《概率统计》作业题参考答案Word文件下载.docx
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又已知广州肝癌发病率为0.02%(1999年数据),即每一万广州人有两人得肝癌。
假设某人的检验结果是阳性,试问:
他应该沮丧到什么程度?
[解]答案是令人惊讶的,他甚至应该保持谨慎乐观的态度。
为什么呢?
我们来求一下他真的患有肝癌的(条件)概率。
令A={检验结果是阳性},B={他真的患病},则
)
|()()|()()
|()()|(BAPBPBAPBPBAPBPABP+=
%19.0%)
901(%)02.01(%95%02.0%
95%02.0≈-⨯-+⨯⨯=
5.设连续随机变量X的概率密度为:
2
()1A
fxx=+,x-∞<
<
∞
(1)常数A;
(2)X落在区间[0,1]内的概率;
(3)XYe=的概率密度。
[解]
(1)由概率密度的性质,有
2211()arctan11AfxdxdxAdxAxAxxπ∞∞∞
-∞-∞-∞-∞
=====++⎰⎰⎰,故1Aπ=。
(2)由概率计算公式知,所求概率为
1
02
1111(01)arctan
(1)44PXdxxxππππ≤≤===⋅=+⎰;
(3)随机变量函数XYe=的分布函数为
ln20,
0;
()()1
(ln),0.
(1)Xy
YyFyPeyPXydxyxπ-∞
≤⎧⎪=<
=⎨<
=>
⎪+⎩⎰故XYe=的概率密度是
20,
0.(1(ln))
YYyfyFyyyyπ≤⎧⎪
'
==⎨>
⎪+⎩
6.设随机变量X的分布函数为()arctanFxABx=+,x-∞<
+∞。
(1)求常数,AB;
(2)求(||1)PX<
;
(3)求概率密度。
[解]
(1)由0)(lim=-∞
→xFx及1)(lim=+∞
→xFx,得
0)2(=-+πBA,1)2(=+π
BA
解得π
21==BA;
(2)(||1)PX<
))1arctan(()1arctan()1()1(-+-+=--=BABAFF
1))4(4(1=--⨯=πππ;
(3)随机变量X的概率密度为
)1(1
)(arctan)()(2
xxBxFxf+='
⨯='
=π。
7.设二维连续随机变量(,)XY的联合概率密度为
(2),(,)0,
xyCefxy-+⎧=⎨
⎩,0;
.xy>
其它求:
(1)常数C;
(2)概率(3)PXY+≤;
(3)X、Y的边缘概率密度;
并判断X与Y是否独立。
[解]
(1)由联合概率密度的性质,有
(2)20000
1(,)2xyx
yCfxydxdyCedxdyCedxedy∞∞∞∞∞∞
-+---∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰,故2C=。
(2)由概率计算公式知,所求概率为
3
33
(2)
22(3)30
0
(3)22
(1)xxyx
y
xxxyxyPXYe
dxdyedxe
dyeedx--+-----+≤>
+≤=
==-⎰⎰
⎰⎰⎰
(6)
320
()()
(1)xxxxee
dxee
e-------=-=-+=-⎰;
(3)X、Y的边缘概率密度分别为
02,0;
()(,)0,0.xyxXe
dyexfxfxydyx∞-+-∞
-∞⎧=>
⎪==⎨⎪≤⎩
⎰⎰
22,0;
()0,
0.yYeyfyy-⎧>
=⎨
≤⎩显然(,)()()XYfxyfxfy=,故X与Y独立。
8.设二维随机变量(,)XY的联合概率密度为
(23),0,0;
(,)0,
.xyAexyfxy-+⎧>
>
⎩其它求
(1)系数A;
(2)(,)XY落在区域:
0,0,236Rxyxy>
+<
内的概率;
(3)(,)XY的边缘概率密度;
31211003200)32(⋅⋅===⎰⎰⎰⎰∞∞
--∞∞+-AdyedxeAdxdyAeyx
yx
故6=A;
内的概率为
)632,0,0(=<
+>
YXYXP⎰⎰⎰⎰--->
++-=2
360
230
06
32)32(236y
xy
yxyxyxdxedy
edxdye⎰⎰------=-=2
6320
36(3)(3)1(3dyeedye
e
yyy
662
037123----=⋅--=eeey;
⎪⎩
⎪⎨⎧≤>
===-∞+-∞
∞-⎰⎰.0,0;
0,26),()(20)32(xxedye
dyyxfxfxyxX
⎩⎨
⎧≤>
==-∞
-⎰.0,0;
0,3),()(3yyedxyxfyfyY显然(,)()()XYfxyfxfy=,故X与Y独立。
9.设随机变量~[0,2]XU与~
(2)Ye独立,求:
(1)二维随机变量(,)XY的联合概率密度;
(2)概率()PXY≤。
[解]
(1)随机变量~[0,2]XU的密度为
⎪⎩⎪⎨⎧<
=其它。
0;
20,2
)(xxfX随机变量~
(2)Ye的密度为
⎩⎨⎧>
=-其它。
0,2)(2yeyfyY
随机变量(,)XY的联合概率密度为
==-.,
0,20,)()(),(2其它yxeyfxfyxfyYX
(2)概率()PXY≤⎰⎰⎰⎰∞
->
≥<
-==
20
202x
yxyxy
dyedxdxdye
)1(41
412142022
2|----=-==⎰eedxexx。
10.设袋有2个白球和3个黑球,每次从其任取1个球,直至取到黑球为止,
分别就
(1)不放回取球与
(2)有放回取球两种情形计算取球次数的数学期望、方差与标准差.[解]设X与Y分别表示情形
(1)与
(2)的取球次数,则不难知道,X的
又7.21.033.026.01)(2222=⨯+⨯+⨯=XE
故45.0)()()(22=-=XEXEXD,67.0)()(≈=XDXσ
而Y的概率分布为:
6.0)4.0()(1⋅==-kkYP,1,2,3,k=,即)6.0(~GY
从而356.01)(==YE,9106.06.01)(2=-=YD,05.1)()(≈=YDYσ
11.设随机变量],0[~πUX,求随机变量函数XYcos=的数学期望与方差.[解]随机变量],0[~πUX的密度为
0,1
)(ππ
xxf则函数XYcos=的数学期望与方差分别为
⎰∞
-⋅==dxxfxXEYE)(cos)(cos)(
0sin1
cos1
|0
==
=
π
ππ
xxdx;
-⋅==-=dxxfxXEYEYEYD)(cos)(cos)()()(2222
21
))2sin(21(21))2cos(1(21cos1
|00
=+=+==⎰⎰ππ
ππππxxdxxxdx
12.设二维连续随机变量(,)XY的联合概率密度为
2,0,1;
.xyxyfxy--<
⎧=⎨
⎩其它,试求X与Y的协方差。
[解]由随机变量函数的数学期望的计算公式即知
111
10000()(,)
(2)
(2)EXxfxydxdyxxydxdyxdxxydy∞∞-∞-∞⎡⎤
==--=--⎢⎥
⎣⎦
⎰⎰⎰⎰⎰⎰1
1315
(2)24312xxdx=--=-=⎰
同理可得12
5
)(=YE。
又
1100()
(2)EXYxyxydxdy=--⎰⎰1
021111
()23366xxdx-=-=-=⎰
故X与Y的协方差为
144
)()()(),(-
=-=YEYEXYEYXCov
13.设随机变量)4,4(~NX,求:
(1)(210)PX-<
≤;
(2)(3)PX>
(3)确定d,使得()0.9PXd>
≥。
[解]
(1))3()3()2
4
1024242(
)102(-Φ-Φ=-≤-<
--=≤<
-XPXP9973.0199865.021)3(2=-⨯=-Φ=
(2)6915.0)5.0()5.0
(1)2
324(
)3(=Φ=-Φ-=->
-=>
XPXP(3)由)28.1(9.0)2
4()24
(1)2424(
)(Φ=≥-Φ=-Φ-=->
d
ddXPdXP得
28.12
4≥-d
故44.1≤d
14.设随机变量~(1,4)XN,求下列概率:
(1)(1.65.8)PX-≤<
(2)(||4.56)PX≥。
[解]
(1))3.1()4.2()2
8.521216.1(
)8.56.1(-Φ-Φ=-≤-<
--=<
≤-XPXP895.0)9032.01(9918.0=--=
(2)(||4.56)PX≥)2
56.4212156.4(
1)56.456.4(1-≤-<
---=<
--=XPXP0402.09973.09625.02)78.2()78.1
(2))78.2()78.1((1=--=Φ-Φ-=-Φ-Φ-=
15.设随机变量2~(0,)XNσ,求随机变量函数||YX=的概率密度、数学期望与
方差。
[解]
(1)先求Y的分布函数:
)|(|)(yXPyF≤=。
显然,当0y≤时,()0Fy=;
而当0y>
时,⎰
⎰
-
--
≤≤-=y
xdxe
dxe
yXyPyF0
22222221)()(σσσ
πσ
故||YX=的概率密度为
⎪
⎩⎪⎨⎧≤>
='
=-0,
00
22)()(2
2yyeyFyfyσσπ
(2)σπ
σπ
σ
222
222222)(0
22
2==
=⎰⎰⎰∞
xde
dxxe
dye
YExxy
2222)()()()(σ=+==XEXDXEYE
故222)2
1()()()(σπ
-=-=YEYEYD
16.某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需要的电功率为10千瓦。
由于工艺等原因,每台机器的实际工作时间只占全部工作时间的75%,各台机器是否工作是相互独立的。
(1)任一时刻有140至160台机器正在工作的概率;
(2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不小于0.95?
[解]设事件A表示机器工作,则可把200台机器是否工作视作200重贝努利试验。
设Y表示任一时刻正在工作的机器数,则)75.0,200(~NY.
(1)由DeMoivre-Laplace心极限定理知
.37150
1605.371505.37150140()160140(-≤-≤-=≤≤YPYP8968.019484.021)63.1(2=-⨯=-Φ≈
(2)设任一时刻正在工作的机器数不超过m,则题目要求
95.0)0(≥≤≤mYP即有)5.24()5.37150
()5.371500()5.37150(
)0(-Φ--Φ≈-Φ--Φ≈≤≤mmmYP)645.1()5
.37150(Φ≥-Φ≈m,
故
645.15
.37150≥-m,1.160≥m,
取161=m,即需要供应1610千瓦的电功率.
17.设总体)(~pGX,抽取样本12,,,nXXX。
(1)样本均值X的数学期望与方差;
(2)样本方差2S的数学期望。
[解]因为)(~pGX,故21)(,1)(p
pXDpXE-==
。
(1)pXEXE1)()(=
=,21)()(np
pnXDXD-==;
(2)221)()(p
p
XDSE-=
=。
18.设总体~(40,25)XN。
(1)抽取容量为36的样本,求样本均值X在38与43之间的概率;
(2)抽取样本容量n多大时,才能使概率(|40|1)0.95PX-<
≥?
(3)抽取样本容量n多大时,才能使(||)0.5EXμ-≤?
[解]设样本容量为n,则)1,0(~2540
Nn
Xu-=
(1)此时36=n,
)1,0(~36
2540
NX-,故所求概率为
)6.336
4.2()4338(<
-<
-=<
XPXP9916.0)9918.01(99984.0)4.2()6.3(=--=-Φ-Φ=
(2)95.01)5
(2)5|(|)1|40(|≥-Φ=<
=<
-n
nuPXP,)96.1(975.0)5(
Φ=≥Φn,96.15
≥n
04.96≥n,取97=n(3
)222
||||xxEuxdxxe
dx∞
-∞
⎰⎰,
5.050||25||≤==
-π
μnuEnXE,7.63200
≈≥
n,故取64=n。
19.设总体~()XGp,其01p<
求未知参数p的矩估计与最大似然估计,
并说明它们是否为无偏估计。
[解]因为)(~pGX,故pXE1)(=
故有矩法方程:
X1=。
解之得p的矩估计是X
1ˆ=。
设样本观测值为12,,,nxxx,则似然函数为
nxnn
ixpppppLi)1(11)1()1()(-=--=-=∏
故pnpxnpLln)1ln()1()(ln+--=,有似然方程:
0111)1()(ln=+---=p
npxndppLd,解之得p的最大似然估计值是xp
1ˆ=,最大似然估计也是X
ˆ=。
因为pp
XEXEXEp
E===≠=11
)
(1)
(1)1()ˆ(,所以参数p的矩估计和最大似然估计都不是无偏估计。
20.设1112(,,,)nXXXθθ=和2212(,,,)nXXXθθ=是θ的两个相互独立的无偏估计,且方差)ˆ(2
3)ˆ(1
2θθDD=。
(1)试证明:
对任意常数k,12
(1)kkθ
θθ=+-都是θ的无偏估计;
(2)在所有这些无偏估计,试求方差最小的无偏估计。
[解]
(1)因为
1212()[
(1)]()
(1)()
(1)EEkkkEkEkkθ
θθθθθθθ=+-=+-=+-=
所以,对任意常数k,12
(1)kkθ
θθ=+-都是θ的无偏估计。
(2)
21212()[
(1)]()
(1)()DDkkk
DkDθθθθ
θ=+-=+-2
)ˆ()
56)53(5
(2)ˆ())1(32()ˆ()23)1((1212212
θθθDkDkkDkk+-=-+=-+=故方差最小的无偏估计是21ˆ
2ˆ53θθ+
21.假设考生成绩服从正态分布2(,)Nμσ。
现随机抽取36人,算得平均成绩是
66.5分,标准差为15分。
试问在显著性水平α=0.05下,是否可认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?
[解]设考生成绩服从正态分布),(~2σμNX
依题意,要检验的假设是
70:
00==μμH01:
μμ≠↔H
因为未知σ,所以应选取统计量)1(~/0
0--=
ntn
SXtHμ;
在显著性水平05.0=α下的拒绝域为}03.2)35()1(|{|025.02==->
=tnttRα。
计算统计量t的观测值得:
4.1|36
15705.66|
||
||0=-=-=n
s
xtμ。
因为03.2||<
t,所以在显著性水平05.0=α下,没有充分理由拒绝原假设0H,即没有充分理由认为这次考试全体考生的平均成绩不是70分。
22.已知某种电子元件的平均寿命为3000小时。
采用新技术后抽查16个,测得电子元件寿命的样本均值3100x=小时,样本标准差170s=小时。
设电子元件的寿命服从正态分布,试问采用新技术后电子元件的平均寿命是否有显著提高?
(取显著性水平05.0=α)
[解]设电子元件的寿命),(~2σμNX,依题意,要检验的假设是
00:
3000Hμμ==10:
Hμμ↔>
因为未知σ,所以应选取统计量)1(~/00--=ntn
在显著性水平05.0=α下的拒绝域为}753.1)15()1({05.0==->
计算统计量t的观测值得:
35.216
170300031000
≈-=-=nsxtμ。
因为753.1>
t,所以在显著性水平05.0=α下,拒绝原假设0H,接受备择假设1H,即可认为采用新技术后电子元件平均寿命显著提高。