全国中考数学试题分类解析汇编159套63专题专题38 等腰边三角形Word下载.docx

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=2×

。

∵FQ是BP的垂直平分线，∴BP=2BQ=2

在Rt△BEF中，∵∠EBP=30°

，∴PE=

BP=

7.（2012湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田3分）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为【】

A．2B．3C．

D．

【答案】A。

【考点】全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的性质。

【分析】延长BC至F点，使得CF=BD，

∵ED=EC，∴∠EDB=∠ECF。

∴△EBD≌△EFC（SAS）。

∴∠B=∠F。

∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠ACB。

∴∠ACB=∠F。

∴AC∥EF。

∴AE=CF=2。

∴BD=AE=CF=2。

故选A。

8.（2012湖北孝感3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36º

，BD平分∠ABC交AC于点D．若

AC＝2，则AD的长是【】

A．

B．

C．

【考点】黄金分割，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。

【分析】∵∠A=∠DBC=36°

，∠C公共，∴△ABC∽△BDC，且AD=BD=BC。

∴

设BD=x，则BC=x，CD=2－x，∴

，整理得：

x2＋2x－4=0，解得：

∵x为正数，∴

9.（2012湖南怀化3分）等腰三角形的底边长为6，底边上的中线长为4，它的腰长为【】[来源:

Z。

A．7B．6C．5D．4

【答案】C。

【考点】等腰三角形的性质，勾股定理。

【分析】如图，△ABC中AB=AC，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，AD⊥BC。

在Rt△ABD中，BD=

×

6=3，AD=4，根据勾股定理，得AB=5。

故选C。

10.（2012四川绵阳3分）如图，将等腰直角三角形虚线剪去顶角后，∠1+∠2=【】。

A．225°

B．235°

C．270°

D．与虚线的位置有关

【考点】等腰直角三角形的性质，多边形内角和定理。

【分析】先根据等腰直角三角形的性质求出两底角的度数，再根据四边形内角和定理解答即可：

如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠A+∠B=90°

∵四边形的内角和是360°

，

∴∠1+∠2=360°

-（∠A+∠B）=360°

-90°

=270°

11.（2012四川凉山4分）如图，一个等边三角形纸片，剪去一个角后得到一个四边形，则图中∠α+∠β的度数是【】

B．

【考点】等边三角形的性质，多边形内角和定理。

【分析】∵等边三角形每个内角为60°

，∴两底角和=120°

又∵四边形内角和为360°

，∴∠α+∠β=360°

－120°

=240°

12.（2012四川广安3分）已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=

BC，则△ABC底角的度数为【】

A．45°

B．75°

C．45°

或75°

D．60°

【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理。

【分析】根据题意画出图形，注意分别从∠BAC是顶角与∠BAC是底角去分析，然后利用等腰三角形与直角三角形的性质，即可求得答案：

如图1：

AB=AC，

∵AD⊥BC，∴BD=CD=

BC，∠ADB=90°

∵AD=

BC，∴AD=BD。

∴∠B=45°

即此时△ABC底角的度数为45°

如图2，AC=BC，

∵AD⊥BC，∴∠ADC=90°

BC，∴AD=

AC，∴∠C=30°

∴∠CAB=∠B=（1800－∠A）÷

2=75°

即此时△ABC底角的度数为75°

综上所述，△ABC底角的度数为45°

13.（2012辽宁沈阳3分）如图，正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中的等腰直角三角形有【】

A．4个B．6个C．8个D．10个

【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质。

【分析】∵正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，

∴AB=BC=CD=AD，OA=OB=OC=OD，四个角都是直角，AC⊥BD。

∴图中的等腰直角三角形有△AOB、△AOD、△COD、△BOC、△ABC、△BCD、△ACD、△BDA八个。

14.（2012贵州铜仁4分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为【】

　　A．6　　B．7　　C．8　　D．9

【答案】D。

【考点】角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质。

【分析】∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点E，∴∠MBE=∠EBC，∠ECN=∠ECB，

∵MN∥BC，∴∠EBC=∠MEB，∠NEC=∠ECB。

∴∠MBE=∠MEB，∠NEC=∠ECN。

∴BM=ME，EN=CN。

∴MN=ME+EN，即MN=BM+CN。

∵BM+CN=9∴MN=9。

故选D。

15.（2012山东威海3分）如图，a∥b，点A在直线a上，点C在直线b上，∠BAC=900，AB=AC。

若∠1=200，则∠2的度数为【】

A.250B.650C.700D.750

【答案】B。

【考点】等腰直角三角形的性质，平行线的性质。

【分析】∵∠BAC=900，AB=AC，∴∠ABC=450。

∵∠1=200，∴∠ABC＋∠1=650。

又∵a∥b，∴∠2=∠ABC＋∠1=650。

故选B。

16.（2012山东潍坊3分）轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东300方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东750方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东600方向上，则C处与灯塔A的距离是【】海里．

C．50D．25

【考点】方向角，等腰直角三角形的判定和性质。

【分析】如图，根据题意，∠1=∠2=30°

又∵∠ACD=60°

∴∠ABC=30°

+60°

=90°

，∠CBA=75°

－30°

=45°

∴△ABC为等腰直角三角形。

∵BC=50×

0.5=25，∴AC=BC=25（海里）。

17.（2012江西南昌3分）等腰三角形的顶角为80°

，则它的底角是【】

　A．20°

B．50°

C．60°

D．80°

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理。

【分析】∵等腰三角形的一个顶角为80°

，∴底角=（180°

﹣80°

）÷

2=50°

18.（2012江西省3分）等腰三角形的顶角为80°

19.（2012黑龙江龙东地区3分）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，

点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为【】

A.20B.12C.14D.13

【考点】等腰三角形的性质，直角三角形斜边上中线的性质。

【分析】∵AB=AC，AD平分∠BAC，BC=8，

∴根据等腰三角形三线合一的性质得AD⊥BC，CD=BD=

BC=4。

∵点E为AC的中点，

∴根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得DE=CE=

AC=5。

∴△CDE的周长=CD+DE+CE=4+5+5=14。

二、填空题

1.（2012上海市4分）我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为

▲．

【答案】4。

【考点】三角形的重心，等边三角形的性质。

【分析】设等边三角形的中线长为a，则其重心到对边的距离为：

∵它们的一边重合时（图1），重心距为2，

，解得a=3。

∴当它们的一对角成对顶角时（图2）重心=

2.（2012浙江宁波3分）如图，AE∥BD，C是BD上的点，且AB=BC，∠ACD=110°

，则∠EAB=

▲度．

【答案】40。

【考点】等腰三角形的性质，平角定义，三角形内角和定理，平行线的性质。

【分析】∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC。

∵∠ACD=110°

，∴∠ACB=∠BAC=70°

∴∠B=∠40°

∵AE∥BD，∴∠EAB=40°

3.（2012江苏淮安3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，若∠BAC=700，则∠BAD=

▲0。

【答案】35。

【考点】等腰三角形的性质。

【分析】由AB=AC，AD⊥BC，根据等腰三角形三线合一的性质，得∠BAD=∠CAD；

由∠BAC=700，得∠BAD=350。

4.（2012福建泉州4分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于点D，则BD的长是▲.

【答案】3。

【分析】根据等腰三角形“三线合一”的性质直接得出结果：

∵AB=AC，BC=6，AD⊥BC。

∴BD=

BC=3。

5.（2012湖北随州4分）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为▲.

【答案】6和4或5和5。

【分析】当腰是6时，则另两边是4，6，且4+6＞6，满足三边关系定理；

当底边是6时，另两边长是5，5，5+5＞6，满足三边关系定理。

故该等腰三角形的另两边为6和4或5和5。

6.（2012湖北黄冈3分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°

，AB的垂直平分线交AC于点E，垂

足为点D，连接BE，则∠EBC的度数为▲.

【答案】36°

【考点】线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理。

【分析】∵DE是AB的垂直平分线，∴AE=BE。

∵∠A=36°

，∴∠ABE=∠A=36°

∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=

∴∠EBC=∠ABC－∠ABE=72°

－36°

=36°

7.（2012湖北襄阳3分）在等腰△ABC中，∠A=30°

，AB=8，则AB边上的高CD的长是　▲　．

【答案】4或

或

【考点】等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】根据题意画出AB=AC，AB=BC和AC=BC时的图象，然后根据等腰三角形的性质和解直角三角形，分别进行计算即可：

（1）如图，当AB=AC时，

∵∠A=30°

∴CD=

AC=

8=4。

（2）如图，当AB=BC时，则∠A=∠ACB=30°

∴∠ACD=60°

∴∠BCD=30°

∴CD=cos∠BCD•BC=cos30°

8=4

（3）如图，当AC=BC时，则AD=4。

∴CD=tan∠A•AD=tan30°

•4=

综上所述，AB边上的高CD的长是4或

8.（2012四川广元3分）已知等腰三角形的一个内角为80°

，则另两个角的度数是▲

【答案】50°

，50°

或80°

，20°

【分析】分情况讨论：

（1）若等腰三角形的顶角为80°

时，另外两个内角=（180°

－80°

；

（2）若等腰三角形的底角为80°

时，顶角为180°

=20°

∴等腰三角形的一个内角为80°

，则另两个角的度数是50°

9.（2012贵州遵义4分）一个等腰三角形的两条边分别为4cm和8cm，则这个三角形的周长为　▲　．

【答案】20cm。

【分析】分两种情况讨论：

（1）当等腰三角形的腰为4cm，底为8cm时，不能构成三角形．

（2）当等腰三角形的腰为8cm，底为4cm时，能构成三角形，周长为4+8+8=20（cm）。

∴这个等腰三角形的周长是20cm。

10.（2012贵州黔东南4分）用6根相同长度的木棒在空间中最多可搭成　▲　个正三角形．

【考点】等边三角形的性质。

【分析】用6根火柴棒搭成正四面体，四个面都是正三角形。

故答案为4。

11.（2012山东滨州4分）如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°

，则∠C=▲°

．

【考点】三角形的外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质。

【分析】∵AB=AD，∠BAD=20°

，∴∠B=

∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°

+20°

=100°

∵AD=DC，∴∠C=

12.（2012山东济宁3分）如图，在等边三角形ABC中，D是BC边上的一点，延长AD至E，使AE=AC，∠BAE的平分线交△ABC的高BF于点O，则tan∠AEO=　▲　．

【答案】

【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。

【分析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°

，AB=BC。

∵BF⊥AC，∴∠ABF=

∠ABC=30°

∵AB=AC，AE=AC，∴AB=AE。

∵AO平分∠BAE，∴∠BAO=∠EAO。

∵在△BAO和△EAO中，AB=AE，∠BAO=∠EAO，AO=AO，

∴△BAO≌△EAO（SAS）。

∴∠AEO=∠ABO=30°

∴tan∠AEO=tan30°

=

13.（2012山东日照4分）如图，过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，如果∠A=63°

，那么∠θ=▲．[来︿源

【答案】180。

【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形外角定理。

【分析】如图，连接CE，DE，

∵过A、C、D三点的圆的圆心为E，过B、F、E三点的圆的圆心为D，

∴AE=CE=DE=DB。

∴∠A=∠ACE，∠ECD=∠CDE，∠DEB=∠DBE=∠θ。

∵∠A=63°

，∴∠AEC=1800－2×

630=540。

又∵∠ECD=∠CDE=2∠θ，∴∠AEC=∠ECD＋∠DBE=3∠θ，即3∠θ=540。

∴∠θ=180。

14.（2012广西来宾3分）已知等腰三角形的一个内角是80°

，则它的底角是▲0．

【答案】50或80。

【分析】分两种情况：

①当80°

的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数=（180°

-80°

②当80°

的角为等腰三角形的底角时，其底角为80°

故它的底角度数是500或800。

15.（2012广西钦州3分）已知等腰三角形的顶角为80°

，那么它的一个底角为　▲　．

【分析】∵等腰三角形的顶角等于80°

又∵等腰三角形的底角相等，∴底角等于（180°

16.（2012甘肃白银4分）如图，在△ABC中，AC=BC，△ABC的外角∠ACE=100°

，则∠A=▲度．

【答案】50。

【考点】三角形的外角性质，等腰三角形的性质。

【分析】∵AC=BC，∴∠A=∠B（等角对等边）。

∵∠A+∠B=∠ACE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），

∴∠A=

∠ACE=

100°

=50°

17.（2012青海西宁2分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AC＝12，BD＝16，E

为AD的中点，点P在x轴上移动．小明同学写出了两个使△POE为等腰三角形的P点坐标为（－5，0）和

（5，0）．请你写出其余所有符合这个条件的P点的坐标▲．

18.（2012黑龙江绥化3分）若等腰三角形两边长分别为3和5，则它的周长是▲

【答案】11或13。

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形：

①腰长为3，底边长为5，三边为：

3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；

②腰长为5，底边长为3，三边为：

5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13。

故答案为：

11或13。

19.（2012黑龙江牡丹江3分）矩形ABCD中，AB=10，BC=3，E为AB边的中点，P为CD边上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则DP=▲

【答案】4或1或9。

【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】如图，根据题意，

∵AB=10，BC=3，E为AB边的中点，

∴AE=5，AD=3。

若AE=AP=5，则在Rt△ADP1中，

由勾股定理，得DP1=4。

若AE=PE=5，A作EF⊥CD于点F，则EF=3，DF=5

在Rt△EFP2中，P2F=4，∴DP2=DF－P2F=1：

在Rt△EFP3中，P3F=4，∴DP3=DF＋P3F=9。

另AP=EP=5不成立。

综上所述，DP=4或1或9。

20.（2012黑龙江哈尔滨3分）一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是

【答案】16或17。

【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分两种情况讨论：

（1）当等腰三角形的腰为5，底为6时，周长为5+5+6=16；

（2）当等腰三角形的腰为6，底为5时，周长为5+6+6=17。

∴这个等腰三角形的周长是16或17。

21.（2012黑龙江龙东地区3分）等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为▲。

【答案】8或

【分析】由已知的是一边上的高，分底边上的高和腰上的高两种情况，当高为腰上高时，再分锐角三角形与钝角三角形两种情况：

（1）如图，当AD为底边上的高时，

∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，

在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，

根据勾股定理得：

∴BC=2BD=8。

（2）如图，当CD为腰上的高时，

若等腰三角形为锐角三角形，

在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，

∴BD=AB－AD=5－4=1。

在Rt△BDC中，CD=3，BD=1，

若等腰三角形为钝角三角形，

∴BD=AB＋AD=5＋4=9。

在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，

综上所述，等腰三角形的底边长为8或

三、解答题

1.（2012重庆市6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°

，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）

【答案】解：

∵△ABD是等边三角形，∴∠B=60°

∵∠BAC=90°

，∴∠C=180°

﹣90°

﹣60°

=30°

∴BC=2AB=4。

在Rt△ABC中，由勾股定理得：

∴△ABC的周长是AC+BC+AB=

+4+2=6+

答：

△ABC的周长是6+

【考点】解直角三角形，三角形内角和定理，等边三角形的性质，勾股定理。

【分析】根据等边三角形性质求出∠B=60°

，求出∠C=30°

，求出BC=4，根据勾股定理求出AC，相加即可