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整数规划习题
第五章整数规划习题
5.1考虑下列数学模型
且满足约束条件
（1）或，或；
（2）下列各不等式至少有一个成立：
（3）或5或10
（4），
其中
=
将此问题归结为混合整数规划的模型。
解：
5.2试将下述非线性的0-1规划问题转换成线性的0-1规划问题
解：
令
故有，又，分别与，等价，因此题中模型可转换为
5.3某科学实验卫星拟从下列仪器装置中选若干件装上。
有关数据资料见表5-1
表5-1
仪器装置代号
体积
重量
实验中的价值
A1
A2
A3
A4
A5
A6
v1
v2
v3
v4
v5
v6
w1
w2
w3
w4
w5
w6
c1
c2
c3
c4
c5
c6
要求：
（1）装入卫星的仪器装置总体积不超过V，总质量不超过W；
（2）A1与A3中最多安装一件；（3）A2与A4中至少安装一件；（4）A5同A6或者都安上，或者都不安。
总的目的是装上取的仪器装置使该科学卫星发挥最大的实验价值。
试建立这个问题的数学模型。
解：
5.4某钻井队要从以下10个可供选择的井位中确定5个钻井探油，使总的钻探费用最小。
若10个井位的代号为s1，s2,…s10,相应的钻探费用为c1，c2,…,c10,并且井位选择上要满足下列限制条件：
（1）或选择s1和s7，或选择钻探s8；
（2）选择了s3或s4就不能选择s5，或反过来也一样；
（3）在s5,s6,s7,s8,中最多只能选两个；试建立这个问题的整数规划模型。
解：
5.5用割平面法求解下列整数规划问题
（a）
（b）
（c）
（d）
解：
（a）不考虑整数约束，用单纯形法求解相应线性给华问题得最终单纯形表，见表5A-1。
表5A-1
x1
x2
x3
x4
x27/2
x19/2
0
1
1
0
7/22
-1/22
1/22
3/22
cj-zj
0
0
-28/11
-15/11
从表中第1行得
由此
即
将此约束加上，并用对偶单纯形法求解得表5A-2。
表5A-2
x1
x2
x3
x4
s1
x27/2
x19/2
s1-1/2
0
1
0
1
0
0
7/22
-1/22
[-7/22]
1/22
3/22
-1/22
0
0
1
cj-zj
0
0
-28/11
-15/11
0
x23
x132/7
x311/7
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
1/7
1/7
1
-1/7
-22/7
cj-zj
0
0
0
-1
-8
由表5A-2的x行可写出
又得到一个新的约束
再将此约束加上，并用对偶单纯形法求解得表5A-3。
表5A-3
x1
x2
x3
x4
s1
s2
x23
x132/7
x311/7
s2-4/7
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1/7
1/7
[-1/7]
1
-1/7
-22/7
-6/7
0
0
0
1
cj-zj
0
0
0
-1
-8
0
x23
x14
x31
x44
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
-1
-4
6
0
1
1
-7
cj-zj
0
0
0
0
-2
-7
因此本题最优解为x1=4，x2=3，z=55
（b）本题最优解为x1=2，x2=1，z=13
（c）本题最优解为x1=2，x2=1，x3=6，z=26
（d）本题最优解为x1=2，x2=3，z=34
5.6分配甲、乙、丙、丁四个人去完成五项任务。
每人完成各项任务时间如表5-2所。
由于任务数多于人数，故规定其中有一个人可兼完成两项任务，其余三人每人完成一项。
试确定总花费时间为最少的指派方案。
表5-2
任务
人
A
B
C
D
E
甲
乙
丙
丁
25
39
34
24
29
38
27
42
31
26
28
36
42
20
40
23
37
33
32
45
解：
加工假设的第五个人是戊，他完成各项工作时间去甲、乙、丙、丁中最小者，构造表为5A-4
表5A-4
任务
人
A
B
C
D
E
甲
乙
丙
丁
戊
25
39
34
24
24
29
38
27
42
27
31
26
28
36
26
42
20
40
23
20
37
33
32
45
32
对表5A-4再用匈牙利法求解，得最优分配方案为甲-B，乙-D和C，丙-E，丁-A，总计需要131小时。
5.7某航空公司经营A，B，C三个城市之间的航线，这些航线每天班机起飞与到达时间如表5-3所示。
表5-3
航班号
起飞城市
起飞时间
到达城市
到达时间
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
A
A
A
A
A
B
B
B
C
C
B
B
C
C
9：
00
10：
00
15：
00
20：
00
22：
00
4：
00
11：
00
15：
00
7：
00
15：
00
13：
00
18：
00
15：
00
7：
00
B
B
B
C
C
A
A
A
A
A
C
C
B
B
12：
00
13：
00
18：
00
24：
00
2：
00
7：
00
14：
00
18：
00
11：
00
19：
00
18：
00
23：
00
20：
00
12：
00
设飞机在机场停留的损失费用大致与停留时间的平方成正比，又每架飞机从降落到下班起飞至少需要2小时准备时间，试决定一个使停留费用损失为最小的飞行方案。
解：
把从某城市起飞的飞机当作要完成的任务，到达的飞机看作分配去完成任务的人。
只要飞机到达后两个小时，即可分配去完成起飞的任务。
这样可以分别对城市A，B，C各列出一个指派问题。
各指派问题效率矩阵的数字为飞机停留的损失的费用。
设飞机在机场停留一小时损失为a元，则停留2小时损失为4a元，停留3小时损失为9a，依次类推。
对A，B，C三个城市建立的指派问题得效率矩阵分别见表5A-6，表5A-7，表5A-8。
表5A-5城市A
起飞
到达
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
4a
361a
225a
484a
196a
9a
400a
256a
529a
225a
64a
625a
441a
16a
400a
169a
36a
4a
81a
625a
225a
64a
16a
121a
9a
表5A-6城市B
起飞
到达
106
107
108
111
112
101
102
103
113
114
256a
225a
100a
64a
256a
529a
484a
289a
225a
529a
9a
4a
441a
361a
9a
625a
576a
361a
289a
625a
36a
25a
576a
484a
36a
表5A-7城市C
起飞
到达
109
110
113
114
104
105
111
112
49a
25a
169a
64a
225a
169a
441a
256a
225a
169a
441a
256a
49a
25a
169a
64a
对上述指派问题用匈牙利法求解，即可得到一个使停留费用损失最小的方案。
5-8需制造2000件的某种产品，这种产品可利用A，B，C设备的任意一种加工，已知每种设备的生产准备结束费用，生产该产品时的单件成本，以及每种设备的最大加工量如表5-4所示，试对此问题建立整数规划模型并求解。
表5-4
设备
准备结束费（元）
生产成本（元/件）
最大加工数（件）
A
B
C
100
300
200
10
2
5
600
800
1200
设x为在第j台设备上生产的产品数，j=A，B，C，则问题的数学模型可表为：
最优解为x1=0，x2=800，x3=1200，z=8100
5-9运筹学中著名的旅行商贩（货郎担）问题可以叙述如下：
某旅行商贩从某一城市出发，到其它几个城市去推销商品，规定每个城市均须到达而且只到达一次，然后回到原出发城市。
已知城市i和城市j之间的距离为dij，问该商贩应选择一条什么样的路线顺序旅行，使总的旅程为最短。
试对此问题建立整数规划模型。
解：
设
由此可写出其整数规划模型为
5.10有三个不同产品要在三台机床上加工，每个产品必须首先在机床1上加工，然后依次在机床2，3上加工。
在每台机床上加工三个产品的顺序应保持一样，假定用tij表示在第j机床上加工第i个产品的时间，问应如何安排，使三个产品总的加工周期为最短。
试建立这个问题的数学模型。
解：
用xij表示第i中产品在j机床上开始加工的时刻，则问题的数学模型可表示为：
5.11某电子系统由三种元件组成，为使系统正常运转，每个元件都必须工作良好。
如一个或多个元件安装几个备用件将提高系统的可靠性。
已知系统运转可靠性为各元件可靠性的乘积，而每一元件的可靠性则是备用件数量的函数，具体数值见表5-5。
表5-5
备用件数
元件可靠性
1
2
3
0
1
2
3
4
5
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1.0
0.6
0.75
0.95
1.0
1.0
1.0
0.7
0.9
1.0
1.0
1.0
1.0
又三种元件分别的价格和重量如表5-6所示。
已知全部备用件的费用预算限制为150元，重量限制为20千克，问每个元件各安装多少备用件（每个元件备用件不得超过5个），是系统可靠性为最大。
试列出这个问题的整数规划模型。
表5-6
元件
每件价格（元）
重量（千克/件）
1
2
3
20
30
40
2
4
6
解：
用x,x,x分别表示1，2，3三个元件安装的备用件数量。
根据题中条件及费用、重量的限制，元件1的备件最多安装5个，元件2备件最多5个，元件3的备件最多安装3个。
故问题的数学模型可表示为：
5.12用你认为合适的方法求解下述问题：
解：
将问题改写为
求解得x1=0,x2=0,x3=10,y=1,z=50
5.13下述线性规划问题
说明能否用先求解相应的线性规划问题然后凑整的办法来求得该整数规划的一个可行解。
解：
当不考虑整数约束，求解相应线性规划得最优解为x1=10/3,x2=x3=0。
用凑整法时令x1=3,x2=x3=0,其中第2个约束无法满足，故不可行。
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