一级倒立摆分析Word文档格式.docx
《一级倒立摆分析Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《一级倒立摆分析Word文档格式.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
导轨的另一端固定有直流永磁力矩电机，直流电机通过传送带驱动小车沿导轨运动，在小车沿
导轨左右运动的过程中将力传送到摆杆以实现整个系统的平衡。
倒立摆的种类很多，有悬挂式倒立摆、平行式倒立摆、和球平衡式倒立摆；
倒立摆的级数可以是一级，二级，乃至更多级。
控制方法也是多种，可以通过模糊控制，智能控制，P/D控制，厶0?
控制等来实现倒立摆的动态平衡，本文介绍的是状态反馈极点配置方法来实现一级倒立摆的控制。
2、一级倒立摆系统的数学模型2.1、数学模型的建立
一级倒立摆系统示意图如下图所示，系统由小车、小球和轻质杆组成。
倒摆通过转动关节安装驱动小车上，杆子的一端固定在小车上，另一端可以自由地左右倒下。
通过对小车施加一定的外部驱动力，使倒摆保持一定的姿势。
X
图2—级倒立摆系统示意:
图
一级倒立摆系统所用到的各变量的取值及其意义如下表/所示:
表/各变量的取值及其意义
假设轨道是光滑的，忽略摆杆的质量，系统所受的外力包括小球受到的重力和小车水平方向的驱动力Wo和&
⑵分别表示小车的水平坐标和
倒摆偏离垂直方向的角度。
由此分析可知一级倒立摆有两个运动自由度：
一个是沿水平方向运动（直线运动）；
另一个是绕轴线的转动（旋转运动）。
221、沿水平方向运动（直线运动）
通过受力分析，由牛顿第二运动定律，系统的运动满足下面的方程:
图3倒立摆系统水平方向受力分析图
X轴方向:
将小球的重心坐标代入①式得:
〃2
―x+m—（x+lsin6）=uch~dt1
联立①②③式得:
2
•••••
（M+m）X-ml（sin0）0+ml（cos0）0=u
222、绕轴线的转动（旋转运动）
图4倒立摆系统转动受力分析图
小球的力矩平衡方程：
（Fvcos0）/-（Fvsin6）1=（mgsin6）1
④
④式中巴、号分别为:
j2
Fx=mxG=m[x—/（sin&
）32+/（cos3）0]
<
Fy=m—yG=仍[—/（cos&
）&
2—/（sin&
]
[〃厂⑤
将⑤式代入④式整理得：
mxcosO+ml3=mgsin0
最后得到倒立摆系统的动力学方程为：
（M+m）x-ml（sin0）02+ml（cos3）0=u
..⑥
mxcos3+ml0=mgsin6
显然该系统为明显的非线性系统。
但是对小车施加驱动力的目的是要保持小球在垂直方向的姿态，因此，我们关注的是小球在垂直方向附近的动态行为变化，为此将系统在该参考位置（0=0）附近进行线性化处理。
2.3、模型转化（微分方程T状态方程）
由倒摆系统的动力学模型⑥式，取如下状态变量：
Z]=&
Z?
=8=Z1Z3=xZ4=x=Z3
可得到倒摆系统的状态方程：
'
01
z
hcosZ]-（M+m）gsin知+〃〃（cosZ]sinzj%
dcl
mlcos1知一（M+m）l
乙—
cltdt
◎
2.
“+"
〃（sinzjz2〜一加geos?
】sin©
M+7?
?
-mcos2Z]
2.4.状态方程的线性化
为:
6
y==CZ
3、状态空间极点配置
3.1、系统开环稳定性分析
由状态方程的标准形式：
X=AX+Bu
Y=CX+Du
00
01
结合表/中各变量的值可得:
20.6010
A=
-0.49050
-1
B=
0.5
1000
C二
0010
上面己经得到系统的状态方程式，对其进行阶跃响应分析，在WTLNB指令区中键入以下命令：
A=[O100;
20.601000;
0001;
-0・4905000];
B=[0;
-1;
0;
0.5];
C=[l000;
0010];
D=[O;
O];
step（A,BzC,D）;
统稳定性仿真图
可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置㈤和摆杆角度（0丿都是发散的。
即系统是不稳定的。
3.2、开环系统的能控性分析
采用状态反馈对系统进行任意配置极点的充要条件是系统完全能控，因此本小节对所建立的系统状态方程运用Matlab进行能控性的分析。
系统的能控性是指系统的输入能否控制状态的变化。
对于“阶线性定常系统：
Jx（r）=Ay（f）+Bu{t）
=Cx（z）+Du（r）
能控性矩阵为
Uc=\bABA2B...An-[B
人生有几件绝对不能失去的东西:
自制的力量，冷静的头腐，希望和宿心n当rankUc-n时，系统状态完全能控,否则系统不能控。
在MaHab中,可利用川购函数直接求出能控性矩阵，从而确定系统的状态能控性，它的调用格式为：
Uc=ctrb（A,B）°
在MATLAB指令区中键入以下命令：
A=[0100/20.601000;
0001/-0.4905000];
Uc=ctrb（AzB）;
n=4;
if（n==rank（Uc））
disp（r系统能控冷
End
其结果为：
系统能控。
可以看出，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量尹的维数，所以系统可控，因此可以对系统进行控制器的设计，使系统稳定。
3.3、开环系统的能观性分析
控制系统大多数采用反馈控制形式。
在现代控制理论中，其反馈信息是由系统的状态组合而成。
但并非所有的系统的状态变量在物理上能侧取到，于是提出能否通过对输出的测量获得全部状态变量的信息，这便是系统的观测问题。
对于〃阶线性定常系统：
Jx（r）=Ax（f）+jBw（f）
[y（r）—Cx{t）+Du（r）
能观测性矩阵为：
C■
CA
:
CA,l~l
当rankVc=n时，系统的状态完全能观测，否则系统状态不能观测。
在Matlab中，可利用。
加叨函数直接求岀能观性矩阵，从而确定系统的状态能观测性，它的调用格式为：
Vc=obsv（A,C）o
A=[0100;
-0.4905000];
Vc=obsv（AzC）;
if（n==rank（Vc））
dispC系统能观J
系统能观。
系统的状态完全能观性矩阵的秩等于系统的状态变量维数，系统的输出完全能控性矩阵的秩等于系统输出向量y的维数，所以系统能观。
3.4、系统极点配置
下面采用极点配置的方法计算反馈矩阵。
/、检验系统可控性
由上节的系统可控性分析可以得到，系统的状态完全可控性矩阵的秩等于系统的状态维数4,系统的输出完全可控性矩阵的秩等于系统输出向量的维数2,所以系统可控。
2、计算特征值
综合指标为：
输出超调肚crp<
5%;
超调时间tp<
0.55;
系统频宽
©
510;
跟踪误差ep=0（对阶跃）,^.<
0.2（对速度）。
确定希望的极点：
显然，希望的极点心3,选其中一对为主导极点耳和仏另一个为远极点，并且认为系统的性能主要是由主导极点决定的，远极点只有微小的影响。
根据二阶系统的关系式，先定出主导极点。
-丄t=—\—
匂”2卩©
口
叫二©
*（J1-2孑+戸？
+4$）
式中《和q为此二阶系统的阻尼比和自振频率。
可以导出:
1由o■严网<
5%,可得->
3.14,从而有侶占=0.707，于是选
纟=0.707.
2由50.5s得：
7C7C
—=——50・5
5J1-F叫丄
V2
3”~0.5x0.707&
9
③由©
510和已选的纟=士得®
S10,②的结果比较可取乞=10。
这样便
定出了主导极点为：
%2=-现±
曲1-§
远极点应选择得使它的实部大于5倍的主极点的实部，现取血氐］=5辰［内］，因此根据要求，并留有一定的裕量（设调整时间为2秒），我们选取期望的闭环极点：
=10的主导极点，“3,“4位于主导极点的左侧，因此其影响较小所以，可
满足快速性和阻尼的要求。
同理，取§
=0.5,将纟带入/p<
0.55得到®
=4,远极点应选择得使它的实部大于5倍的主极点的实部，现取蘇[令卜弘“叮，得到另一组期望的闭环极点：
®
=兀（,=1,23,4）
其中xl=-10,x2=-10,x3=-2-2y[3jfx4=-2+2^j,xhx2是一对具有§
=0.5®
=4的主导极点，"
3,则位于主导极点的左侧，因此其影响较小所以，可满足快速性和阻尼的要求。
其中主导极点决定系统的性能，远极点只有微小的影响，根据系统的综合指标关系式可以先定出主导极点，远极点应选择得使它的实部大于5倍的主极点的实部。
3、计算反馈矩阵K
通过Mahalb的控制系统工具箱中的单变量系统极点配置函acker（）,该函数的调用格式为：
K-acker（A.b.P）
式中，P为给定极点；
K为状态反馈矩阵。
当取极点为：
ill=-35,i（2=-35,u3=-7.07-7.07jfu4=-7.07+7.07j
自制的力量，冷静的头脑.希望和宿心15A=[0100;
-0・4905000];
P=[-35;
-35;
-7・07-7・07*j;
-7・07+7・07*j];
k=acker（AzB,P）
得到K』勺结果为：
£
=-5577"
324J2483・2479
所以，反馈控制输入为：
①=_K忆=8577©
+1324z2+12483①+2479z4
同理，当取极点为：
xl=・10,x2=・10、x3=・2・2羽j,x4=^2+2yl3j
P=[-10;
-10;
-2-2*sqrt（3）*j;
-2+2*sqrt（3）*j];
得到K,的结果为：
K、=・29&
1504^60.6972J63.0989-73.3945
■
u2=-K2Z=298.1504硏+60.6972z2+163.0989j+73.3945z4
这是一个调节器系统。
期望的角0总为零，且期望的小车的位置x也总
为零。
因此，参考输入为零。
3.5、闭环系统的能控性和能观性分析
引入状态反馈矩阵K构成闭环后，可能使传递函数发生零极点相消而
破坏系统的能控性与能观性，因此本节分析加入反馈矩阵k后的闭环系统的
能控性和能观性是否发生改变。
在MATLAB指令区中键入以下命令:
$引入反馈矩阵的能控能观判断％
20・601000;
一0・4905000];
B=[0;
k=[-8577-1324-12483-2479];
a=A+B*k;
Uc=ctrb（a,B）;
Vc=obsv（a,C）;
dispC系统即能控又能观，）
end
$引入反馈矩阵K.的能控能观判断％
k=[-298.1504-60.6972-163.0989-73.3945];
Uc=ctrb（a,B）;
dispC系统即能控乂能观，）
系统即能控又能观。
说明加入反馈矩阵灯、k2后并没有破坏原系统的能控性和能观性。
4、一级倒立摆系统Matlab仿真
4.K系统开环Simulink搭建及仿真
首先点击SimulinkLibraiyBrowser点击File新建modely扌打十Simulink模型
编辑窗口，如图5：
&
howr>
o9n>
ulHvComn>
ontySeO8tool:
o
图6Smulink打开画面
在模型编辑窗口上建立一级倒立摆的系统开环模型如图7:
“匕JCMpbyCM严Z沁CMtoSHMp
图7系统开环模型搭建
点击Scope和Scopel,可以看到两输出变量位置⑵和角度（0丿随时间的变化，如图8和图9:
图8系统开环下角度的变化
图9系统开环下位置的变化
由图8和图9可以看岀系统开环下角度和位置随时间变化都是发散的,
所以系统的开环不稳定的。
4.2、系统极点配置后的Simulink仿真
用Matlab的Simulink搭建倒立摆系统，并加上通过极点配置方法计算的反馈矩阵K,在倒立摆的开环系统下加上反馈增益。
检验在配置极点后系统是否达到所设定的指标。
由系统的状态方程可以得到：
Zl~Z2
z2=20.601
z4=-0.4905zj+0.5u
可由系统的状态方程得到系统的框图，如图“
自制的力量，冷静的头脑.希望和信心20
图“系统的框图
在原开环系统的基础上加上反馈增益&
如图//:
%"
3*•H
hbtcteUm
Dwqrvnterttaea^AatfywCod・（00*
»
・•▼：
°
o•
3
Milkr.：
«
・
%皿切
▼
八
a
Gr
e—
图//加上反馈增益K\的系统框图
点击Scopw和Scopel,可以看到两输出变量位置国和角度3丿随时间的变
化，如图/2和图
图12反馈矩阵为&
系统角度的变化
图14反馈矩阵为K2系统角度的变化
图15反馈矩阵为K2系统位置的变化
由图"
可以看出一阶倒立摆系统的角度0在1S时受到外部干扰后，系
统在4s左右又重新回到0的平衡位置，调整时间为3s左右。
可以看出一阶倒立摆系统的水平位置在is时受到外部干扰后，系统在4s时基木上可以由*0稳定到新的平衡位置调整时间为3s左右。
综上所述，由于选择了不同的纟和®
从而得到了两组不同的主导极点，对于第一组极点的纟取的为0.707,con取的为"
，而第二组极点§
取的为0.5,©
取的为4。
不同的纟导致两组的超调量不同，由图和图"
可以看出后者的超调量明显大于前者。
不同的纟和®
导致调整时间的不同，由图/3和图/5可以看出前者的超调时间『，为d后者的超调时间.为方。
系统的调整时间和超调量都达到了提前所设的指标，可知通过通过反馈重新配置系统的极点，能达到所期望的性能，系统由开环的不稳定通过极点的配置，增加状态反馈矩阵后达到稳定。
5、总结
传统的非线性系统分析方法需要非线性系统的精确模型，而实际中存在的大量复杂的多变量非线性系统则表现为参数的不确定性和结构的不确定性。
木文用现代控制理论的极点配置方法对直线一级倒立摆控制进行了分析，通过不同的,◎得到两组不同的主导极点并分别用®
加伽t进行了倒立摆的系统仿真，其仿真结果达到了期望的指标。
通过这次大作业，将在现代控制理论中所学到的状态空间表达式的建立、系统稳定性分析、系统能控性的判定和极点配置的方法以及状态反馈的建立运用到一级倒立摆的模型中，让我更加理解所学的知识，对所学的知识有了更深刻的认识，对MATLAB的应用更加熟练，加强了我运用知识解决问题的能力。
自制的力量，冷静的头脑，希望和信心24
6、参考文献
[1]刘豹唐万生现代控制理论（第三版）•北京：
机械工业出版社，2006.
⑵夏德铃翁贻方自动控制理论（第4版）.北京：
机械工业出版社，
2012.
[3]李国勇程永强计算机仿真技术与CW—基于MATLAB的控制系统
（第三版）.北京：
电子工业出版社，2012.
[4]易杰俞斌倒立摆系统的状态空间极点配置控制设计□•电子测
试.2008.8
[5]李国辉基于simulink的单级倒立摆仿真刃大连交通大学学报.200&
升级会员 