中考数学常考易错点24《一元一次不等式组》原创.docx
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中考数学常考易错点24《一元一次不等式组》原创
一元一次不等式（组）
易错清单
1.对不等式的性质理解有误.
【例1】 （2014·山东滨州）已知a,b都是实数,且aA.a+x>b+xB.-a+1<-b+1
C.3a<3bD.>
【解析】 根据不等式的性质1,可判断A,根据不等式的性质3,1可判断B,根据不等式的性质2,可判断C,D.
不等式的两边都加或都减同一个整式,不等号的方向不变,故A错误;不等式的两边都乘或除以同一个负数,不等号的方向改变,故B错误;不等式的两边都乘以或除以同一个正数,不等号的方向不变,故C正确,D错误.
【答案】 C
【误区纠错】 注意在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变.
2.在判断不等式成立或由不等式变形求某字母的范围时,要认真观察不等式的形状与不等号的方向.
【例2】 （2014·山东潍坊）若不等式组无解,则实数a的取值范围是（ ）.
A.a≥-1B.a<-1
C.a≤1D.a≤-1
【解析】 分别求出各不等式的解集,再与已知不等式组无解相比较即可得出a的取值范围.
由①得,x≥-a,由②得,x<1,
∵ 不等式组无解,
∴ -a≥1,解得a≤-1.
【答案】 D
【误区纠错】 学生在考虑有解无解题目时,弄不清什么时候该带等号什么时候不该带等号导致出错.
3.用一元一次不等式（组）解决实际问题时不能正确确定问题中的不等关系.
【例3】 （2014·四川绵阳）某商品的标价比成本价高m%,根据市场需要,该商品需降价n%出售,为了不亏本,n应满足（ ）.
A.n≤mB.n≤
C.n≤D.n≤
【解析】 根据最大的降价率即是保证售价大于等于成本价相等,进而得出不等式即可.
设进价为a元,
由题意,得a（1+m%）（1-n%）-a≥0,
即（1+m%）（1-n%）-1≥0,
整理,得100n+mn≤100m,
故n≤.
【答案】 B
【误区纠错】 解决问题的关键是读懂题意,找到关键描述语,根据题目中的数量关系,得出正确的不等关系是解题关键.
名师点拨
1.掌握不等式性质.
2.能够说明一元一次不等式组解集的含义.
3.能利用类比思想,对照一元一次方程求解思想解一元一次不等式（组）.
4.能根据题意中的不等语句（如不低于最少、至多等）列不等式组解决实际问题.
提分策略
1.与不等式（组）的解集有关的问题.
已知不等式组的解集求字母（或有关字母代数式）的值,一般先求出已知不等式（组）的解集,再结合给定的解集,得出等量关系或者不等关系.
【例1】 关于x的不等式组有四个整数解,则a的取值范围是（ ）.
A.-C.-≤a≤-D.-【解析】 先求出不等式组中每个不等式的解集,然后求出其公共解集,最后求a的取值范围即可.
设
由①得x>8;
由②得x<2-4a,
故不等式组的解集为8因为不等式组有四个整数解,为9,10,11,12,
所以
解得-≤a<-.
【答案】 B
2.一元一次不等式（组）的应用.
（1）一元一次不等式（组）与方程（组）相结合解决实际问题.
近几年,中考注重对学生“知识联系实际”的考查比较多,实际问题中往往蕴含着方程与不等式,分析问题中的等量关系和不等关系,建立方程（组）模型和不等式（组）模型,从而把实际问题转化为数学模型,然后运用数学知识来解决.
【例2】 某商场用3600元购进甲、乙两种商品,销售完后共获利6000元.其中甲种商品每件进价120元,售价138元;乙种商品每件进价100元,售价120元.
（1）该商场购进甲、乙两种商品各多少件?
（2）商场第二次以原进价购进甲、乙两种商品.购进乙种商品的件数不变,而购进甲种商品的件数是第一次的2倍,甲种商品按原售价出售,而乙种商品打折销售.若两种商品销售完毕,要使第二次经营活动获利不少于8160元,乙种商品最低售价为每件多少元?
【答案】
（1）设商场购进甲种商品x件,乙种商品y件,
根据题意,得
解得
故该商场购进甲种商品200件,乙种商品120件.
（2）设乙种商品每件售价z元,
根据题意,得120（z-100）+2×200×（138-120）≥8160,
解得z≥108.
故乙种商品最低售价为每件108元.
（2）运用一元一次不等式（组）进行方案设计.
利用一元一次不等式（组）解决方案的问题实质就是一个由列不等式（组）——求解——由实际问题取值的过程,由于一元一次不等式（组）的解一般情况下是无穷多个,但由于实际问题的限制,可能只有其中的某个或某些满足实际问题,这样也就随之产生了一种或几种设计方案.
【例3】 某服装店欲购甲、乙两种新款运动服,甲款每套进价350元,乙款每套进价200元,该店计划用不低于7600元且不高于8000元的资金订购30套甲、乙两款运动服.
（1）该店订购这两款运动服,共有哪几种方案?
（2）若该店以甲款每套400元,乙款每套300元的价格全部出售,哪种方案获利最大?
【答案】
（1）设该店订购甲款运动服x套,则订购乙款运动服（30-x）套,
由题意,得
解得≤x≤.
∵ x为整数,
∴ x取11,12,13.
∴ 30-x取19,18,17.
该店订购这两款运动服,共有3种方案:
方案一:
甲款11套,乙款19套;
方案二:
甲款12套,乙款18套;
方案三:
甲款13套,乙款17套.
（2）解法一:
设该店全部出售甲、乙两款运动服后获利y元,
则y=（400-350）x+（300-200）（30-x）
=50x+3000-100x=-50x+3000.
∵ -50<0,
∴ y随x的增大而减小.
∴ 当x=11时,y最大.
∴ 方案一,即甲款11套,乙款19套时,获利最大.
解法二:
三种方案分别获利为:
方案一:
（400-350）×11+（300-200）×19=2450（元）;
方案二:
（400-350）×12+（300-200）×18=2400（元）;
方案三:
（400-350）×13+（300-200）×17=2350（元）.
∵ 2450>2400>2350,
∴ 方案一,即甲款11套,乙款19套,获利最大.
专项训练
一、选择题
1.（2014·湖北黄冈模拟）某商贩去菜摊买黄瓜,他上午买了30斤,价格为每斤x元;下午他又买了20斤,价格为每斤y元.后来他以每斤元的价格卖完后,结果发现自己赔了钱,其原因是（ ）.
A.xy
C.x≤yD.x≥y
2.（2014·湖北黄石九中模拟）若不等式组无解,则a的取值范围是（ ）.
A.a≤3B.a<3
C.a≥3D.a>3
3.（2014·安徽安庆二模）对于实数x,我们规定[x]表示不大于x的最大整数,例如[1.2]=1,[3]=3,[-2.5]=-3.若=5,则x的取值可以是（ ）.
A.51B.45
C.40D.56
4.（2014·广西玉林模拟）把不等式组的解集表示在数轴上,正确的是（ ）.
AB
CD
5.（2013·河北三模）若不等式组有解,则a的取值范围是（ ）.
A.a>-1B.a≥-1
C.a≤1D.a<1
二、填空题
6.（2014·湖北襄阳模拟）不等式组的整数解是 .
7.（2014·浙江杭州模拟）如果不等式组的解集是x<2,那么m的取值范围是 .
8.（2013·江苏南京高淳区模拟）不等式组的解集是 .
三、解答题
9.（2014·四川成都七中模拟）已知关于x,y的方程组
的解都不大于1,求m的取值范围.
10.（2014·浙江宁波北仓区模拟）从2012年7月起,浙江省执行居民阶梯电价新规定,新规定中将原先的按月抄见电量实行阶梯式累进加价改为按年抄见电量实行阶梯式累进加价,
原方案如下:
第一档电价
第二档电价
第三档电价
月用电50千瓦时及以下部分,每千瓦时价格0.538元
月用电51~200千瓦时部分,每千瓦时比第一档提价0.03元
月用电201千瓦时及以上部分,每千瓦时比第一档提价0.10元
新方案如下:
第一档电价
第二档电价
第三档电价
年用电2760千瓦时及以下部分,每千瓦时价格0.538元
年用电2761~4800千瓦时部分,每千瓦时比第一档提价0.05元
年用电4801千瓦时及以上部分,每千瓦时比第一档提价0.30元
（1）按原方案计算,若小华家某月的电费为83.7元,请你求出小华家该月的用电量;若小华家每月的用电量不变,则按新方案计算,小华家平均每月电费支出是增加还是减少了,增加或减少了多少元?
（2）为了节省开支,小华计划2014年的电费不超过2214元,则小华家2014年最多能用电多少千瓦时?
11.（2013·上海模拟）试确定实数a的取值范围,使不等式组恰有两个整数解.
12.（2013·浙江湖州模拟）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件,其进价和售价如下表（注:
获利=售价-进价）:
甲
乙
进价（元/价）
15
35
售价（元/件）
20
45
（1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元,问甲、乙两种商品应分别购进多少件?
（2）若商店计划投入资金少于4300元,且销售完这批商品后获利多于1260元,请问有哪几种购货方案?
并直接写出其中获利最大的购货方案.
13.（2013·广东深圳育才二中一模）某校为开展好阳光体育活动,欲购买单价为20元的排球和单价为80元的篮球共100个.
（1）设购买排球数为x个,购买两种球的总费用为y元,请你写出y与x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）;
（2）如果购买两种球的总费用不超过6620元,并且篮球数不少于排球数的3倍,那么有哪几种购买方案?
（3）从节约开支的角度来看,你认为采用哪种方案更合算?
参考答案与解析
1.B [解析]由题意,得-=>0,
∴ x>y.
2.A [解析]解1+x>a,得x>a-1;
解2x-4≤0,得x≤2,
因为不等式组无解,所以a-1≤2,即a≤3.
3.A [解析]=[5.5]=5.
4.C [解析]原不等式组的解集是-15.D [解析]由第一个不等式,得x≥a;由第二个不等式,得x<1,因为原不等式组有解,所以a<1.
6.-2,-1,0 [解析]原不等式组的解集是-37.m≥2 [解析]由第一个不等式,得x<2,因为原不等式组的解集是x<2,所以m≥2.
8.0≤x<2 [解析]由第二个不等式,得x<2.故原不等式组的解集为0≤x<2.
9.解方程组得
∵
∴ 解得-3≤m≤5.
10.
（1）因为50×0.538=26.9<83.7,
而50×0.538+（200-50）×（0.538+0.03）=112.1>83.7,
所以小华家该月的用电量属于第二档.
设小华家该月的用电量为x千瓦时,
由题意,得50×0.538+（x-50）×（0.538+0.03）=83.7,
解得x=150.
所以小华家该月的用电量为150千瓦时.
按新方案计算:
因为150×12=1800<2760,
所以用电量属于第一档,150×0.538=80.7（元）,
83.7-80.7=3（元）.
所以小华家平均每月电费支出减少了3元.
（2）因为2760×0.538=1484.88<2214,
而2760×0.538+（4800-2760）
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