高一数学人教版必修三学案第二章统计221用样本的频率分布估计总体分布.docx

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高一数学人教版必修三学案第二章统计221用样本的频率分布估计总体分布

2．2　用样本估计总体

2．2.1　用样本的频率分布估计总体分布

1．问题导航

（1）画频率分布直方图有哪些步骤？

频率分布直方图的特征是什么？

（2）什么是频率分布折线图？

（3）什么是总体密度曲线？

（4）画茎叶图的步骤有哪些？

茎叶图有什么特征？

2．例题导读

对“P68探究”内容的导读：

同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图的形状也会不同．不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断．

对“P68思考”内容的导读：

由于约有88%的居民月均用水量都在3吨以下，因此，只要将月用水量标准制定为3吨时，就可以满足85%以上的居民每月的用水量不超过标准．

对“P69思考”内容的导读：

不同的样本得到的频率分布折线图不同；即使对于同一样本，不同的分组情况得到的频率分布折线图也不同，因此不能由样本的频率分布折线图得到准确的总体密度曲线．

1．频率分布表与频率分布直方图

（1）频数与频率

将一批数据按要求分成若干个组，数据分布在各个小组的个数，叫做该组的频数，每组频数除以全体数据总数的商，叫做该组的频率，频率反映数据在每组中所占比例的大小．

（2）样本的频率分布与频率分布表

①相关概念

根据随机所抽样本的大小，分别计算数据分布在各个小组的频率，这些频率的分布规律（取值情况），就叫做样本的频率分布．为了能直观地显示样本的频率分布情况，通常我们会将样本的分组情况、数据分布在各个小组的频数以及计算所得的相应频率列在一张表中，叫做样本频率分布表．

②求一组数据的频率分布表的步骤：

a．求极差．

b．决定组距与组数．

c．将数据分组．

d．列频率分布表．

（3）用样本的频率分布估计总体的分布

从一个总体得到一个包含大量数据的样本时，很难从一个个的数字中直接看出样本所包含的信息．如果把这些数据形成频率分布表或频率分布直方图，就可以比较清楚地看出样本数据的特征，从而估计总体的分布情况．

（4）频率分布直方图

①在频率分布直方图中，纵轴表示频率/组距，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，各小长方形的面积的总和等于1．

②频率分布直方图的绘制方法与步骤：

a．先制作频率分布表，然后作直角坐标系，横轴表示总体，纵轴表示.

b．把横轴分成若干段，每一段对应一个组．以每个组距为底，以各频率除以组距的商为高，分别画成矩形．这样得到的直方图就是频率分布直方图．

2．频率分布折线图与总体密度曲线

（1）频率分布折线图

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．

（2）总体密度曲线

一般地，当总体中的个体数较多时，抽样时样本容量就不能太小．可以想象，随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率分布折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线，如图所示．

3．茎叶图

茎叶图也是用来表示数据的一种图，其画法如下：

（1）将一个或两个样本的数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分．

（2）将最小茎和最大茎之间的数按大小次序排成一列．

（3）将各个数据的“叶”按大小次序写在其茎一侧或两侧．

1．判断下列各题．（对的打“√”，错的打“×”）

（1）频率分布折线图与总体密度曲线无关；（　　）

（2）频率分布折线图就是总体密度曲线；（　　）

（3）样本容量很大的频率分布折线图就是总体密度曲线；（　　）

（4）如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于总体密度曲线；（　　）

（5）频率分布直方图不能保留原始数据，而茎叶图可以保留原始数据，而且可以随时记录．（　　）

解析：

总体密度曲线通常都是用样本频率分布估计出来的．如果样本容量无限增大，分组的组距无限减小，那么频率分布折线图就会无限接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就是总体密度曲线．

答案：

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）√　（5）√

2．一个容量为32的样本，分成5组，已知第三组的频率为0.375，则另外四组的频数之和为________．

解析：

由题意，得第三组的频数为32×0.375＝12.

∴另外四组的频数之和为32－12＝20.

答案：

20

3．在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示什么？

它们的总和是多少？

解：

各小长方形的面积表示样本中落在该组内的数据的频率；总和等于1.

1．茎叶图的优缺点

优点：

用茎叶图表示数据有两个优点：

一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．

缺点：

茎叶图在样本数据较多时，显得不太方便，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两组以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两组记录那么直观、清晰．

2.茎叶图、频率分布表和频率分布直方图都是用来描述样本数据的分布情况的．茎叶图由所有样本数据构成，没有损失任何样本信息，可以在抽样的过程中随时记录（这对于教练员发现运动员现场状态特别有用）；而频率分布表和频率分布直方图则损失了样本的一些信息，必须在完成抽样后才能制作．

3.频率分布表和频率分布直方图之间的密切关系是显然的，它们只不过是相同的数据的两种不同的表达方式，茎叶图和频率分布表极为类似，事实上，茎相当于频率分布表中的分组；茎上叶的数目相当于频率分布表中指定区间组的频数．

　　　　　　　作频率分布表、绘制频率分布直方图

[学生用书P37]

调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：

cm）如下：

171　163　163　166　166　168　168　160　168　165

171　169　167　169　151　168　170　168　160　174

165　168　174　159　167　156　157　164　169　180

176　157　162　161　158　164　163　163　167　161

（1）作出频率分布表；

（2）画出频率分布直方图．

[解]　

（1）最低身高151cm，最高身高180cm，它们的差是180－151＝29，即极差为29；确定组距为4，组数为8，列表如下：

分组

频数

频率

[149.5，153.5）

1

0.025

[153.5，157.5）

3

0.075

[157.5，161.5）

6

0.15

[161.5，165.5）

9

0.225

[165.5，169.5）

14

0.35

[169.5，173.5）

3

0.075

[173.5，177.5）

3

0.075

[177.5，181.5]

1

0.025

合计

40

1

（2）频率分布直方图如图所示．

[互动探究]　本例中，画出相应的频率分布折线图．

解：

连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图如下：

方法归纳

（1）在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：

①若为整数，则＝组数；

②若不为整数，则的整数部分＋1＝组数．

（2）组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清楚地呈现出来，组数太多或太少，都会影响我们了解数据的分布情况，若样本容量不超过100，按照数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．

1．美国历届总统中，就任时年纪最小的是罗斯福，他于1901年就任，当时年仅42岁；就任时年纪最大的是里根，他于1981年就任，当时69岁．下面按时间顺序（从1789年的华盛顿到2009年的奥巴马，共44任）给出了历届美国总统就任时的年龄：

57，61，57，57，58，57，61，54，68，51，49，64，50，48，65，52，56，46，54，49，51，47，55，55，54，42，51，56，55，51，54，51，60，62，43，55，56，61，52，69，64，46，54，48

（1）将数据进行适当的分组，并画出相应的频率分布直方图和频率分布折线图；

（2）用自己的语言描述一下历届美国总统就任时年龄的分布情况．

解：

（1）以4为组距，列表如下：

分组

频数累计

频数

频率

[41.5，45.5）

[45.5，49.5）

[49.5，53.5）

[53.5，57.5）

[57.5，61.5）

[61.5，65.5）

[65.5，69.5]

正

正

正正正

正

2

7

8

16

5

4

2

0.0455

0.1591

0.1818

0.3636

0.1136

0.0909

0.0455

合计

44

1.00

画频率分布直方图及频率分布折线图如下：

（2）从频率分布表中可以看出，将近60%的美国总统就任时的年龄在50岁至60岁之间，45岁以下以及65岁以上就任的总统所占的比例相对较小．

　　　　　　　茎叶图及其应用

某化肥厂甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记下抽查记录如下（单位：

千克）：

甲：

52　51　49　48　53　48　49

乙：

60　65　40　35　25　65　60

画出茎叶图，并说明哪个车间的产品质量比较稳定．

[解]　茎叶图如图所示（茎为十位上的数字）：

由图可以看出甲车间的产品质量较集中，而乙车间的产品质量较分散，所以甲车间的产品质量比较稳定．

方法归纳

画茎叶图时，用中间的数表示数据的十位和百位数，两边的数分别表示两组数据的个位数．要先确定中间的数取数据的哪几位，填写数据时边读边填．比较数据时从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几方面来比较．

绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，一般地说数据是两位数时，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；如果是小数的，通常把整数部分作为“茎”，小数部分作为“叶”，解题时要根据数据的特点合理选择茎和叶．

2．从两个班中各随机抽取10名学生，他们的数学成绩如下：

甲班：

76，74，82，96，66，76，78，72，52，68

乙班：

86，84，62，76，78，92，82，74，88，85

画出茎叶图并分析两个班学生的数学学习情况．

解：

茎叶图如下：

由茎叶图可知，乙班的数学成绩较好，而且较稳定．

　　　　　　　频率分布直方图的综合应用

为了检测某种产品的质量，抽取了一个容量为100的样本，数据的分组情况与频数如下：

[10.75，10.85），3；[10.85，10.95），9；[10.95，11.05），13；[11.05，11.15），16；[11.15，11.25），26；[11.25，11.35），20；[11.35，11.45），7；[11.45，11.55），4；[11.55，11.65]，2

（1）列出频率分布表；

（2）画出频率分布直方图以及频率分布折线图；

（3）据上述图表，估计数据落在[10.95，11.35）范围内的可能性是百分之几；

（4）数据小于11.20的可能性是百分之几．

[解]　

（1）频率分布表如下：

分组

频数

频率

[10.75，10.85）

3

0.03

[10.85，10.95）

9

0.09

[10.95，11.05）

13

0.13

[11.05，11.15）

16

0.16

[11.15，11.25）

26

0.26

[11.25，11.35）

20

0.20

[11.35，11.45）

7

0.07

[11.45，11.55）

4

0.04

[11.55，11.65]

2

0.