泰勒公式在数值分析中的应用教材.docx
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泰勒公式在数值分析中的应用教材
2015年度本科生毕业论文（设计）
泰勒公式在数值分析中的应用
教学系：
数学学院
专业：
数学与应用数学
年级：
11级数本（3）班
姓名：
袁国彦
学号：
20110701013056
导师及职称：
程高讲师
2015年05月
毕业论文（设计）原创性声明
本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。
据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。
对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名：
日期：
毕业论文（设计）授权使用说明
本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。
有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。
学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。
保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
作者签名：
指导教师签名：
日期：
日期：
袁国彦毕业论文（设计）答辩委员会（答辩小组）成员名单
姓名
职称
单位
备注
摘要
泰勒公式是微积分中一个重要的公式，它将一些复杂的函数近似的表示为多项式函数，为一些复杂函数的求解带来方便。
不仅在数学分析中有着重要的地位，在数值分析中也有着广泛的应用，本文简要介绍了泰勒公式在数值分析中的应用，并讨论泰勒公式在泰勒插值，欧拉方法和牛顿迭代法中的具体应用，在泰勒插值和数值积分中，用泰勒公式展开的多项式去逼近原函数，得出近似解，并分析误差。
欧拉方法是通过迭代的方法，求得近似值，通过用不同的步长进行对比，并得到一种通过控制误差来得到步长的方法。
牛顿迭代法是求解非线性方程近似解的一种方法，通过程序来得到方程根所在的区间，求出初值，最后控制其误差。
泰勒公式需要先取点对原式进行泰勒展开，如何选取，使得泰勒公式展开后，计算的结果在误差的允许范围内，并且计算过程尽量简单，减少计算步骤。
关键词：
泰勒展开；泰勒插值；数值积分；欧拉方法；牛顿迭代法；数值分析
TheapplicationofTaylorformulainnumericalanalysis
ABSTRACT
TaylorformulaisanimportantformulainCalculus,Itwillbesomefunctionapproximationisexpressedasapolynomialfunction.Notonlyplaysanimportantroleinmathematicalanalysis,anditiswidelyusedinthenumericalanalysis,thispaperbrieflyintroducestheapplicationofTaylorformulainnumericalanalysis,anddiscusstheTaylorformulaintheapplicationofTaylorinterpolation,EulermethodandNewtoniterationmethod,Taylorinterpolation,polynomialusingtheTaylorexpansiontoapproximatetheoriginalfunction,theapproximatesolutionanderroranalysis.TheEulermethodisobtainedbyiterativemethod,approximatevalue,comparedtothedifferentstepsize,andamethodtogethimstepbycontrollingtheerror.TheNewtoniterativemethodisamethodofapproximatesolutionforsolvingnonlinearequations,throughtheprogramtogettherangeofequationroot,andtheerrorcontrol.NeedtoselectapointontheoriginalTaylor,howtoselect,theTaylorexpansion,thecalculationresultsintherangeofallowableerrorinthecalculationoftheprocessassimpleaspossible,andtoreducethecomputationalsteps.
Keywords:
Taylorexpansion;Taylorinterpolation;Numericalintegration;Euler'smethod;TheNewtoniterationmethod;Numericalanalysis
目录
一、引言··································································1
二、泰勒公式的应用························································3
2.1泰勒插值···························································3
2.2泰勒公式在数值积分中的应用·········································6
2.3欧拉方法···························································7
2.4用泰勒公式求方程根的近似解·········································9
2.4.1牛顿迭代法·····················································9
2.4.2扫描法························································10
2.4.3误差估计公式··················································10
参考文献·································································12
致谢····································································13
附录·····································································14
一、引言
泰勒公式的背景：
希腊人在理性数学活动中，已接触到了无限性、联系性等概念，这方面最具有代表性的人物是伊利亚学派的芝诺。
他在考虑利用无穷级数求和来得到有限结果时，提出了四个著名的悖论。
后来，随着无限小算法的推广，英国的数学家们在大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中优秀的代表有泰勒和麦克劳林。
泰勒在1715年出版的《正的和反的增量方法》一书中，陈述了它早在1712年就已获得的著名定理，这就是为人所熟知的泰勒级数。
爱丁堡大学教授麦克劳林发现了泰勒级数的特例，称为“麦克劳林级数”。
泰勒公式的推导：
由导数和微分的概念，如果函在点可导，则有
即在点附近，用一次多项式逼近函数值时，其误差为的高阶无穷小量。
然而在很多场合，取一次多项式的逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中往往为多项式的次数，为此，我们考察任一次多项式
.
逐次求它在点的各阶导数，得到
，，，，.
即：
，，
由此可见，多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定。
对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数，由这些导数构造一个n次多项式
，
称为函数在点处的泰勒（）多项式，的各项系数称为泰勒系数。
由上面对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和直至阶导数值，即
（3）
下面将要证明，即以式所示的泰勒多项式逼近时，其误差为关于的高阶无穷小量。
定理1.2：
若函数在点存在直至阶导数，则有，即
证：
，，
现在只要证
由关系式可知，
并易知
因为存在，所以点的某邻域内存在阶导函数。
当
且时，允许接连使用洛必达法则次，得到
=0
其中泰勒公式（4）在时的特殊形式：
它也称为（带有佩亚诺余项的）麦克劳林公。
泰勒公式是用一个函数在某点的信息描述其附近取值的公式，如果函数足够光滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的领域中的值，泰勒公式还给出了这个多项式和实际函数值之间的偏差。
数值计算中泰勒公式有广泛的应用，泰勒公式的证明与应用方面对于研究者来说一直具有吸引力，其理论方法已经成为研究函数极限和估计误差方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以满足很高的精度要求。
泰勒公式可以应用于求极限，判断函数极值，求函数在某些点的数值，近似计算等方面。
二、泰勒公式的应用
2.1泰勒插值
实际问题中碰到的函数是各种各样的，有的表达式很复杂，直接研究函数可能很困难，面对这种情况，一个很自然的想法是将函数简单化，构造某个简单的函数作为的近似函数，通过处理获得关于的结果，如果要求近似函数取给定的离散数据，则称之为的插值函数。
其中泰勒公式展开公式开方法就是一种插值方法，由于代数多项式的结构简单，数值分析方面就相对简单。
已知泰勒多项式
成立。
求作次多项式，使其满足条件
这里为一组已给出的数据。
容易看出，对于给定的函数，若导数值已给，则上述泰勒插值的问题的解就是泰勒多项式。
运用泰勒公式做近似计算时，一般要用到带有拉格朗日余项的泰勒展开。
例2.1.1：
求作在节点的一阶和二阶泰勒多项式，计算的近似值，估计误差并与精确值0.723805对比。
解：
用MATLAB程序求出在节点的一阶和二阶泰勒多项式，相关程序见附录1。
所以在的一次泰勒多项式是：
二次泰勒多项式是：
=
用作的近似表达式，将代入一次泰勒多项式得：
根据定理1可估计出误差：
与精确值比较，误差为，具有3位有效数字。
二次泰勒多项式的值：
这个结果有4位有效数字。
我们对取的不同取值，通过作图对它们的逼近效果进行对比，程序见附录2。
图2-1-1
图中“o”代表二次泰勒多项式的值，“*”代表一次泰勒多项式的值，“+”代表精确值，可以看出二次的泰勒公式展开逼近的效果更好，且越逼近，误差越小。
定理：
若函数在上存在直至n阶的连续导数，在内存在阶导数函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得：
证：
作辅助函数：
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