徐州数学.docx

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徐州数学

2014届高三调研测试试卷

（二）

数　　学

（满分160分，考试时间120分钟）

2014．1

参考公式：

锥体的体积公式：

V锥体＝Sh，其中S为底面积，h是高．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填写在相应位置上．

1.设复数z1＝2－i，z2＝m＋i（m∈R，i为虚数单位），若z1、z2为实数，则m的值为________．

2.已知集合A＝{2＋，a}，B＝{－1，1，3}，且A⊆B，则实数a的值是________．

3.某林场有树苗3000棵，其中松树苗400棵．为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的棵数为________．

4.在△ABC的边AB上随机取一点P，记△CAP和△CBP的面积分别为S1和S2，则S1>2S2的概率是________．

5.已知双曲线－＝1的一条渐近线方程为2x－y＝0，则该双曲线的离心率为________．

6.右图是一个算法流程图，则输出S的值是________．

（第6题）

7.函数f（x）＝lg（2x－3x）的定义域为________．

8.若正三棱锥的底面边长为，侧棱长为1，则此三棱锥的体积为________．

9.在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为，则BC边的长为________．

10.已知函数f（x）＝x|x－2|，则不等式f（－x）≤f

（1）的解集为________．

11.已知函数f（x）＝2sin（ω>0）的最大值与最小正周期相同，则函数f（x）在[－1，1]上的单调增区间为________．

12.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a4、a3、a5成等差数列，且Sk＝33，Sk＋1＝－63，其中k∈N*，则Sk＋2的值为________．

13.在平面四边形ABCD中，已知AB＝3，DC＝2，点E、F分别在边AD、BC上，且＝3，＝3.若向量与的夹角为60°，则·的值为________．

14.在平面直角坐标系xOy中，若动点P（a，b）到两直线l1：

y＝x和l2：

y＝－x＋2的距离之和为2，则a2＋b2的最大值为________．

二、解答题：

本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

已知向量a＝（cosθ，sinθ），b＝（2，－1）．

（1）若a⊥b，求的值；

（2）若|a－b|＝2，θ∈，求sin的值．

16.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥PABC中，点E、F分别是棱PC、AC的中点．

（1）求证：

PA∥平面BEF；

（2）若平面PAB⊥平面ABC，PB⊥BC，求证：

BC⊥PA.

17.（本小题满分14分）

某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30m，其中大圆弧所在圆的半径为10m．设小圆弧所在圆的半径为xm，圆心角为θ（弧度）．

（1）求θ关于x的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？

18.（本小题满分16分）

已知△ABC的三个顶点A（－1，0）、B（1，0）、C（3，2），其外接圆为圆H.

（1）若直线l过点C，且被圆H截得的弦长为2，求直线l的方程；

（2）对于线段BH上的任意一点P，若在以C为圆心的圆上都存在不同的两点M、N，使得点M是线段PN的中点，求圆C的半径r的取值范围．

19.（本小题满分16分）

已知函数f（x）＝x3＋x2＋ax＋b（a、b为常数），其图象是曲线C.

（1）当a＝－2时，求函数f（x）的单调减区间；

（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）＝x0与f′（x0）＝0同时成立，求实数b的取值范围；

（3）已知点A为曲线C上的动点，曲线C与其在点A处的切线l1交于另一点B，在点B处的切线为l2，设切线l1、l2的斜率分别为k1、k2.问：

是否存在常数λ，使得k2＝λk1？

若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

20.（本小题满分16分）

已知数列{an}满足a1＝x，a2＝3x，Sn＋1＋Sn＋Sn－1＝3n2＋2（n≥2，n∈N*），Sn是数列{an}的前n项和．

（1）若数列{an}为等差数列．

（ⅰ）求数列的通项an；

（ⅱ）若数列{bn}满足bn＝2an，数列{cn}满足cn＝t2bn＋2－tbn＋1－bn，试比较数列{bn}前n项和Bn与{cn}前n项和Cn的大小；

（2）若对任意n∈N*，an

2014届高三调研测试试卷

（二）

数学附加题

（满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】从A、B、C、D四小题中选做两小题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

A.（选修4-1：

几何证明选讲）

如图，锐角△ABC的内心为D，过点A作直线BD的垂线，垂足为F，点E为内切圆D与边AC的切点．若∠C＝50°，求∠DEF的度数．

B.（选修4-2：

矩阵与变换）

设矩阵M＝（其中a＞0，b＞0），若曲线C：

x2＋y2＝1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′：

＋y2＝1，求a＋b的值．

C.（选修4-4：

坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程是（t为参数），以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos.由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

D.（选修4-5：

不等式选讲）

已知a、b、c均为正数．求证：

a2＋b2＋c2＋≥6.

【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

22.某品牌汽车4S店经销A、B、C三种排量的汽车，其中A、B、C三种排量的汽车依次有5、4、3款不同车型．某单位计划购买3辆不同车型的汽车，且购买每款车型等可能．

（1）求该单位购买的3辆汽车均为B种排量汽车的概率；

（2）记该单位购买的3辆汽车的排量种数为X，求X的分布列及数学期望．

23.已知点A（－1，0），F（1，0），动点P满足·＝2||.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）在直线l：

y＝2x＋2上取一点Q，过点Q作轨迹C的两条切线，切点分别为M、N，问：

是否存在点Q，使得直线MN∥l？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

2014届高三调研测试试卷

（二）（徐州）

数学参考答案及评分标准

1.2　2.1　3.20　4.　5.　6.25　7.（－∞，0）　8.　9.7　10.[－1，＋∞）

11.　12.129　13.7　14.18

15.解：

（1）由a⊥b可知，a·b＝2cosθ－sinθ＝0，所以sinθ＝2cosθ，（2分）

所以＝＝.（6分）

（2）由a－b＝（cosθ－2，sinθ＋1），可得

|a－b|＝＝＝2，

即1－2cosθ＋sinθ＝0.①（10分）

又cos2θ＋sin2θ＝1，且θ∈，②由①②可解得（12分）

所以sin＝（sinθ＋cosθ）＝＝.（14分）

16.证明：

（1）在△PAC中，E、F分别是PC、AC的中点，所以PA∥EF.

又PA⊄平面BEF，EF⊂平面BEF，所以PA∥平面BEF.（6分）

（2）在平面PAB内过点P作PD⊥AB，垂足为D.因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC.（8分）

又BC⊂平面ABC，所以PD⊥BC.（10分）

又PB⊥BC，PD∩PB＝P，PD⊂平面PAB，PB⊂平面PAB.

所以BC⊥平面PAB.（12分）

又PA⊂平面PAB，所以BC⊥PA.（14分）

17.解：

（1）设扇环的圆心角为θ，则30＝θ（10＋x）＋2（10－x），所以θ＝.（4分）

（2）花坛的面积为θ（102－x2）＝（5＋x）（10－x）＝－x2＋5x＋50（0

装饰总费用为9θ（10＋x）＋8（10－x）＝170＋10x，（9分）

所以花坛的面积与装饰总费用的比y＝＝－.（11分）

令t＝17＋x，则y＝－≤，当且仅当t＝18时取等号，此时x＝1，θ＝.

答：

当x＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比最大．（14分）

（注：

对y也可以通过求导，研究单调性求最值，同样给分）

18.解：

（1）线段AB的垂直平分线方程为x＝0，线段BC的垂直平分线方程为x＋y－3＝0，

所以外接圆圆心H（0，3），半径＝，圆H的方程为x2＋（y－3）2＝10.（4分）

设圆心H到直线l的距离为d，因为直线l被圆H截得的弦长为2，

所以d＝＝3.

当直线l垂直于x轴时，显然符合题意，即x＝3为所求；（6分）

当直线l不垂直于x轴时，设直线方程为y－2＝k（x－3），则＝3，解得k＝.

综上，直线l的方程为x＝3或4x－3y－6＝0.（8分）

（2）直线BH的方程为3x＋y－3＝0，设P（m，n）（0≤m≤1），N（x，y），

因为点M是点P、N的中点，所以M.又M、N都在半径为r的圆C上，

所以即（10分）

因为该关于x、y的方程组有解，即以（3，2）为圆心、r为半径的圆与以（6－m，4－n）为圆心.2r为半径的圆有公共点，所以（2r－r）2≤（3－6＋m）2＋（2－4＋n）2≤（r＋2r）2.（12分）

又3m＋n－3＝0，所以r2≤10m2－12m＋10≤9r2对∀m∈[0，1]成立．

而f（m）＝10m2－12m＋10在[0，1]上的值域为，故r2≤且10≤9r2.（15分）

又线段BH与圆C无公共点，所以（m－3）2＋（3－3m－2）2>r2对∀m∈[0，1]成立，即r2<.故圆C的半径r的取值范围为.（16分）

（注：

本题方法较多，可参考上述评分标准给分．如果没有必要的说理过程，但答案正确的，可酌情扣3～4分）

19.解：

（1）当a＝－2时，f′（x）＝3x2＋5x－2＝（3x－1）（x＋2）．（2分）

令f′（x）<0，解得－2

（2）f′（x）＝3x2＋5x＋a，

由题意知消去a，得2x＋x＋x0－b＝0有唯一解．（6分）

令g（x）＝2x3＋x2＋x，则g′（x）＝6x2＋5x＋1＝（2x＋1）（3x＋1），

所以g（x）在区间，上是增函数，在上是减函数．（8分）

又g＝－，g＝－，

故实数b的取值范围是∪.（10分）

（3）设A（x0，f（x0）），则点A处切线方程为y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），

与曲线C：

y＝f（x）联立方程组，得f（x）－f（x0）＝f′（x0）（x－x0），即

（x－x0）2＝0，所以B点的横坐标xB＝－.（12分）

由题意知，k1＝f′（x0）＝3x＋5x0＋a，k2＝f′＝12x＋20x0＋＋a，

若存在常数λ，使得k2＝λk1，则12x＋20x0＋＋a＝λ（3x＋5x0＋a），

即常数λ，使得（4－λ）（3x＋5x0）＝（λ－1）a－，

所以常数λ，使得解得常数λ，使得λ＝4，a＝.（15分）

故a＝时，存在常数λ＝4，使k2＝4k1；a≠时，不存在常数λ，使k2＝λk1.（16分）

20.解：

（1）（ⅰ）因为Sn＋1＋Sn＋Sn－