^6

在AAfiC中，0=2.b={5-l,C=30%则c等于（）

D.2

在aABC中，，=b2+c^+{5bc・则ZA等于（

A.60°

B・45°

C・120°

在AAfiC中，Z&

、Z8、ZC的对边分别为6b、

t、5ti

或石

D.150"

G若h^）tanS=-\/3oc.则ZB的值为（._p2n

■人3

在AAfiC中，0、b、C分別是A、B.C的对边，则acQsB+bcQsA等于（

A.a6.bC.c

D.以上均不对

如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（

A-锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形

已知锐角三角形A8C中，I扇1=4.|h|=l,

A.2B.-2C.4

在4ABC中，b=\{i,c=3,8=30%则o为（B.2^3或2^3

D・由增加的长度决；

^^

△ABC的面积为羽，则為显的值为（

D,-4

9・己知AABC的三个内角满足2B=&

+C,且AB=1.fiC=4,则边8CI；

的中线AO的长为.10.

12-

△人BC中，siM:

sinC=2^-l）：

（羽+1）：

伍，求最大角的度数・

已知a、b.c是AMC的三边，S是△人BC的而积，若0=4,b=5,S=5品则边c的值为在^ABC中，sin人：

sin6:

sinC=2:

3：

4.则cosA:

cosB:

cosC=•

13.

14.

15.

16.

17.

在4ABC中，a=3y/l,cosC=j,$厶人牝=4羽，则b=•

已知AABC的三边长分别为AB=7,BC=5,AC=6.则矗•在的值为•

^2+b?

—W

已知'

ABC的三边长分别是6b、G且而枳S=—J—＞则角C=.

（2011年广州调研）三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为.

在AAfiC中，BC=6AC=b,a,b是方程x^-2^x+2=0的两根，且2cos（A+e）=l.求AB的长.

已知aABC的周长为迈+1,且sinA+sinB=^sinC•⑴求边人B的长：

（2）若△ABC的而积为|sinG求角C的度数.

18・

19.在4ABC中，BC=远,AC=3,sinC=2sinA（l）求AB的值：

（2）求sin（2人一扌）的值.

20.在AAfiC中，已知（0+b+c）（Q+b-c）=3ab,且2cosAsinS=sinC确圮△ABC的形状•

1.

D.2&

fb

选A•应用正弦定理得：

而，求得h=^=V6.

在AAfiC中，已知0=8,6=60%C=75%则b等于（）

A.4-^2B・4-^3C.4&

选=45。

，由正弦泄理得fa=肆罟=4&

.

在aABC中，角A、5、C的对边分别为a、b、c,&

=60。

，0=4©

.b=4边，则角B为（）

A.45。

或135。

B・135"

D.以上答案都木对

选C.由正弦宦理佥=岛得：

sinB=彎凶=¥

，又：

a>

b,6<

60\.-.6=45*.

在AAfiC中，0：

b：

6,贝IJsinA:

A.1:

1

C.6:

5D.不确定

解析5选A.由正弦定理知siM:

5in8:

在aABC中，0,b,C分別是角A,8・C所对的边，若^=105%8=45%b=yf2,则c=（

A.1

C.2C/2XS1

解析J选=180°

-105°

-45°

=30°

由-7^=£

飢=7“：

。

=1・

sinosinCsin4b

亠”cosAb-

6.在4ABC中，若cos6=j则△处<

A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

解折冼门・・5_皿.cos^_sinfi

解枷：

述D・・。

一sin/V••cosB-sinA

sin>

4cosA=sin6cos8f/.sin2>

4=sin2fi

即24=28或M+28=tu即A=B.或A+B=J

7.已知AABC中，AB=y[i.AC=1,Z8=30%则△ASC的面积为（

选=爲，求出sinC=^.•:

AB>

AC,

•••ZC有两解，即ZC=60°

或120°

•••ZA=90°

或30°

再由Szc兮SMsinA可求面积.

8.'

ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c•若c=（L6=^6,0=120。

，则a等于（

B.2

选D.由正弦立理得摇5^=芈，

sinCp

又TC为锐角，则C=30°

••・A=30°

△ABC为等腰三角形，a=c=yji・

9.在aABC中，角久B、C所对的边分別为6b、G若0=1,。

=品C=p则人=

nc

由正弦立理得：

而=贏,

O'

sinC1

所以sirx4=—~—=孑

C2

rnn

又ToVc.A<

C=-^.•"

=：

・

在'

ABC中，已知a=響，fa=4,4=30%则sin8=解析：

由正弦定理得佥=岛

dsiriA"

2羽

乂

如图所示，货轮在海上以40km/h的速度沿着方位角（指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平转角）为140。

的方向航行，为了确定船位，船在B点观测灯塔人的方位角为110%航行半小时后船到达C点，观测灯塔A的方位角是65。

，则货轮到达C点时，与灯塔人的距离是多少

解：

在4ABC中，8C=40x-=20»

ZAeC=140"

-110"

=30\

ZACB=（180°

-140°

）+65°

=105°

所以ZA=180°

-（30°

+105°

）=45°

由正弦定理得fiOsinZABC

AC~:

~X

sirt4

20sin30°

厂

=sin45。

=10\/2{km）.

即货轮到达C点时，与灯塔A的距离是1血km.

CC

18.在茲ABC中，0、b、c分別为角A、8、C的对边，若0=2羽.、二-4

B及b、c・

CC11

解J由si巧cos，=d，得sinC=p

—,n5rc又ce（o,n）.所以C=&

或C=g・

4

由sinSsinC=cos2刁得

sinBsinC=j[l-cos（e+C）J.

即2sinBsinC=l—cos（B+G，

即2sinesinC+cos（8+C）=l,变形得

cosBcosC+sinBsinC=l,

tipcos（8-C）=l,所以fi=C=^.B=C=¥

（舍去）,

A=n-（e+C）==y.

GbC,

由正弦定理乔方=齐方=乔々得

sinB厂2

b=c=—2\/3x~^=2.

sinA*心

2

2nn

故＞4=亍，S=g»

b=c=2,

sinB=^^.⑴求人+6的值：

⑵若o—b=y/i—J.,求a,b,c的值.解：

⑴TA、8为锐角，sinS=穿，

19.（2009年高考四川卷）itAABC中，人、S为锐角，角人、B、C所对应的边分别为6b、c,且cos2A=

3

3715

cosB=yjl—s\n^B=•

T.3yis2^/5

又cosZ4=l—2sinM=5*二sinA=十，cosA=—

:

、8S（&

+B）=cosA:

os8—sinAsin6

2y[s3y[lQ_yJs丽yfj

=5^10—5X10=2•

又0<

A+BVm•••人+8=中・

J3nyfl

⑵由

（1）知，C=—..\sinC=-^.

abc

由正弦定理：

箱7=爲三=乔7得

y[Sa=y[16b=y[2cr即a=yf2b,c=y{sb.

•「a—b=yft—l,・••迄b—b=迄—眞/.fa=l.

a=y{2.c—yfs.

20.△人BC中，ob=60yf3.sin6=sinCAABC的面积为15品求边b的长.

11

由S=pfcsinCWr15pl=jx6S/5xsinC,

1c

sinC=2<

•••ZC=30°

或150°

又sine=sinC故Z8=ZC

当ZC=30°

时，Ze=30\ZA=120°

又Tob=60yf3,佥=岛，二b=2伍.

当ZC=150°

时，ZB=150°

（舍去）.

故边b的长为2屈.

=\^42+62-2x4x6xj=6.

2.在aABC中，0=2,b=V5-l,C=30°

则c等于（

=2?

+—1）2—2x2x21—l）cos30。

=2.

•••c=©

3.在^ABC中，02=b2+a+寸lbc・则ZA等于（

C.120"

D.150°

…L、，，夕+0—02—yjlbcyfs

解析J选ZA=H=—=—2*

解析J选B・由余弦世理，得c^=02+b2—2abcosC

2bc2bc

•••O°

VZAV18O°

・・・Z&

=150°

4.在^ABC中，ZA、Z&

ZC的对边分别为6b、c,若｛o^+<

^-b^）tanB=y[3ac,则Z8的值为（

或竺或更

以6以3

选D.由02+呂一妒曲血=羽"

，联想到余弦立理，代入得

o^+c^—护羽1yfscos8

cos6—2ac~2tan6~2sinB*

=…nyJSn,^2n

显然ZBh亍二sinB="

^J・ZB=亍或丁・

5.在aABC中，a.b、c分别是A、B、C的对边，则ocos8+hcos4等于（

A.aB.b

C・cD・以上均不对

sR+c'

-b?

2S

选・—2^—+b・一盂—=云=&

6.如果把直角三角形的三边都增加同样的长度，则这个新的三角形的形状为（

A.锐角三角形B.宜角三角形

C・钝角三角形D・由增加的长度决；

选A•设三边长分别为cb,c且o2+b2=&

设增加的长度为

贝I]c+m>

o+ec+m>

b+m,

又（0+m）2+（b+fn）2=a2+b2+2（a+b）m+2m2>

3+2cm+m2=（c+m）2p

•••三角形各角均为锐角，即新三角形为锐角三角形•

7.已知锐角三角形人BC中，I為1=4,I為1=1,AABC的而积为⑴，则為•為的值为（

A.2B・-2

C.4D,-4

解析5选A寸矗H总卜sinA

=2^4x1x51rt4,

sinA=誓，又T△ABC为锐角三角形,

1/.cos^=2'

・・・島老=4xlx#=2・

&

在aABC中，b=Ec=3,8=30%则0为（）

B.2羽

或2、/^D.2

解析J选C•在4ABC中，由余弦定理得b2=a2+0—20CCOSB,R卩3=，+9-3羽6

•・・，一3萌a+6=0,解得a=萌或2©

9.已知AMC的三个内角满足2B=A+C,且4B=1,fiC=4・则边BC上的中线AD的长为

解析JT2B=A+C,人+B+C=m/.6=^.在bABD中，

答案：

V3

10.△ABC中，5104:

sinC=（{5-l）:

b/5+l）:

伍，求最大角的度数.解：

Tsirt4:

sinfi:

sinC=（>

/3-l）:

b/5+l）:

^10>

・・・O:

c=（羽一1）:

（9+1）:

Vlb.

设0=（羽-l）k・b=b/5+l）k,c=W5锹>

0）,

•・・c边最长，即角C最大.由余弦；

^^理，得

o'

+b'

—31

cosC=2ab=-〒

又ce（o°

.180°

）,・・・C=120°

11.已知a、b、cABC的三边，SHABC的而积，若o=4,b=5・S=Sy[3.则边c的值为.

1n

解析JS=johsinCsinC=^»

二C=60°

cosC=±

2'

又T0^=0?

+夕一2abcosC,

•••0=21或61,•・虫=回或屈.

回或屈

12.在△ABC中，sinA:

sinS:

sinC=2:

3:

4,贝I]cos人：

cos8:

解析J由正弦定理o:

c=sinA:

sinB:

4»

设a=2k{k>

0）.则b=3k,c=4k.

_02+&

—夕_2k2+4k2—3k^_11

cos6—2ac~2x2kx4k~16*

同理可得：

cosA=£

cosC=—扌，

cosA:

cosC=14:

11:

（—4）.

答案J14：

11：

（-4）

13-在aABC中，a=3品cosC=->

Ss=aE则b=解析：

TcosC=msinC=—^.

又SaMc=^>

bsinC=4寸

即^'

b3y[2^-^=4羽r

.・・b=2©

14.已知△人BC的三边长分别为48=7r8C=5,AC=6.则鬲•在的值为

Ag2+gc2—AC?

解析J在厶ABC中，cosB=2AB^BC

49+25-36

=~2x7x5—

_更

^35*

•・・•盜=1总M龙|908（71-8）

19

=7x5x（--）

=-19.

-19

15.已知'

ABC的三边长分别是a、b、G且而积S=—J—,则角C=

“A1a^+b^—c^o^+fa^—ab

2ab

解析J2^fasinC=S=J=面迈-

=20b8sC,sinC=cosCrtanC=l,•••C=45°

答案：

45。

16J2011年广州调研）三角形的三边为连续的自然数，且最大角为钝角，则最小角的余弦值为.解析J设三边长为/f~l»

k,k+l（k22,kWN）»

好+k—12—k+i2<

*+k-l>

k+l

「4=3,故三边长分别为2,3,4,

32+42—227

二最小角的余弦值为2x3x4=E

贝M=^<

k<

I

17.在AABC中，BC=6AC=b.o,b是方程X-2>

/5x+2=0的两根，且2cos（A+e）=l,求AB的长.解：

•・・A+B+C=n且2cos3+B）=l.

cos（n—C）=2*即cosC=—2*

又Ta，b是方程W—2©

x+2=0的两根，

/.o+b=2羽,ob=2・

AB^=AC^+8C^-2A&

B&

cqsC

=*+b?

—2ab{—寺

=a2+b2+ab=（a+b）2—ob

=（2羽）2-2=10,

48=710.

18.已知aASC的周长为迈+1,且sinA+sinB={isinC・⑴求边AB的长：

（2）若^ABC的而积为*sinC,求角C的度数.

（1）由题意及正弦定理得

AB+BC+AC=y[2+l.BC-^AC=y[2AB.

两式相减，得人8=1・

（2）由^ABC的而秒{寺BC&

CsinC=jsinC,得BC・AC=J,

•.…,AC'

+BC?

-人阱

由余弦毎理得cosC=2AC・8C

AC+BC2-mC・bc-A821r

2AOBC

所以C=60°

19.在△ABC中，BC=EAC=3.sinC=2sinA⑴求AB的值：

{2）求sin（Z4-》的值•

gBc

解；

⑴在△ABC中，由正弦定理齐三=乔刁

2AB^AC

esinCL

得朋=而8（=2眈=2>

/1

（2）在'

ABC中，根据余弦立理，得

A82+AC2-BC22躬8必=——=5，于是sinA=5^1—cosM=^.

4从而sin2A=2s\nAcQsA=-^,

cos2A=cos?

A—si”&

=亍

〜…nnn\J2

所以sin（Z4—^）=sinZAcos^—cos2As\nj=〒6・

20.在“ABC中，已知（0+b+c）（Q+b-c）=3ab,且2cosAsin8=sinC确圮△ABC的形状•解：

由正弦世理，得労与=£

sinDD

亠sinCC

由2cosAsin6=sinC»

有cos-4~2sin

又根据余弦圧理，得

夕+召一十，，Cb^+c^—c^d=—盂—，所以沪一盂—*即c2=b2+c2—02,所以0=b・又因为（a+b+c）（a+b—c）=3ab,所以（0+b）2-c2=3ab,所以4b2-c2=3b2,所以b=c,所以o=b=G

因此△A8C为等边三角形•