知识学习应用举例教案.docx
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知识学习应用举例教案
应用举例教案
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教学设计
整体设计
教学分析
本章通过章头图中的古建筑和台风问题实例，引入要学习的数学知识，由此可见实际测量在本章的中心地位．实际上解斜三角形知识在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识．对于解斜三角形的实际问题，我们要在理解一些术语的基础上，正确地将实际问题中的长度、角度看成三角形相应的边和角，创造可解的条件，综合运用三角函数知识以及正弦定理和余弦定理来解决．教学时要充分利用数形结合的方法，充分利用多媒体给学生以动态演示，加强直观感知．学习这部分知识有助于增强学生应用数学的意识和提高解决实际问题的能力．
本节教材提出了四个问题：
问题1和问题2为测量题．这类问题在我们的日常生活中比比皆是，学生对实际背景非常熟悉，这给教学带来了极大的便利．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法来解决，但用正弦定理和余弦定理就可以计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．问题3是介绍解决平衡力系的数学方法．学习此题教师应先引导学生简要地复习一下向量求和的平行四边形法则和三角形法则．问题4是解三角形方法用于天气预报的一个典型例子，有很好的教育价值．
本节学习可增强学生的数学应用意识，激发学生学习数学的积极性．由于解决的是一些实际问题，在进行近似计算时，要求学生算法要简练、清楚，计算要准确．本节后的练习和习题都是解三角形应用的基本题，应要求学生全部掌握．
三维目标
．通过巧妙的设疑，结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，使学生能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些有关测量距离的实际问题．同时通过多媒体直观演示，加强学生的动态感知，帮助学生掌握常规解法，能够通过类比解决实际问题．
2．通过对解斜三角形在实际中应用的讲解，让学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用，同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力．
3．通过本节的探究，引导学生经过自己的数学活动，从实际问题中提取数学模型，使学生经历发现和创造的过程，进一步拓展学生的数学活动空间，发展学生“做数学”“用数学”的意识．
重点难点
教学重点：
掌握应用正弦定理和余弦定理解决测量问题的一般方法，并能应用正弦定理、余弦定理列方程求解一些实际问题，进一步熟悉数学建模的方法步骤，提高解决实际问题的能力．
教学难点：
将实际问题转化为数学问题，即根据实际问题建立数学模型．
课时安排
2课时
教学过程
第1课时
导入新课
思路1.本章引言中就提出了经常萦绕着我们的这么一个问题：
“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？
”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？
我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以借助解直角三角形等方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法不能实施．上面的问题用以前的方法是不能解决的．那么我们用刚刚学习的正弦定理、余弦定理就可以解决以前不能解决的问题，究竟如何测量呢？
下面我们就来探究这个问题，由此展开新课．
思路2.你有坐汽车经过山前水平公路的经历吗？
如果身边带着测角仪，那么根据路标就会立即测算出你所看到的山的高度．利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来，在学生急切想知道如何测算山高的期待中展开新课．
推进新课
新知探究
提出问题
1提示学生先回顾正弦定理、余弦定理，并提问：
若已知三角形的两边及其中一边的对角用哪个定理解三角形？
若已知三角形的两角及其夹边又可选用哪个定理解三角形呢？
2回忆过去的一些测量方法，如测量两点间的距离都有哪些测量方法？
3如果底部可到达，如电线杆的高度应怎样测量？
如果底部不能到达，如工厂的烟囱的高度应怎样测量呢？
4对解题中的近似值要怎样处理才能减小误差呢？
5解决实际问题的一般程序是什么？
活动：
教师先让学生回忆正弦定理、余弦定理的内容，学生很快回忆起来，若已知三角形的两边及其中一边的对角，则用正弦定理较好，鼓励学生多动手画图，特别是对想象能力较弱的学生，更应画出图形，在图形上标出已知的数据以加强直观感知．
对于底部可到达的物体的高度问题，如测量电线杆的高度，利用初中的知识即可解决．如图1，只要测出∠B及Bc即可算出Ac的高度．对于底部不能到达的物体的高度又该怎样测量呢？
图1
图2
教师引导学生分组讨论，充分发挥学生的想象力．学生会提出许多的方案．教师可一一指导，选出其中有代表性的方案作为本节教学的切入点，比如有的学生会提出：
既然底部不可到达，则Bc就不可测出，但解三角形至少需有一边，如此可否使原来的B点后退至B′点，测量BB′的距离．如图2，引导学生深入探究，效果将会更好．
在具体解题过程中，教师可针对解题中的近似值处理问题，适时地提醒学生注意：
应根据题中对精确度的要求，合理选择近似值；为避免误差的积累，解题过程中应尽可能地使用原始数据，少用间接求出的量．
讨论结果：
～略．
解决实际问题的一般程序是：
审题，逐字逐句地阅读题目，弄清题目的条件、要求，找出其中的数学关系；建模，分析题目的变化趋势，选择适当的数学模型；求解，也就是对所建立的数学模型进行数学解答得到数学结论；还原，即把数学结论还原为实际问题的解答，包括检验是否符合实际意义等．本节所研究的问题都是把实际问题转化成解三角形的问题，然后利用正弦定理、余弦定理、三角函数等来解决．
应用示例
例1
活动：
教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，让学生明确建筑物的底部不可到达，需在宫墙外护城河畔的马路边选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．在动态的演示中让学生充分理解我们为什么要这样做．然后教师指导学生画出平面示意图，并在图上标出相关的数据，让学生自己思考怎样根据正弦定理和余弦定理计算出建筑物的高度．
点评：
解完本例后让学生总结测量的方法，本例的关键是选择观测点和测量的基线，与实物的实际高度仅有0.3m的误差，可让学生分析误差产生的原因．
变式训练
如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底c处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔Bc部分的高为27.3m，求出山高cD.
解：
如下图，在△ABc中，∠BcA＝90°＋β，∠BAc＝α－β，∠BAD＝α.
根据正弦定理，Bcsinα－β＝ABsin90°＋β，
所以AB＝Bcsin90°＋βsinα－β＝Bccosβsinα－β.
解Rt△ABD，得BD＝ABsin∠BAD＝Bccosβsinαsinα－β.将测量数据代入上式，得
BD＝27.3cos50°1′sin54°40′sin54°40′－50°1′＝27.3cos50°1′sin54°40′sin4°39′≈177，
cD＝BD－Bc≈177－27.3≈150．
答：
山的高度约为150m.
例2
活动：
教师借助多媒体，引导学生观看实物图片，明确要解决的问题．在实际生活中，这样的问题随处可见，如学生熟悉的河两岸的某两点之间的距离．在例1的类比下，学生很容易想到选择一个观测点，移动测量仪再选择一个观测点．本例可让学生画图探究．教师给予适时点拨．
点评：
结合例1可对这类测量问题进行小结，解决这类测量问题的关键是选择观测点和测量的基线．可让学生进一步探究，除了教材中的测量方法和计算，还有其他的方法吗？
变式训练
如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据
A．α，a，b
B．α，β，a
c．a，b，γ
D．α，β，b
答案：
c
解析：
由a，b，γ利用余弦定理可求出AB.
例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度cD.
活动：
教师引导学生充分理解题目背景，引导学生画出图形．首先理解什么是仰角，西偏北25°是什么意思．本题的图形是一个立体几何图形，让学生充分理解图形中的各个已知量和要求的量．
解：
在△ABc中，∠A＝15°，∠c＝25°－15°＝10°，
根据正弦定理，BcsinA＝ABsinc，Bc＝ABsinAsinc＝5sin15°sin10°≈7.4524，
cD＝Bc×tan∠DBc≈Bc×tan8°≈1047．
答：
山的高度约为1047m.
点评：
此例即为本课导入时思路2提出的问题，切入生活实际．教师可提醒学生总结，我们是如何根据已知条件及所求的边长，恰当地选取我们需要的三角形的．
知能训练
．为了测量河的宽，在河岸的一边选取两点A和B，观测对岸标记c点，测得∠cAB＝45°，∠cBA＝75°，AB＝120m，则河宽为__________m.
答案：
20
解析：
由题意画出示意图，如下图，则∠AcB＝180°－45°－75°＝60°，
由正弦定理，知
ABsin∠AcB＝Acsin75°，
∴Ac＝sin75°sin60°•120＝20．
在Rt△AcD中，cD＝Acsin45°＝20，
即河的宽为20m.
2．如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点c与D.测得∠BcD＝15°，∠BDc＝30°，cD＝30米，并在点c测得塔顶A的仰角为60°，则塔高AB＝__________.
答案：
156米
解析：
在△DBc中，∠cBD＝180°－15°－30°＝135°.
由正弦定理得cDsin∠cBD＝Bcsin∠BDc，
∴Bc＝30sin30°sin135°＝152.
在Rt△ABc中，AB＝Bc•tan60°＝152×3＝156，
即塔高为156米．
课堂小结
先由学生自己回顾本节所学的测量底部不可到达的建筑物高度和测量地面上两个不能到达的地方之间的距离的方法，是如何从实际问题情境中寻求到解决问题的方案的，你是否能根据题意准确地画出示意图？
你没有画出的原因是什么呢？
在学生自己总结归纳而对本节有了一个整体认识的时候，教师可作进一步的归纳．解决实际问题的关键是建立数学模型，特别是画出示意图是准确迅速解这类数学问题的关键，也是本节要体现的技能，这在高考中体现得很突出，需要在反复的练习和动手操作中提高这方面的能力．
作业
课本本节习题1—2A组1、2、3.
设计感想
本教案设计以情境教学、问题教学为主，教师引导和学生积极参与探究相结合，充分体现以学为主、逐步领悟的原则．日常生活中的实例体现了数学知识的生动运用．通过合作学习和相互提问补充的方法让学生多感受问题的演变过程，通过多媒体的演示让学生切身感受实际问题所反映的数学本质，让学生在轻松愉快的互动气氛中学到知识，提高能力．
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