高考数学复习步步为赢专题二文档格式.docx
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＝sin2x＋cos2x＋1
＝2sin＋1.
（1）函数f（x）的最小正周期为＝π.
（2）∵－1≤sin≤1，
∴－1≤2sin＋1≤3.
∴当2x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋kπ，k∈Z时，f（x）取得最大值3；
当2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，即x＝－＋kπ，k∈Z时，f（x）取得最小值－1.
（3）由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
∴函数f（x）的单调递增区间为（k∈Z）．
模板2三角函数与向量、三角形
例2
在锐角△ABC中，已知内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且（tanA－tanB）＝1＋tanA·
tanB，又已知向量m＝（sinA，cosA），n＝（cosB，sinB），求|3m－2n|的取值范围．
审题破题由已知A，B关系式化简，利用向量的数量积求出|3m－2n|并化简为一个角的三角函数形式．
解因为（tanA－tanB）＝1＋tanA·
tanB，
所以＝，即tan（A－B）＝，
又△ABC为锐角三角形，则0<
A<
，0<
B<
，
所以－<
A－B<
，所以A－B＝.
又|3m－2n|2＝9m2＋4n2－12m·
n
＝13－12sin（A＋B）＝13－12sin.
又0<
C＝π－（A＋B）<
A＝＋B<
所以<
，所以<
2B＋<
.
所以sin∈，所以|3m－2n|2∈（1,7）．
故|3m－2n|的取值范围是（1，）．
进行三角变换，求出某个角的值或者范围；
脱去向量的外衣，利用向量的运算将所求的式子转化为一个角的三角函数
问题；
跟踪训练2已知a＝（2cosx＋2sinx,1），b＝（y，cosx），且a∥b.
（1）将y表示成x的函数f（x），并求f（x）的最小正周期；
（2）记f（x）的最大值为M，a、b、c分别为△ABC的三个内角A、B、C对应的边长，若f＝M，且a＝2，求bc的最大值．
解
（1）由a∥b得2cos2x＋2sinxcosx－y＝0，
即y＝2cos2x＋2sinxcosx＝cos2x＋sin2x＋1
＝2sin＋1，
所以f（x）＝2sin＋1，
又T＝＝＝π.
所以函数f（x）的最小正周期为π.
（2）由
（1）易得M＝3，于是由f＝M＝3，
得2sin＋1＝3⇒sin＝1，
因为A为三角形的内角，故A＝.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，解得bc≤4.
于是当且仅当b＝c＝2时，bc取得最大值4.
模板3空间平行或垂直关系的证明
例3
如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，E、F分别为
PC、BD的中点，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD.
（1）求证：
EF∥平面PAD；
（2）求证：
平面PAB⊥平面PCD.
审题破题
（1）根据中位线找线线平行关系，再利用线面平行的判定定理．
（2）先利用线面垂直的判定定理，再利用性质定理．
证明
（1）连接AC，则F是AC的中点，又∵E为PC的中点，
∴在△CPA中，EF∥PA，
又∵PA⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，
∴EF∥平面PAD.
（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，
又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥PA.
又PA＝PD＝AD，∴△PAD是等腰直角三角形，
且∠APD＝90°
，即PA⊥PD.
又∵CD∩PD＝D，∴PA⊥平面PCD，
又∵PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PCD.
将题目条件和图形结合起来；
根据条件寻找图形中的平行、垂直关系；
和要证结论相结合，寻找已知的垂直、平行关系和要证关系的联系；
严格按照定理条件书写解题步骤.
跟踪训练3（2013·
山东）如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．
CE∥平面PAD；
平面EFG⊥平面EMN.
证明
（1）方法一取PA的中点H，连接EH，DH.
又E为PB的中点，
所以EH綊AB.
又CD綊AB，所以EH綊CD.
所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.
又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD.
所以CE∥平面PAD.
方法二连接CF.
因为F为AB的中点，
所以AF＝AB.
又CD＝AB，所以AF＝CD.
又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．
因此CF∥AD，又CF⊄平面PAD，
所以CF∥平面PAD.
因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.
又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD.
因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.
又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD.
（2）因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.
又因为AB⊥PA，
所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.
又因为EF∩FG＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG.
所以AB⊥平面EFG.
又因为M，N分别为PD，PC的中点，所以MN∥CD，
又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.
又因为MN⊂平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.
模板4数列通项公式的求解问题
例4
设数列{an}的前n项和为Sn，满足2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N*，且a1，a2＋5，a3成等差数列．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式．
审题破题
（1）可令n＝1，n＝2得关系式联立求a1；
（2）由已知可得n≥2时，2Sn－1＝an－2n＋1，两式相减．
解
（1）当n＝1时，2a1＝a2－4＋1＝a2－3，①
当n＝2时，2（a1＋a2）＝a3－8＋1＝a3－7，②
又a1，a2＋5，a3成等差数列，所以a1＋a3＝2（a2＋5），③
由①②③解得a1＝1.
（2）∵2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，
∴当n≥2时，有2Sn－1＝an－2n＋1，
两式相减得an＋1－3an＝2n，
则－·
＝1，即＋2＝.
又＋2＝3，知是首项为3，公比为的等比数列，
∴＋2＝3n－1，即an＝3n－2n，n＝1时也适合此式，
∴an＝3n－2n.
令n＝1，n＝2得出a1，a2，a3的两个方程，和已知a1，a2，a3的关系
联立求a1；
令n≥2得关系式后利用作差得an＋1，an的关系；
构造等比数列，并求出通项；
求出数列{an}的通项．
跟踪训练4已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2an＋（－1）n（n∈N*）．
（1）求数列{an}的前三项a1，a2，a3；
数列为等比数列，并求出{an}的通项公式．
（1）解在Sn＝2an＋（－1）n，n≥1中分别令n＝1,2,3，得
，解得
（2）证明由Sn＝2an＋（－1）n，n≥1得：
Sn－1＝2an－1＋（－1）n－1，n≥2.
两式相减得an＝2an－1－2（－1）n，n≥2.
an＝2an－1－（－1）n－（－1）n
＝2an－1＋（－1）n－1－（－1）n，
∴an＋（－1）n＝2（n≥2）．
故数列是以a1－＝为首项，公比为2的等比数列．
所以an＋（－1）n＝×
2n－1，
∴an＝×
2n－1－×
（－1）n.
模板5数列求和问题
例5
（2012·
江西）已知数列{an}的前n项和Sn＝－n2＋kn（其中k∈N＋），且Sn的最大值为8.
（1）确定常数k，并求an；
（2）求数列的前n项和Tn.
审题破题
（1）由Sn的最大值，可据二次函数性质求k，因而确定an；
（2）利用错位相减法求和．
解
（1）当n＝k∈N＋时，Sn＝－n2＋kn取最大值，
即8＝Sk＝－k2＋k2＝k2，故k2＝16，因此k＝4，
从而an＝Sn－Sn－1＝－n（n≥2）．
又a1＝S1＝，所以an＝－n.
（2）因为bn＝＝，
Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝1＋＋＋…＋＋，
所以Tn＝2Tn－Tn＝2＋1＋＋…＋－
＝4－－＝4－.
利用条件求数列{bn}的通项公式；
写出Tn＝b1＋b2＋…＋bn的表达式；
分析表达式的结构特征、确定求和方法.例如：
公式法、裂项法，
本题用错位相减法；
明确规范表述结论；
第五步：
反思回顾.查看关键点，易错点及解题规范.如本题中在求an时，易
忽视对n＝1，n≥2时的讨论.
跟踪训练5已知点是函数f（x）＝ax（a>
0，且a≠1）的图象上的一点．等比数列{an}的
前n项和为f（n）－c.数列{bn}（bn>
0）的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn－1＝＋（n≥2）．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）若数列的前n项和为Tn，问满足Tn>
的最小正整数n是多少？
解
（1）∵f
（1）＝a＝，∴f（x）＝x.
由题意知，a1＝f
（1）－c＝－c，
a2＝[f
（2）－c]－[f
（1）－c]＝－，
a3＝[f（3）－c]－[f
（2）－c]＝－.
又数列{an}是等比数列，
∴a1＝＝＝－＝－c，∴c＝1.
又公比q＝＝，∴an＝－·
n－1
＝－2·
n（n∈N*）．
∵Sn－Sn－1＝（－）（＋）
＝＋（n≥2）．
又bn>
0，>
0，∴－＝1.
∴数列{}构成一个首项为1、公差为1的等差数列，
＝1＋（n－1）×
1＝n，即Sn＝n2.
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝n2－（n－1）2＝2n－1，
当n＝1时，b1＝1也适合此通项公式．
∴bn＝2n－1（n∈N*）．
（2）Tn＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝×
＋×
＋…＋×
＝.
由Tn＝>
，得n>
∴满足Tn>
的最小正整数n的值为101.
模板6概率与统计问题
例6
某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y（单位：
万千瓦时）与该河上游在六月份的降雨量X（单位：
毫米）有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；
X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为：
140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,
140,110,160,220,140,160.
（1）完成下列频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
降雨量
70
110
140
160
200
220
频率
（2）假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率．
审题破题
（1）直接根据已知数据计算频率填表；
（2）将频率视为概率，将所求事件写成几个互斥事件的和，然后根据概率加法公式计算．
解
（1）在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，160毫米的有7个，200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
（2）由题意知，当X＝70时，Y＝460；
X每增加10，Y增加5，
故Y＝460＋5×
＝＋425.
P（“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”）
＝P（Y<
490或Y>
530）＝P（X<
130或X>
210）
＝P（X＝70）＋P（X＝110）＋P（X＝220）
＝＋＋＝.
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490（万千瓦时）或超过530（万千瓦时）的概率为.
理解题目中的数据和变量的意义，完成频率分布表；
利用互斥事件的概率公式求概率、作答.
跟踪训练6（2013·
陕西）有7位歌手（1至7号）参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：
组别
A
B
C
D
E
人数
50
100
150
（1）为了调查评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表．
抽取人数
6
（2）在
（1）中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．
解
（1）由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：
3
9
（2）记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；
从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有结果为：
由以上树状图知所有结果共18种，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2共4种，故所求概率P＝＝.
模板7圆锥曲线的定点问题
例7
已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆上的点到焦点的距离的最小值为－1，离心率为e＝.
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点（1,0）作直线l交E于P、Q两点，试问：
在x轴上是否存在一个定点M，使·
为定值？
若存在，求出这个定点M的坐标；
若不存在，请说明理由．
审题破题
（1）利用待定系数法求E的方程；
（2）探求定点可以先根据特殊情况找出点，再对一般情况进行证明．
解
（1）设椭圆E的方程为＋＝1（a>
b>
0），
由已知得
解得
所以b2＝a2－c2＝1.
所以椭圆E的方程为＋y2＝1.
（2）假设存在符合条件的点M（m,0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），
则＝（x1－m，y1），＝（x2－m，y2），·
＝（x1－m）（x2－m）＋y1y2＝x1x2－m（x1＋x2）＋m2＋y1y2.
①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k（x－1），
由
得x2＋2k2（x－1）2－2＝0，
即（2k2＋1）x2－4k2x＋2k2－2＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1y2＝k2（x1－1）（x2－1）＝k2[x1x2－（x1＋x2）＋1]＝－，
所以·
＝－m·
＋m2－
因为对于任意的k值，·
为定值，
所以2m2－4m＋1＝2（m2－2），得m＝.
所以M，此时，·
＝－.
②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，
则x1＋x2＝2，x1x2＝1，y1y2＝－，
由m＝，得·
综上，符合条件的点M存在，且坐标为.
引进参数.从目标对应的关系式出发，引进相关参数.一般地，引进的参数是
直线的夹角、直线的斜率或直线的截距等；
列出关系式.根据题设条件，表达出对应的动态直线或曲线方程；
探求直线过定点.若是动态的直线方程，将动态的直线方程转化成y－y0＝
kx－x0的形式，则k∈R时直线恒过定点x0，y0；
若是动态的曲线方程，将动态的
曲线方程转化成fx，y＋λgx，y＝0的形式，则λ∈R时曲线恒过的定点即是fx，
y＝0与gx，y＝0的交点；
下结论；
回顾反思.在解决圆锥曲线问题中的定点、定值问题时，引进参数的目的是
以这个参数为中介，通过证明目标关系式与参数无关，达到解决问题的目的.
跟踪训练7已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M（4,0）．
（1）若点F到直线l的距离为，求直线l的斜率；
（2）设A，B为抛物线上的两点，且直线AB不与x轴垂直，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：
线段AB中点的横坐标为定值．
（1）解由已知得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k（x－4），由题意知抛物线的焦点坐标为（1,0），
因为点F到直线l的距离为，所以＝，
解得k＝±
，所以直线l的斜率为±
（2）证明设线段AB中点的坐标为N（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），因为直线AB不与x轴垂直，所以AB斜率存在，
所以直线MN的斜率为，直线AB的斜率为，
直线AB的方程为y－y0＝（x－x0），
联立方程得
消去x，得y2－y0y＋y＋x0（x0－4）＝0，
所以y1＋y2＝，
因为N为线段AB的中点，
所以＝y0，即＝y0，
所以x0＝2.即线段AB中点的横坐标为定值2.
模板8圆锥曲线中的范围、最值问题
例8
已知双曲线－＝1（a>
1，b>
0）的焦距为2c，直线l过点（a,0）和（0，b），且点（1,0）到直线l的距离与点（－1,0）到直线l的距离之和s≥c，求双曲线的离心率e的取值范围．
审题破题用a，b表示s可得关于a，b，c的不等式，进而转化成关于e的不等式，求e的范围．
解设直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0.
由点到直线的距离公式，且a>
1，得到点（1,0）到直线l的距离d1＝，
同理可得点（－1,0）到直线l的距离为d2＝，
于是s＝d1＋d2＝＝.
由s≥c，得≥c，即5a≥2c2，
可得5≥2e2，即4e4－25e2＋25≤0，
解得≤e2≤5.
由于e>
1，故所求e的取值范围是.
提取.从题设条件中提取不等关系式；
解不等式.求解含有目标参数的不等式，得到不等式的解集；
下结论.根据不等式的解集，并结合圆锥曲线中几何量的范围，得到所求参
数的取值范围；
回顾反思.根据题设条件给出的不等关系求参数的取值范围，要考虑圆锥曲
线自身的一些几何意义，如离心率的范围，圆锥曲线的定义中的a，b，c的大小关
系等.
跟踪训练8椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为，离心率为，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且＝3.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求m的取值范围．
解
（1）设椭圆C的方程为＋＝1（a>
设c>
0，c2＝a2－b2，
由题意，知2b＝，＝，所以a＝1，b＝c＝.
故椭圆C的方程为y2＋＝1，即y2＋2x2＝1.
（2）设直线l的方程为y＝kx＋m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
得（k2＋2）x2＋2kmx＋（m2－1）＝0，
Δ＝（2km）2－4（k2＋2）（m2－1）＝4（k2－2m2＋2）>
0，（*）
x1＋x2＝，x1x2＝.
因为＝3，所以－x1＝3x2，
所以
所以3（x1＋x2）2＋4x1x2＝0.
所以3·
2＋4·
＝0.
整理得4k2m2＋2m2－k2－2＝0，
即k2（4m2－1）＋（2m2－2）＝0.
当m2＝时，上式不成立；
当m2≠时，k2＝，
由（*）式，得k2>
2m2－2，
又k≠0，所以k2＝>
0.
解得－1<
m<
－或<
1.
即所求m的取值范围为∪.
模板9函数的单调性、极值、最值问题
例9
已知函数f（x）＝（x∈R）．其中a∈R.
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f
（2））处的切线方程；
（2）当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值．
审题破题
（1）直接求f′（x），得f′
（2）后写出切线方程；
（2）求导函数f′（x）后要对a进行讨论，可以列表观察函数f（x）的单调性，极值．
解
（1）当a＝1时，f（x）＝，f
（2）＝，
又f′（x）＝＝，f′
（2）＝－.
所以，曲线y＝f（x）在点（2，f
（2））处的切线方程为
y－＝－（x－2），即6x＋25y－32＝0.
（2）f′（x）＝
由于a≠0，以下分两种情况讨论．
①当a＞0，令f′（x）＝0，得到x1＝－，x2＝a.
当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：
x
（－∞，－）
－
（－，a）
a
（a，＋∞）
f′（x）
＋
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
所以f（x）在区间，（a，＋∞）内为减函数，
在区间内为增函数．
函数f（x）在x1＝－处取得
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