高考数学文科考点过关习题第八章概率与统计52和答案.docx
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高考数学文科考点过关习题第八章概率与统计52和答案
考点测试52 古典概型
一、基础小题
1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 甲、乙、丙三名同学站成一排共有6种站法，甲在中间共有2种站法，故甲站在中间的概率为.
2．从集合A＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k，从集合B＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b，则直线y＝kx＋b不经过第三象限的概率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 A
解析 一共有3×3＝9个基本事件，只有k＝－1，b＝1,2，直线才不经过第三象限．所以概率为.
3．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选中的概率相等，而且选中男教师的概率为，那么参加这次联欢会的教师共有（ ）
A．360人B．240人
C．144人D．120人
答案 D
解析 设男教师有x人，则女教师有（x＋12）人，因为选中男教师的概率为，所以＝，解得x＝54，所以男教师为54人，女教师为66人，故参加这次联欢会的教师共有120人．
4．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 基本事件有（黑1，黑2），（黑1，黑3），（黑2，黑3），（红1，红2），（黑1，红1），（黑1，红2），（黑2，红1），（黑2，红2），（黑3，红1），（黑3，红2），共10个，其中为同色球的有4个，故所求概率为＝.
5．某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 A
解析 已知2位女同学和2位男同学走出教室的所有可能顺序有（女，女，男，男），（女，男，女，男），（女，男，男，女），（男，男，女，女），（男，女，男，女），（男，女，女，男），所以第2位走出的是男同学的概率P＝＝.
6．某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区H，则他经过市中心O的概率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 B
解析 由题意知，此人从小区A前往小区H的所有最短路径为：
A→B→C→E→H，A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，A→D→F→G→H，共6条．记“此人经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：
A→B→O→E→H，A→B→O→G→H，A→D→O→E→H，A→D→O→G→H，共4个，所以P（M）＝＝，即他经过市中心O的概率为.
7．一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为27个同样大小的小正方体，从中任取一个，它恰有一个面涂有红色的概率是________．
答案
解析 研究涂红后的正方体的六个面，发现每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红色，故所求概率为＝.
8．连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a＝（m，n）与向量b＝（1，－1）的夹角为θ，则θ∈的概率是________．
答案
解析 ∵m、n均为不大于6的正整数，∴当点A（m，n）位于直线y＝x上及其下方第一象限的部分时，满足θ∈的点A（m，n）有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，列举可知点A（m，n）的基本事件总数为36，故所求概率为＝.
二、高考小题
9．为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：
（红，黄）、（红，白）、（红，紫）、（黄，白）、（黄，紫）、（白，紫），共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛（亦即黄色和白色的花不在同一花坛）的选法有4种，所以所求事件的概率P＝＝，故选C.
10．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 小敏输入密码的所有可能情况如下：
（M,1），（M,2），（M,3），（M,4），（M,5），（I,1），（I,2），（I,3），（I,4），（I,5），（N,1），（N,2），（N,3），（N,4），（N,5），共15种．
而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为.
11．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 B
解析 设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共10种．
其中甲被选中的情况有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），共4种，
故甲被选中的概率为＝.故选B.
12．随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p1，点数之和大于5的概率记为p2，点数之和为偶数的概率记为p3，则（ ）
A．p1C．p1答案 C
解析 随机抛掷两枚骰子，它们向上的点数之和的结果如图，则p1＝，p2＝，p3＝，∴p113．从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是________．
答案
解析 所有的基本事件有（2,3），（2,8），（2,9），（3,2），（3,8），（3,9），（8,2），（8,3），（8,9），（9,2），（9,3），（9,8），共12个．记“logab为整数”为事件A，则事件A包含的基本事件有（2,8），（3,9），共2个．
∴P（A）＝＝.
三、模拟小题
14．甲、乙两人有三个不同的学习小组A，B，C可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 A
解析 甲、乙两人参加三个不同的学习小组共有9个基本事件，其中两人参加同一个小组有3个基本事件，因此所求概率为＝，故选A.
15．某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球（小球除编号外完全相同），甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 记（a，b）为甲、乙摸球的编号，由题意得，所有的基本事件共有36个，满足a≠b的基本事件共有30个，∴所求概率为＝.
16．有一个奇数列，1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为（ ）
A.B.
C.D.
答案 B
解析 将数列1,3,5,7,9…记为{an}，则前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，故第十组中第一个数字为a46＝2×46－1＝91，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P＝.
17．甲、乙两位同学各拿出4本书，用作投骰子的奖品．两人商定：
骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积3分者获胜，将获得所有8本书，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这8本书分配合理的是（ ）
A．甲得6本，乙得2本B．甲得5本，乙得3本
C．甲得4本，乙得4本D．甲得7本，乙得1本
答案 A
解析 由题意知，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：
（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）．其中甲获胜有3种，而乙获胜只有1种，所以甲获胜的概率是，乙获胜的概率是.所以甲得到的书的本数为8×＝6，乙得到的书的本数为8×＝2.故选A.
18．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P（a，b），记“点P（a，b）落在直线x＋y＝n上”为事件Cn（2≤n≤5，n∈N），若事件Cn的概率最大，则n的所有可能值为（ ）
A．3B．4
C．2和5D．3和4
答案 D
解析 点P的所有可能值为（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（2,2），（2,3）．
当n＝2时，P点可能是（1,1）；
当n＝3时，P点可能是（1,2），（2,1）；
当n＝4时，P点可能是（1,3），（2,2）；
当n＝5时，P点可能是（2,3）．
即事件C3，C4的概率最大，故选D.
一、高考大题
1．某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
（1）求小亮获得玩具的概率；
（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解 用数对（x，y）表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
（1）记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件数共5个，即（1,1），（1,2），（1,3），（2,1），（3,1）．
所以P（A）＝，即小亮获得玩具的概率为.
（2）记“xy≥8”为事件B，“3则事件B包含的基本事件数共6个，
即（2,4），（3,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4）．
所以P（B）＝＝.
事件C包含的基本事件数共5个，
即（1,4），（2,2），（2,3），（3,2），（4,1）．
所以P（C）＝.因为>，
所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．
2．全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．
组号
分组
频数
1
[4,5）
2
2
[5,6）
8
3
[6,7）
7
4
3
（1）现从融合指数在内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研，求至少有1家的融合指数在内的概率；
（2）根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．
解
（1）解法一：
融合指数在内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．
其中，至少有1家融合指数在内的基本事件是：
{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{
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