第七章线性变换总结篇高等代数Word文档格式.docx
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Cmss
记:
二1,2」"
,s
C11
C12
C21
C22
HI
Cm1
Cm2
Cms
是,若dmV产n,:
」,〉2,山,4是V的一组基,二是V的线性变换,:
1厂2,川,飞是
V中任意一组向量,如果:
二MI^b^v'
1血〉2•丨1「Dnln
-:
2i=b2l〉1-b22〉2bn〉n
IIIIIIIII
-V-bmr'
1-bm2〉2•11("
『n
-U「2,IH,F]:
i'
・川1,二空川打F
那么:
二①匚,|ljmU〉2,川C
cm1
gn
b2n
bl2
b21
b22
,1,2」l(,m是矩阵B的列向量组,如果
1,i2,川,ir是
1,2,川,m
极大线性无关组,那么」1,「2
iH-ir就是
二:
1,二:
2川二:
m的一个极大线性无关组,因此向量组-:
m的秩等于秩B。
4.线性变换举例
(1)设V是数域P上的任一线性空间。
零变换:
0:
•=0,「圧三V;
恒等变换:
;
「-「,•*"
V。
幕零线性变换:
设匚是数域P上的线性空间V的线性变换,如果存在正整数m,使
得二^0,就称二为幕零变换。
幕等变换:
设二是数域P上的线性空间V的线性变换,如果二2=:
;
,就称二为幕等
变换。
(2)V=Pn,任意取定数域P上的一个n级方阵A,令:
(3)V=P1.x1,Dfx二fx,—fx产P〔x丨
(4)V-Pnn,人=]耳是V中一固定矩阵,•X]=AX,-X・Pnn。
二•线性变换的运算、矩阵
1.加法、乘法、数量乘法
(1)定义:
设V是数域P上的线性空间,匚,•是V的两个线性变换,定义它们的和
'
-'
x、乘积二分别为:
对任意的用5V
:
--.?
,:
-乂.:
-
任取k•P,定义数量乘积k;
「为:
对任意的二eV
k;
「「-kc\\
-的负变换-二为:
对任意的:
£
eV
丄:
=-c:
则■.—、;
「.、k匚与-二都是V的线性变换。
(2)L(V)={坊|坊为V的线性变换},按线性变换的加法和数乘运算做成数域P上的维线性空间。
2.线性变换的矩阵
(1)定义:
设V是数域P上的n维线性空间,▽是V的线性变换,a1a2^han是V的
一组基,如果:
二-1二
2乜门
IIIHIIII
&
22〉2&
2人
an2〉27,ann〉n
那么称矩阵A
a11
a)2
a21
a22
卅
an1
Qn2
为线性变换b在基a1a2^ian下的矩阵。
a2n
Qin
n
2,
此时:
二〉1,〉2,lll〉n二:
1,二>
2川二〉n二〉1,〉2,HI,〉nA
(2)线性变换的和、乘积、数量乘积、逆变换、负变换及线性变换多项式的矩阵:
设r,〉2」l(,r是数域P上的n维线性空间V的一组基,-;
「,.•LV,设
它们在宀,〉2,山,r下的矩阵分别为A,B。
1)f:
LV>
Pnn,-HA是数域P上的线性空间LV到数域P上的线性空间Pnn的同构映射,因此LV三Pnn。
2)匚可逆:
=A可逆
3[①;
「宀、二与-;
二在基宀,2」1(,打下的矩阵分别为A-B,AB与-A;
2任取kP,k;
「在基下的矩阵为kA;
3若二为可逆线性变换,则在基--■1^-2^\n下的矩阵为AJ;
4设fx=amXm-am」xm‘•川••a°
为数域P上的任一多项式,那么
f;
「=a^m-amJcmJJH■a&
•a0;
(;
为V的恒等变换)在基
■■1^'
2JII,:
n下的矩阵为:
fAi=amAm•am」Am,•川•qA•a°
En。
三•特征值、特征向量与对角矩阵
1.矩阵的特征值与特征向量
(1)矩阵的特征多项式:
设A为n级复方阵,将多项式fA(丸)=|九巴-A称为A的特征多项式。
1)若A=aj,则:
nn
fA(扎戶"
En-AU+(-1g1+a22+IH+ann卩心+ll汁(一1f|A
+(—1)tr(ApZ+|H+(_1)n|A
2)将九En-A称为矩阵A的特征矩阵,卩-En-A=0称为矩阵A的特征方程。
(2)定义:
n级方阵A的特征多项式fA(人)=九En-A在复数域上的所有根都叫做其特
征值(根),设-0•C是A的特征值,齐次线性方程组■En-AX=0的每个非零
解都叫做矩阵A的属于其特征值’0的特征向量。
(3)求法:
1)求fA(人)=|hEn-A在复数域上的所有根乩花,川入(重根按重数计算);
2)对kk=1,川n解齐次线性方程组,kEn-AX=0,得其一个基础解系
%1,%2,川,”5(lk=n—秩(瓦En—A)),则矩阵A的属于特征值打的全部特
征向量为skik1'
sk2k2'
ll]飞人*k,lk,其中Ski,Sk2^|,Sk,lk为不全为零的任意常数(复数)。
(4)重要结论:
1)设,0•C是A的特征值,Xo是A的属于其特征值■0的特征向量,gx为一复系数多项式。
1g'
0为gA的特征值,Xo为gA的属于特征值g'
0的特征向量;
2如果A还是可逆矩阵,那么丄与LA分别为A」和A的特征值,X0为A的属
0,0
于特征值—的特征向量,X0为A”的属于特征值—的特征向量,
③若‘1,'
2,川,’n是矩阵A的全部特征值,那么g1,g匕川2'
n就是gA
111
的全部特征值,如果A还是可逆矩阵,则,一,|||,为A-1的全部特征值,
1'
2'
n
△,△」"
仝为A的全部特征值;
‘1‘2'
2)若■1,,2,川,’n是矩阵A的全部特征值,那么trA='
r■2…n,
A='
2IH'
n。
2.线性变换的特征值与特征向量
设二是数域P上的线性空间V的线性变换,P,若存在07三Y,使得
厂,-‘0〉,就称‘0为二的一个特征值,:
-为二的一个属于特征值‘0的特征向量。
(2)线性变换的特征多项式
设二是数域P上的n维线性空间V的线性变换,任取V的一组基,设二
在该基下的矩阵为A,称矩阵为A的特征多项式
En-A为二的特征多项式,记为
fb®
)=|hEn-A,即线性变换的特征多项式为其在任意基下矩阵的特征多项式。
(3)求法:
设二是数域P上的n维线性空间V的线性变换。
1)取定V的一组基:
■!
:
-2^L:
n,求出二在该基下的矩阵A;
2)求fb(人)=上En—A在P中的所有根入裁2,川,珞(0<
rn<
n,重根按重数计算,且m=0表示匚无特征值)。
3)若m.0,对,kt=1,|]|s解齐次线性方程组’kEn-AX=0,得其一个基础
解系ki,k2,|l|,5(L二n-秩“En-A),则线性变换二的属于特征值'
k的全部特征向量为冷,〉2,HLSkik1'
Sk2k^^1'
Sk,ikk,lk,其中Ski,Sk2山,Sk为P中不全为零的任意常数。
3.矩阵相似
设A,B是数域P上的两个n级方阵,如果存在数域P上的n级可逆矩阵T,
使得T」AT二B,就称矩阵A相似于矩阵B,记为AllB。
(2)性质:
1)矩阵相似是等价关系,即:
设A,B,C都是n级方阵,那么:
①A「A;
②若AB,那么BA;
③若AB且BMC,则AHC。
2)若A'
\B,那么fA(扎)=|XEn-A=fB(人)=卩贬-B,因此矩阵A与矩阵B有相同的特征值,相同的迹(tr(A)=tr(B)),相同的行列式(A=B)。
3)两个实对称阵相似二它们有相同的特征值。
(3)有限维线性空间上的线性变换在不同基底下的矩阵彼此相似。
(4)若T’AT二B,那么Bk二T」AkT,—kZ。
4.线性变换与矩阵可对角化
(1)矩阵可对角化
1)设A是n级方阵,如果存在n级可逆矩阵T,使得T^AT为对角阵,则称A可对角化。
2)n级方阵A可对角化二A有n个线性无关特征向量。
3)如果n级方阵A有n个不同的特征值,则A可对角化。
4)设f2」H,'
k是n级方阵A的所有不同的特征值,
fA(九)=|人En-A=(丸—入1$(九—入2F(九_人$
称hi=1,2,IH,k为\的代数重数;
称S二n-秩打En-Ai=1,2,1|],k为、的几何重数;
sUi=1,2,川,k;
n级方阵A可对角化二对i=:
1,2川l,k都有「的代数重数=-的几何重数。
1.设齐次线性方程组(入En—A)X=O的解空间为Wi,则S=dim(Wf)
2.称VCnAS为n级方阵A的属于特征值■i的特征子空间,那么
s=dimVi
(2)线性变换可对角化
1)设二是数域P上的n维线性空间V的线性变换,如果存在V的一组基,使得二在
该基下的矩阵为对角阵,就称二可对角化。
2)数域P上的n维线性空间V的线性变换二可对角化二二有n个线性无关特征向
量。
3)设二是数域P上的n维线性空间V的线性变换,如果二有n个不同的特征值,则
可对角化。
4)设二是数域P上的n维线性空间V的线性变换,匚在V的一组基下的矩阵为A,
设’1,'
2,川,’k是n级方阵A的所有不同的特征值。
1若‘1,‘2,11(,'
k•P,那么:
二可对角化二对i=1,2」|I,k都有■j的代数重数=■j的几何重数。
2若'
1,'
2^1,'
k不全在数域P中,则匚不可对角化。
人的几何重数=dim(V入),其中V’l=b乏V貯(。
)=打口}为貯的属于特征值人的特征子空间。
四•线性变换的值域与核
1.定义:
设坊是数域P上的线性空间V的线性变换,将<
i,(O)=QevF(g)=0〉,
二V--■-■-V[分别称为线性变换二的核与值域(二'
0与二V也分别记为ker~与Im二)。
2.线性变换的秩与零度:
匚V与;
」0都是V的子空间,将dim匚V与dim匚一10
分别称为二的秩和零度。
3.有限维线性空间的线性变换的值域与核
设V是数域P上的n维线性空间,匚是V的线性变换,/■n为V的一组基,
二在该基下的矩阵为A,r=秩A,>
-a^^-a2〉2V「V。
ia2
1)aw丄(0)=/是齐次线性方程组AX=O的解。
+
2)若1,2Jh,n」是AX=0的一个基础解系,那么1,2M,n」(其中厂九〉2,川,宀kk=1,2,|||,n-r)就是二’0的一组基,于是:
dim;
二0=n-r
i(0)=L(?
1*2,川,仁)={人丫1+k2^2十川+knJ仁k1,k2川,kn八P}
因此二的秩和零度为n-r。
3)二V=L[「」(-1,二〉2
于是二:
1,二>2,川,二\的一个极大线性无关组就是匚V的一组基,而
〔,[询,二:
・2,川,'
-〔叫的秩等于秩A=r,所以dim二Vj=r,即二的秩为
秩A=r。
4)dim二V丨亠dim二」0=n。
3.求法:
设V是数域P上的n维线性空间,二是V的线性变换。
1)二°
0的求法:
1取定V的一组基〉1,〉2」l(,〉n,求出匚在该基下的矩阵A;
2解齐次线性方程组AX=0,得其一个基础解系1,2川(,2(r=秩A);
3令k二〉1「2,IH「nkk=1,2,川,n-r,得厂10的一组基
1,2,川,n「
「0二L1,2,川,nx定k11k22川kn…*k1,k2川,kn—Pl
2)匚V的求法:
1取定V的一组基r,:
。
」"
,:
、,求出匚在该基下的矩阵A;
2设矩阵A的列向量组为1,2,川,n,求出1,2,川,n的一个极大线性无关
组Ji2,川,ir就得到二:
1产〉2,川产\的一个极大线性无关组
-r,二讥,川,'
-[:
九,■:
」〔:
智,—一:
%,川丿,[:
九就是二v的一组基。
「v=li"
[:
鋼,二:
-i2,|丨,二:
ir
-%;
「二飞二二2」丨」匸rkhMJijp'
五.不变子空间
设二是数域P上的线性空间V的线性变换,W是V的子空间,如果对w=.W,都有▽(口严W(即er(W)9W),就称W是□■的不变子空间,也称a-子空间。
2.设V是数域P上的线性空间,那么与V都是V的任一线性变换的不变子空间。
3.设二是数域P上的线性空间V的线性变换,•是二的任意一个特征值,那么c的特征
子空间Vj”={aEV)=¥
心}都是cr的不变子空间。
4.线性变换的循环子空间:
设二是数域P上的n・0维线性空间V的线性变换,任取
0三V,必存在正整数m,使得「,M過川,m」:
线性无关,而
n很],川,;
」皿〕线性相关,令w=l:
n订Li,则w是二的不变子空间,称W为二的循环子空间。
5.设V是数域P上的n维线性空间,二是V的线性变换,W是二的不变子空间,
0<
dimW=m:
n,取W的一组基―蓄川厂需,将其扩充为V的一组基
/Aa、
川,%,唏1山用那么▽在该基下的矩阵为2,其中Al为叫W在W
<
0A3丿
的基一:
jJ2,|l(,一:
咕下的矩阵。
六.若尔当(Jordan)标准形
1.若尔当块与若尔当形矩阵:
1)若尔当块:
形式为
扎
J(耐t)=
9
r
000
q+F
HF
1&
0
01九小
的矩阵称为若尔当块,其中•为复数。
其一般形状如:
2)若尔当形矩阵:
由若干个若尔当块组成的准对角阵称为若尔当形矩阵,
As丿
1人
其中:
a=1
,且入么2,川,兀中有些可以相等。
1入比逑i
2.复数域上有限维线性空间上的线性变换与复方阵
1)设二是复数域C上的n•0维线性空间V的任意一个线性变换,那么必存在V的一组基,使得匚在该基下的矩阵为若尔当形矩阵。
2)每个n级复矩阵都与一个若尔当形矩阵形矩阵相似。
3.设二是复数域上的n•0维线性空间V的线性变换,那么二幕零二二的特征值都为零。