广东省广州市普通高中毕业班届高三综合测试一数学理试题含答案.docx
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广东省广州市普通高中毕业班届高三综合测试一数学理试题含答案
2020广州普通高中毕业班综合测试
（一）
理科数学
本试卷共6页，23题，满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在答题卡的相应位置涂上考生号，并将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置，
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域的相应位置；如需改动，先划掉原来答案，然后再写新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择題：
本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.
1.设集合,,则（）
A.B.C.D.
2.若复数满足,则
A.B.C.D.
3.若直线与圆有公共点，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
4.已知,,则是的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.设函数,若对于任意的都有成立，则的最小值为
A.B.C.D.
6.已知直三棱柱的体积为，若分别在上，且,则四棱锥的体积是
A.B.C.D.
7.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类：
可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾。
某班按此四类由10位同学组成四个宣传小组，其中可回收物与餐厨垃圾宣传小组各有2位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有3位同学。
现从这10位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为
A.B.C.D.
8.已知直线与轴的交点为抛物线的焦点，直线与抛物线交于两点，则中点到抛物线准线的距离为
A.8B.6C.5D.4
9.等差数列的前项和为，已知,,若,则的最小值为
A.8B.9C.10D.11
10.已知点是曲线上的点，曲线在点处的切线与平行，则
A.B.C.或D.或
11.已知为坐标原点，设双曲线的左右焦点分别为,点是双曲线上位于第一象限上的点，过点作角平分线的垂线，垂足为,若,则双曲线的离心率为
A.B.C.D.2
12.已知函数,若在区间上有个零点,,,,,则
A.4042B.4041C.4040D.4039
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分
13.如图，如果一个空间几何体的正视图与侧视图为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，则这个几何体的体积为，表面积为。
14.在的展开式中，的系数为15，则实数
15.已知单位向量与的夹角为，若向量与的夹角为,则实数的取值为
16.记数列的前项和为，已知,且,,则的最小值为
三、解答题：
共70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
17.（12分）的内角的对边分别为，已知,且满足
（1）求角C的大小；
（2）求的最大值。
18.（12分）随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加。
为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调査，其中一项是调査人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的夭数进行统计，得到以下统计表；
平均每月进行训练的天数
人数
15
60
25
（1）以这100人平均每月进行训练的天数位于各区间的频率代替该市参与马拉松训练的人平均每月进行训练的天数位于该区间的概率.从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人,求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；
（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取12个，再从抽取的12个人中随机抽取3个，表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求的分布列及数学期望
19.如图1,在边长为2的等边中，分别为边的中点,将∆AED沿折起，使得,，得到如图2的四棱锥A-BCDE,连结,,且与交于点.
（1）求证：
平面;
（2）求二面角的余弦值.
20.已知过点,且与内切，设的圆心的估轨迹为，
（1）求轨迹C的方程；
（2）设直线不经过点且与曲线交于点两点，若直线与直线的斜率之积为,判断直线是否过定点，若过定点，求出此定点的坐标，若不过定点，请说明理由。
21.已知函数,.
（1）求函数在上的单调区间；
（2）用表示中的最大值，为的导函数，设函数,若在上恒成立，求实数的取值范围；
（3）证明：
.
22.[选修4-4:
坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为,（为参数），曲线的参数方程为,（为参数，且）.
（1）求与的普通方程，
（2）若分别为与上的动点，求的最小值。
23.[选修4-5：
不等式选讲]（10分）已知函数,
（1）当时，解不等式;
（2）若不等式对任意成立，求实数的取值范围。
2020广州普通高中毕业班综合测试
（一）
理科数学（参考答案）
一、选择題：
本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合題目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
D
B
C
B
C
A
C
B
C
B
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分
13.14.515.-1016.16
三、解答题：
共70分，解答题应写出文字说明、证明过程与演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22～23题为选考题，考生根据要求作答。
17.解：
（1）由题意及正弦定理可得：
由余弦定理得：
所以,及
（2）由正弦定理可得：
所以
又因为，所以
所以,
且,又因为
所以,所以
18.解：
记“平均每月进行训练的天数不少于20天”为事件A。
由表可知，
所以
（2）由题意得：
的人：
;的人有
从抽取的12个人中随机抽取3个，表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数,Y的可能取值为0，1，2，3，且
所以的分布列为：
Y
0
1
2
3
P
的分布列及数学期望
19.
（1）证明：
由题意，，
又因为,所以
所以,即
又因为,且,所以
（2）解：
如图，过D作，DB为x轴，DC为y轴，Dz为z轴，建立空间直角坐标系
所以，，,
设点
由得,解得：
所以
所以,,
设平面的法向量为
所以,取得
同理可得平面的法向量
所以
由图可知，所求二面角为钝角，所以二面角的余弦值为。
20.解：
（1）由题意过点,且与内切，设两圆切点为
所以，在中，
所以，所以M的轨迹为椭圆，由定义可知
所以求轨迹C的方程为
（2）当的斜率不存在的时，设,所以
所以,解得或
所以与轴的交点为
当的斜率存在时，设l的方程为
联立消元可得
所以
由韦达定理,
又因为,所以,即,
所以,所以成立，
所以,当时，，所以l过
综上所述过定点，且点坐标为
22.解:
（1）因为，
所以，令得
当时，,单调递增
当时，，单调递减
所以单调递增区间为;单调递减区间为
（2）由
（1）知，当时恒成立，故恒成立
当时，,又因为恒成立，
所以在上恒成立
所以，即在上恒成立
令,则
令得,易得在上单增，在上单减，所以
所以，即
综上可得
（3）设（）,则
所以在上单增，所以,即
所以
所以
22.解：
（1）由题可得：
的普通方程为
又因为的参数方程为，两边平方可得,
所以的普通方程为,且
（2）由题意，设的平行直线
联立消元可得：
所以,解得
又因为，经检验可知时与相切
所以
23.解：
（1）时，
当时，由即，解得（舍）
当时，由即，解得
当时，由即，解得
（2）由对任意成立得,
所以,得且对任意成立
即,故的取值范围为
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