华科微积分辅导书习题答案4Word格式文档下载.docx

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华科微积分辅导书习题答案4Word格式文档下载.docx

此时，分子=1+丄X

12212

--x2+o（x2）-2~--X2.）

（10）若lmfg-f匕）=2（n为正整数）

（X—Xo）

则当n为奇数时，f（x）在x=x0处

当n为偶数时，f（x）在X=x。

处

解条件

=分式最终为正（极限的保号性）

。

于是n偶时，f（x）—f（x0）>

O,f（x0）极

小；

n奇时,

f（X）-f（xo）与X-Xo同号.f（xo）非极值.

（11）曲线y

=xe」的拐点为

，且该曲线在区间

上凹，在区间

-XWc-X丄一X人”Cz口c

=e-xe,y=-2e+xe，令y=0，得x=2o

当xc2时，y"

0，曲线为凸的；

当x>

2时，y"

0，曲线为凹的；

拐点为（2,2e°

）

（12）若f（X）在0,a］上二阶可导，且f"

（X）

M，又知f（x）在（0，a）内取得极大值,

则必有

f（0）+f'

（a）

设在点X0极大，则f（X0）=0,于是

厂（0）=f'

（O）-f'

（X0）=

X0,

（a）=f'

（a）-f'

（x。

）=f\y）

a-X0,

于是

f（0）+厂（a）=feX0+f”（y）

a-x0兰M（x0+a-x0）=Ma

2.选择题

（1）

函数

=x2

+1和g（x）=2x+1，在区间0,1】上满足柯西定理的E等于（）

（A）

———■

—2^

（B）

罗尔定理中的三个条件:

f（x）在a,b］上连续，在（a,b）内可导，且f（a）=f（b）是

f（x）在（a,b）内至少存在一点©

，使得f'

（©

）=0成立的（

（A）必要条件

（C）充要条件

（B）充分条件

（D）既非充分也非必要条件。

解充分条件

（3）下列函数中在1,e］上满足拉格朗定理条件的是（

（A）ln（lnx）

Inx

（C）p1-

（D）In（2—X）。

Inx在［l,e］满足（B）

设limf（x）为未定型，则xTog（x）

必要条件（B）充要条件

lim

^3xo

f（x）存在是limg'

（x）fgd）

f（x）

（C）充分条件（D）

也存在的（）

既非充分也非必要条

充分（C）

（5）若在区间（a,b）函数f（x）的f'

（X）aO,f"

（X）<

0，则

f（x）在（a,b）内是（）

（A）单调减少，曲线上凹

（C）单调增加，曲线上凹

（B）单调减少,

（D）单调增加,

曲线下凹

解f'

o对应单增，厂<

0对应上凸，于是（

D）形为右图。

（C）f（x）单调趋向于+或

（D）f（x）的符号不能确定

解注意在X=0处，函数可能不连续，选（D）

.反例形为右图。

（6）设f（x）在（0,+处）内可导，且f'

（X）>

0，若f（0）=0，则在（0,丘）内有（）

（B）f（x）A0

（A）f（x）X0

⑺设Ximaf^aF=1，则在x=a处（）

f（x）的导数不存在

（A）f（x）的导数存在，且「心）工0（B）

（C）f（x）取得极小值

（D）

f（x）取得极大值

极小值，同1（10）,选（C）

（8）

函数y=x"

-2x3有（）

（A）一个极大值和一个极小值

（C）两个极小值（D）

（B）两个极大值

一个极小值，无极大值

y=x（x-2），一个极小值（D）

图形如右

设g（x）在（-召畑）上严格单调减少，f（x）在X=x0处有极值，则（）

gf（x）I在X=Xo处有极小值

gf（x）I在X=Xo处有极大值

（C）

gf（x）I在X=Xo处有最小值

gf（x）I在X=xo处既无极大值，也无最小值

f（x）<

f（X0）=

g（f（X））>

g（f（xo）），故为极小值.（A）

（10）曲线y=

1+x

（A）有一个拐点

（B）有两个拐点

（C）有三个拐点

（D）无拐点

2e,

1+x（1+x）2

ex2

”D厶X丄

y=e+3

1+x（1+x）2（1+x）3

^[（1+x）2-2（1+x）+2],

（1+x）3（1+x）3

它在X=-1两侧变号，但X=-1为无定义点，故无拐点（D）

（11）设f（x）在闭区间匚1,1］上连续，在开区间（-1,

1）上可导，且f'

M,f（0）=0，

则必有（）

（A）f（x）>

f（x）>

（C）f（x）兰M

选（C）

解f（X）=f（X）-f（0）=f徉）

（12）若f”（x）>

0，贝y「

（1）、「⑵、f

（2）-f

（1）的大小关系为（）

（A）f

（2）>

（1）>

（2）—f

（1）

（2）-f

（1）>

（2）>

（1）

fT2）Af

（2）-f

（1）Af〔1）

（1）>

（2）-f

（1）>

（2）

解f、0二r，故f

（1）vf

（2）-f

（1）=f牡）cf\2）选（C）

（13）设f（X）有二阶连续导数，且「（0）=0,lim

f（0）是f（x）的极大值

f（0）是f（X）的极小值

（0,f（0））是曲线y=f（x）的拐点

f（0）不是f（X）的极值，（0,f（0））也不是曲线y=f（X）的拐点

B）

匸也t1》0=f”与X同号，故推出f"

（x）:

0.结合f'

（0）=0，选（

2X2+X+1

（14）曲线yarctan的渐近线有（）

（x—1）（x+2）

（B）2条

（A）1条

（C）3条

（D）4条

兀

—，非垂

（A）f'

（X0）=0

（X0）H0

（C）f'

（X0）=0或f'

（X0）不存在

解XT0时，yT处，故得一条垂直渐近线X=1；

XT1±

时arctan（*）t

直渐近线，类似X=-2也不是，再XTK时，yT—，得水平渐近线。

选（B）

（15）设函数f（x）在X=X0连续，若X0为f（X）的极值点,

解选（C）这是两种情形:

3.求下列极限:

（1）limXJ-xhxx—（x—1）lnx

⑵%n（1+x）

-I

X」

（4）limM

7丸X丿

（1）令x—1=t，（分子化简用到：

In（1+x）=

lim—njimi+M+t）

xj（x-1）lnxT

tln（1+t）

二tmo

122

t_（1+t）（t--t2+o（t2））

（2）lim[-^J]=limXjn（1+x）Tln（1+x）XJP

xln（1+x）

—x

=lim

Tx2

（3）令u

=丄，化简到分式后使用洛必达法则

50_uU

limue=lim—u-u^^xut乂eu

50u49

50!

，理57

（4）令t-

化简后使用洛必达法则

Xln（ln_）

也+ex

=explim

lnln1

lim吻2lim

t=e^a1

Inlt

（3）lim1/X100

x_0

解：

使用洛必达法则要结合等式变形或等价变形等化简手段。

X——x+o（x），下题也是）

4•已知f（x）在x=0处有三阶导数，且f（0）=0,f'

（0）=0,厂'

（0）=2，厂（0）=3，求极限

limf（x）-x2

解一：

由f（x）在Xi处Taylor公式，得：

埠x3+o（x3），于是

133

f（x）-x2尹+o（x）1lim（）3—=lim23=-

TX3X32

解二：

由洛必达法则也可以。

注意0/0型条件的检验。

f（x）—Xf（x）-2x1,.「'

（x）—2r.f”（x）-f"

（0）1—、1

3x2

X—0

lim=lim—=-lim—=-lim—j=-f（0）=-

XTx3T3x26TX6xTX—062

（注：

最后一步极限只可使用导数定义，决不可以用洛必达！

因为三阶导函数可以不存在）5•证明下列不等式

（1）当0cx<

；

1时，e2xc1+X

1-X

设f（X）=（1—x）e2x一（1+X），原不等式Uf（X）c0

2x2x

（x）=e（1—2x）—1,f"

（X）=—4xev0=f\x）在（o,i）内单调减，且f'

（0）=0

丁f'

（x）c0=f（x）在（0,1）内单调减，又由f（0）=0,故在（0,1）内f（x）<

（1-x）e2x<

1+xXH1故

ex2

f（X）=-xeX=0=x=0，因x=0为

时f'

0时，故f（0）=1

是f（x）的极大值，也是最大值（xc1）

f（X）=（1-X）ex<

f（0）=1，因

1即得<

—

（2）当X<

1时，eX<

作函数f（X）=（1—x）eX,f（0）=1f（x）的唯一驻点，且当x>

0时f'

（x）c0，当xv0

（3）当X>

5时，2>

令F（x）二心）,

fW2®

2一2）

因当X>

5时，xln2-2>

4In2-2=ln

0，故F'

0，从而F（X）>

F（5）>

/.2^x2（X>

5）.

In（1+U2）与——之大小,

1+J2

（4）比较J2—1和In（1+J2）的大小

因J2-1=——产，故问题在于比较1+J2

令f（x）=lnx-—,f

（2）=ln2——>

f（x）=—+p>

0（x>

2）则f（x）》f

（2）》0（x》2）

令X=1叵，即得ln（1+72）>

72-1.

6.求下列函数的极值:

（1）f（x）=（x+2）2（x-1）

（x）=2（x+2）（x-1）+（x+2）2=3x（x+2）=0=x=—2,x=0

（x）=6x+6,f"

（0）=6>

0f在x=0处取得极小值，且f（0）=-4

f\-2）=-Q<

0，:

.f在x=—2处取得极大值，且f（-2）=0

（2）f（X）=r（x2+3x+1）+e2

f〔X）=e」（2+x）（1—x）=0=X=-2,X=1.f"

（x）=e」（x2

-x-3）

f“（—2）=3e2aO,f（X）在X=-2处取得极小值，且极小值为

f（—2）=0

（1）=-3e^<

0，/.f（x）在X=1处取得极大值，且极大值为

（1）=5e」+e2

（3）f（x）』2X,X>

lx+1,x<

哩』（X）=lm+x2x=lm^xlar=〔=f（0）

limf（X）=lim（x+1）=1=f（0）

x_5p—^0—

/.f（x）在x=0处连续，从而f（X）在（-=C,P）内处处连续.

f2x2x（1+|nx）,x>

f（xr,（）x<

（TO）

（0-）e

（・，p）

f\x）

不存在

一

极大值

极小值

由上面的表可知，f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为

在X=1处，f（x）不可导，令f'

（X）=0=X=-e

7.已知f（X）=2x3+ax2+bx+9有两个极值点x=1,x=2，求f（x）的极大值与极小值.

解:

（X）=6x+2ax+b

从中解得a=—9,b=12

（1）=6+2a+b=0

（1）

厂

（2）=24+4a+b=0

（2）

即得

f（X）=2x3-9x2+12x+9，

f（X）=12x—18,f

（1）=-^<

二f（x）在x=1处取得极大值，且

（1）=14

2X2

求f（x）=xe-在（二E内最大值和最小值.

X22

limf（X）=lim—=0

（x）=2xe（1—X）=0=X=0,±

limf（X）=limx2e^=lim—=lim2=0,J乂一七泊乂^"

^2XeX

f（0）=0,f（±

1）f（X）在（二,咼）内最大值为

9.求下列曲线的渐近线:

「）y3x2

—n

..X-

lim2—0,

-X

解*3一

/.X=±

73为垂直渐近线.

二y=0为水平渐近线.

ix-1

（2）y=¥

X+1

e，,最小值为0.

limN

X=-1为垂直渐近线，y=1为水平渐近线.

10.研究方程xinx+A=0实根的个数.

（0,）

丄

（丄严）

y=xlnX

J1\lt

f（x）

、

A」

-1-

W1X

令f（X）=XlnX+A，贝Uf'

（X）=inx+1=0=

X=一

iim+f（x）=A,

r，畑）内方程有一根.

（1）若A<

0，则在（0,）内方程无根，在

在（0,—）内f（X）a0，在（—,亦）内f（x）a0，即方ee

（2）若0<

1/e，则方程在（0,—）与（一,代）内各有一根.

（3）若A=-，则极小值f（-）=0,

程只有一个实根.

从而在（0,址）内f（xp-0，方程无实根.

2n_1=0的实数，证明

aiCOSX+a2cos3x+…

+ancos（2n—1）x=0

在开区间（0,；

）内至少有一个实根.

ansin（2n-1）x

设f（X）=a1sinx+-a2sin3x+■■-+

32n-1

气雹11

在［0,H内满足Rolle定理条件：

f（0）=0,f

（二）=3“a2+…+（―1）心an=0

2232n-1

—兀兀一

/.3匚己（0,—），使得f‘佗）=0,即在（0,—）内有-x满足

aicos+a2co3x+…+ancoS2n—1）x=0

12.设函数f（x）在闭区间a,b］上连续，在开区间（a,b）内可微，试证存在E,n亡（a,b），使

证：

首先由拉格朗日中值定理，得

Wga,b）使f®

=f（b）—f（a）

b-a

其次针对f（x）以及f（x）=x2在［a,b］上，由Cauchy中值定理知，存在口亡（a,b）使

f（b）-f（a）=f⑺

b2-a2"

两式联手即得。

13.设f（x）在［0,1］上连续，在

（0,1）内可导，且f（0）=0.证明在（0,1）内至少存在一点匚，

使f（F=（1_F「（F.

令F（x）=f（x）（x-1）,

则F（x）在［0,1］上满足R-Th条件，则存在匚€（0,1），使

F（匚）=0即f（匚）（匚一1）+f（匚）=0=f（匚）=（1—匚）f'

（匚）

14.设0vacb,f（x）在［a,b］上连续，在（a,b）内可微，证明在（a,b）内至少存在一点匚，

使得f（b）—f（a）'

（匚）ln—.

令g（x）=lnx，将f（x）及g（x）在［a,b］上应用柯西中值定理，则有

山,Wa,b）即f（b）-f（a）=5勺詰

InbTna1a

-a2n1an

11.设a1,a2,…,an满足a1…+（―1）-

15•设f（X）在［0,1］上具有二阶导数，且f（0）=f

（1）=0,minf（x）=-1.证明存在一点

0逹£

匚壬（0,1），使f"

（匚）>

设f（x）在x=a处（a迂（0,1））取得最小值，则f'

（a）=0,f（a）=-1,由台劳公式

当X=0,x=1时

f（x）=f（a）+f（a）（x-a）厂（匚）（x-a）2,

f（0）=f（a）+「（a）（—a）+：

「G）a2f

（1）=f（a）+f'

（a）（1-a）+2f"

（G）（1-a）2

f（0）=f（i）=0,f（a）=—1,「（a）=0

则有

f7匚1）=2,（0v匚1va）

f3（1-a）

刁，（0V匚2ca）

于疋若

-时，f”G>

8）；

-时，f徉2）>

8.由此可得f"

8.（0丈匚c1）

16.由

y=0,x=8,y=x所围成的曲边三角形OAB，在曲边OB（y=x,a<

8）上求一

点C，使得过此点所作y=x之切线与OA,OB所围成的三角形面积最大

设过曲线y=x2上点c（x,b）处的切线方程为Y-y=y'

（X-x）,

将y=x2代入上式得Y-y=2x（X-X）

此切线与X=8,Y=0的交点纵坐标与横坐标分别为

m,—2

切线与X=8,y=0所围成的三角形的面积为

S（X匕（8弓2X（8一X）

仃］

于是s'

（x）=4x2-16x+64

0=X=16及x=16（舍去）

因为只有一个极值点，所以，当

=16时，s（x）取得最大值，故所求的点是（^6,?

56）.

339

InX

17.作出函数y=——的图形

（1）定义域（0,畑）

2,y

2InX—3

pz3/2

令y，=0二x=e,yH=0二x=e

（3）导数符号变化区间如下:

（0,e）

（e,e3/2）

3/2

z3/2,\

（e，邑）

y，

rry

极大

拐点

极大值为

，2e3/2）

（e3/23

y（e）=拐点为

（4）渐近线

X=0为垂直渐近线

lim——

XT0+x

Inx1

lim=lim—=0y=0为水平渐近线.

18.求曲线y=2（x-1）2的最小曲率半径

=4（x-1）,y"

=4,K=

丄2\3/2

（1+y）

[1+16（x-1）2]3/2，K最大LR最小

u左式中分母最小ux=1。

最小曲率半径R=-。

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