单摆运动方程及其周期近似解文档格式.docx
《单摆运动方程及其周期近似解文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《单摆运动方程及其周期近似解文档格式.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
dt
代入基本拉格朗日方程，得
ml2，mglsin八0
（2）保守系下的拉格朗日方程为
（a=1,2，.）
drml
d|dtI』
-mgl
:
L
59
代入到
（1）式中，有
rgsinl
晋，则有
（3）
（3）式是一个非线性微分方程，而大多数非线性微分方程都很难找到
其解析解，这给动力系统的分析带来了很大的困难。
再者，非线性系统能
产生“混沌”现象，其解析解通常也是非常复杂的
文献〔1和文献2分别从机械能守恒定律和相图关系求出了精确的单摆
运动周期公式：
近似：
为sin：
，则
（2）式可简化为W。
"
=0，对其两
边乘以2d-，然后积分：
22w0sin二d）-0
得
（
dv
-）2
-2w02sinv-c
即
d
、2
-）
=2w0sin^c
其中c为常数积分。
当摆动到最大角度入时，-0。
所以c=「2wo2sin"
，
因此，
分离变量并积分
w°
J2（cosJ-cos如
如果t=0时，，=0，并设T是单摆的振动周期，则t=T/4时，―入，所以
2、,；
sin2二°
一sin2
V22
1cos
ee
d）-sincos:
d
22
6
cos—
则（4）右边被积函数写为:
其中'
0是单摆的最大摆角。
式（5）适合于任意摆角下的单摆运动，但这个公式是用完全椭圆公式表示的，过于复杂，应用时需要查椭圆积分表，因而实用性不强。
本文先通过线性近似求出小角度下的单摆等时公式，其次通过构建
“局部常化”的近似处理方法，给出在.0三90时近似度较好的一个单摆运
动周期解。
2小摆角下的周期近似解
在单摆运动系统中，如果摆角很小（一般卄三5）时，可将单摆运动近似成一种简谐振动。
对于运动方程（3）,可以做如下近似：
由于摆角很小，所以可以将非线性因子sind作一级近似，将方程（3）转化成线性方程。
即有：
sin,…，所以（3）式可写成：
日+和20日=0（6）
该方程的解为：
r-Aisin-■otA2cos，ot=Acos•ot
所以，
To=2「‘。
=2二、'
g
现在，我们将这种近似周期公式To与精确的周期公式进行比较，其结果如表1示：
（T由椭圆积分表查7得）
表1:
To与T的相对误差对比
日。
⑺
3
4
io
2o
3o
0.9998
o.9997
o.9993
o.9981
o.9925
o.9828
4o
5o
6o
7o
8o
9o
琢
o.9696
o.9526
o.9318
o.9o74
o.8791
o.8427
从表中可以看到，当最大摆角较小时，由To计算得到的周期相对误差较小，而当最大摆角较大时，相对误差较大。
3“局部常化”的近似周期解
上面，我们将sin作了一级近似，将非线性微分方程转换成了线性微
分方程，但通过表1我们看到，这种近似是很粗略的，当大.0较大时产生
的误差比较大。
现在，我们需通过构建“局部常化”的近似方法来给出近似度较好的单摆运动周期解公式。
对于方程（3），我们可以采用"
局部常化"
4】，将sinB作如下变换:
09QQe
sin：
-2sincos2coscoscos心0（7）
22222（7）
在这里，我们将变量cos?
视为常量cos^o。
其中「0门0丨。
现在，将（7）2
式代入（3）式得
dt2
（8）
gcos灯0——
L…01cos^0。
式（8）是对动力学方（3）的有
一个修正，将一个分线性问题转换成一个线性问题。
由（6）式我们可以很容易的得到单摆的周期公式
（9）
TL=%
1「［geos—°
「cos—0
式中的■是一个修正常数，修正的方发事将式（6）与标准式（3）在取不同
角度时进行比较。
通过取的不同值进行尝试比较，我们发现修正值为
1=0.496时Ti有比较高的精度。
下面我们将这种近似公式「与精确的周期公式进行比较，结果如下表2所示.
表2：
「与T的相对误差对比
4（。
）
10
20
30
1.0000
40
50
60
70
80
90
T%
1.0008
1.0021
1.0043
表2的数据表明，当兀乞90时，公式Ti的近似度很好，相对公式To来说近似度明显的提高了。
4数值模拟分析相轨迹
运动微分方程：
**2
丁--■0sin丁
（0）=A
■
二（0）=v
数值编程：
令t=x,二二y,v-z则微分方程转换为：
y=z
2.
z=-w0sinyy（x°
）=az（x°
）=v
用四阶龙格-库塔法51程序如下：
Functionf（yAsDouble）AsDouble
g=9.8
l=0.6
f=-g*Sin（y）/l
EndFunction
PrivateSubCommand1_Click（）
DimgAsDouble,lAsDouble,nAsInteger,hAsDouble,aAsDouble,bAsDouble
DimtAsDouble,t0AsDouble,t1AsDouble,y0AsDouble,y1AsDouble,z0AsDouble,z1AsDouble
Diml1AsDouble,l2AsDouble,l3AsDouble,l4AsDouble
a=0:
b=2
n=800
h=（b-a）/n
Open"
时间.txt"
ForOutputAs#1
角度.txt"
ForOutputAs#2
角速度.txt"
ForOutputAs#3
y0=20:
z0=6:
t0=a
Fort=aTobSteph
t1=t0+h
l1=f（y0）
l2=f（y0）
13=f（yO+（h八2*11）/4）
14=f（y0+h八2*12/2）
y1=y0+h*z0+h八2*（11+12+13）/6
z1=z0+h*（l1+2*l2+2*l3+l4）/6
Text1.Text=Text1.Text&
t&
"
&
Format（y1,
##.######"
）&
vbCrLf
Write#1,t
Write#2,y1
Write#3,z1
y0=y1
z0=z1
Nextt
Close#1,#2,#3
EndSub
按理论：
（1）取n=800,t=0-2s,g=9.8kgA2/s,l=0.6m。
初值：
y0=20,z0=0、1、
2、3、4、5rad/s同一横坐标z1,同一纵坐标y1模拟相轨迹如下：
22
-6-4-2
246
-8
RTXA1Y
Z1AxisTitle
204
B
203
18
16
201
200
分析：
由图可知初值在角度y—定的情况下，随着初角速度z的增大,
相轨迹椭圆越来越大，并且在在初值为5时，椭圆出现缺口。
由于
EJy02-coz0
初值y不变，初值z增大后，摆能量增大，对应椭圆面积较大，图示符合
理论，当初始能量越大，单摆由摆动转为振动，如果继续取值。
椭圆缺口
会越来越大，最后形状变化无规律可寻。
（2）取n=800,t=0-2s,g=9.8kgA2/s,l=0.6m。
zO=Orad/s,y0=1、
20、30、50、65、75度，同一横坐标z1，模拟相轨迹如下：
ZIAxisTitle
10
mJ—OPXA1Y
3332
31
I~
I
i
i
1^
-6
-4
-2
8
29
300
50.
-6-4-2024
500
66
4-8
650
75
75.0_亠』
-8-6-4-202468
750
由图可知在初角速度z一定的情况下，随着角度y的增大，相轨迹椭圆变化较明显。
初值为1度时，椭圆近似为圆；
当初值小于30度时，椭圆纵横向都增大，符合能量公式；
当初值为50度时，椭圆纵向显著增大横向显著减小，当初值为65度时，椭圆又产生缺口，再到后面变化不一。
由于少二-一孑，所以lz1-cosy=E，即相轨迹方程。
总能量为：
dzw0siny2
法，巧妙的将分线性因子sin,进行了线性化，从而得到了一个近似程度较好
的单摆运动周期解。
通过表格分析，我们确实看到这个公式在"
空90的情
况下的近似程度的确很好。
最后，用数值模拟（四阶龙格-库塔法）求解无阻尼无驱动单摆非线性方程，用origin作图软件绘制出入乞90时取不同初值时的相轨迹，并分析了其相轨迹特性：
初值y不变，初值z增大后，摆能量增大，对应椭圆面积较大，图示符合理论：
初值z不变，y增大后，对应椭圆纵向取值范围不一致，图示可对比性较差，但总体来说，对摆的小角度摆动相轨迹近似为圆，大角度既有摆动又有转动，摆相轨迹规律难找。
参考文献
【1】周衍柏.理论力学教程.高等教育出版社，1986年3月第二版.
【2】赵凯华.从单摆到混沌.现代物理知识，1993，5（8）：
12-14.
【3】MarionJB.CIassicalDynamics.NewYork:
Academic
press,1965,181-182.
【4】谭志中.求大摆角周期近似解的“局部常化”方法，大学物理，2005,24（12）:
14-17.
【5】王能超.数值分析简明教程.高等教育出版社.2003年8月第2版
【6】冯登泰.应用非线性振动力学.中国铁道出版社.1982年7月
【7】椭圆积分表编写小组.椭圆积分表.北京机械工业出版社.1979年9月
2009--2010学年第二学期物电学院期末考试卷
I
i《非线性物理》
学号：
200772010250姓名：
张盈盈班级：
物理学2班
成绩：
评语：
装
考试题目：
单摆运动周期和相轨迹特性的研究订
线
升级会员 