数列综合复习.docx
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数列综合复习
数列专题复习
桐乡一中张晓东
一．高考要求
（一）05年考查情况（以理科为例）
选择
填空
解答
总分值
考查内容
全国
0分
0分
12+6分
18分
等比数列通项、前n项和、与函数联系考查数学归纳法、构造法
全国
5分
0分
12分
17分
等差等比数列的性质、等差等比的通项、等比数列的定义、无穷等比数列求和
全国
0分
0分
12分
12分
等差等比综合、研究下标
北京卷
0分
5分
12分
17分
不完全归纳、与奇偶有关的数列递推、等比的定义、无穷等比数列求和
天津卷
0分
4分
12+6分
22分
与奇偶有关的数列递推、等差求和公式、错位相减法、数列的极限，与导数、三角综合
上海卷
0分
4分
14+9分
27分
与等差有关的数表问题、考查等差求和与等比通项的数列应用题、与向量联系的综合题
广东卷
5分
0分
0分
5分
摆动数列的极限
重庆卷
0分
4分
12分
16分
数列的极限，数学归纳法、数列与不等式综合、放缩法、两边取对数、裂项相消
山东卷
0分
0分
12分
12分
线性递推、错位相减法、数学归纳法（或二项式展开）
江苏卷
5分
0分
14分
19分
等比的性质、待定系数、等差的定义、联系不等式的证明
福建卷
5分
4分
14分
23分
等差的通项、数列的极限、数列的递推、有穷数列、数列与不等式综合
辽宁卷
5分
0分
12分
17分
数列联系函数图象、数列的递推、数学归纳法、无穷等比数列求和
江西卷
0分
0分
12分
12分
二次函数形式递推、迭代
湖北卷
0分
4分
14分
18分
等比求和、等差中项、倒数再迭加、数列极限、类似数列定义
湖南卷
10分
0分
14分
24分
等差等比综合、无穷等比数列求和、周期数列、数列与函数综合的应用题、数学归纳法
浙江卷
5分
0分
14分
19分
等差求和、数列极限、数列与解析几何、导数综合、数学归纳法
（二）教学要求：
1．等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列，其他数列问题的解决往往借助它们完成，或经过变形转化为等差或等比数列，或利用等差、等比数列的研究方法。
所以等差数列与等比数列的基础知识是数列中最基本、最重要也最易把握的知识。
2．数列的通项是数列最重要、最常见的表达形式，它是数列的核心。
应弄清通项公式的意义——项数的函数；理解通项公式的作用——可以用通项公式求数列的任意一项的值及对数列进行一般性的研究。
3．数列的递推式是数列的另一种表达形式，可以是一阶线性递推、二阶线性递推、二次函数形式递推、勾函数形式递推、与奇偶联系的递推等，是高考的热点。
要注重叠加、叠乘、迭代等解题技巧的训练。
4．数列求和的问题需要根据数列特点选择解决方法，必须掌握常用的数列求和方法，但数列求和往往和其他知识综合在一起，综合性教强。
5．自从文科不考数学归纳法以来，数学归纳法几乎成了一个理科必考的内容。
而且常常和放缩法、函数单调性、构造法等联系在一起，能力要求较高。
6．纵观近几年的高考，每年都有求极限的题目。
常以选择题、填空题的形式命题，有时也作为某一大题的某一问出现，难度不大。
7．数列的应用极其广泛，因此尽管现在的应用题多为概率统计，但不排除考数列应用题的可能，也有可能是数列与概率交汇。
8．数列常与函数、不等式、解析几何、立体几何、导数、三角、向量、二项式等知识联系在一起，以它的复杂多变、综合性强、解法灵活等特征成为高考的中档题或压轴题。
9．函数思想、方程思想、化归思想、分类讨论思想的应用比比皆是，因此要注意对数学思想方法的挖掘。
10．由于命题者大多为大学教授，故应注重数列与高等数学的联系。
二．典例剖析：
（一）等差等比：
等差、等比数列一般从定义、通项公式、前项和公式、性质四方面研究。
【例1】已知定义在上的函数和数列满足下列条件：
，
，其中为常数，为非零常数。
（）令，证明是等比数列
（）求数列的通项公式
【解】（）
故是等比数列
（）
=
=+
=
=
【评析】本题主要考查等比数列的定义和等比的求和公式，尤其要注意公比是否为1。
【例2】设无穷等差数列的前项和为。
（）若首项公差，求满足的正整数
（）求所有的无穷等差数列，使得对一切正整数都有
【解】（）
由得：
得
因，故
（）因对一切正整数都成立
故对时必成立，因此有
即
得，，，
经检验不符合
故这样的数列有3个：
，或或
【评析】本题主要考查等差的求和公式，其中第2问属探索性问题，考查学生分析问题解决问题能力。
（二）数列的递推
1．一阶线性递推:
2．二阶线性递推：
【例3】中，，求通项
【解】
故
【评析】本题的关键在于把转化为
3．形式递推：
【例4】已知数列各项都是正数，且满足：
，
求数列的通项公式
【解】由得
从而
=
=
故
【评析】本题的关键在于将转化为以及迭代的技巧。
4．形式递推：
【例5】若则称为的不动点，函数
（）求的不动点
（）数列满足，，求数列的通项公式
【解】（）不动点为和
（）由得
又得
除于得
故
得
【评析】求型通项公式是利用函数不动点来求的，尽管这个知识点是高考不要求的，但考题往往就从这些地方出，只需增加一些铺垫。
5．形式递推：
【例6】已知数列中，，，，求数列的通项公式
【解】由得
除于得：
即
从而
【评析】型通项也是利用函数的不动点来求的，但本题构造数列，便大大降低了难度。
6．和与奇偶联系的递推：
【例7】已知数列前项和满足
求数列的通项公式
【解】
相减得：
叠加得：
=
经检验也满足上式
【评析】是很常规的一阶线性递推，但增加了后就变的不寻常了，所以我们需要在常规的周围寻找一些不寻常。
（三）数列求和
数列求和的常见方法有错位相减法、裂项相消法、分解转化法、倒序相加法、若涉及正负相间的数列求和常需分类讨论。
【例8】已知数列的首项，前项和为，且，
令，求函数在点的导数
【解】由得
=
【评析】本题把错位相减法和求导联系，给人耳目一新的感觉。
【例9】数列满足且
（）用数学归纳法证明：
（）已知不等式对成立，证明：
（），其中无理数
【解】（）略
（）
两边取对数并利用得
于是
把上式从1到求和可得：
故
【评析】本题的难点在于放缩以及两边取对数再进行叠加。
（四）数列极限
【例10】已知，数列满足
（）已知数列的极限存在且大于零，求（将用表示）
（）设，证明
【解】（）对两边取极限得
解得，又故
（）得
故=
【评析】本题主要考查数列极限的概念以及灵活运用知识解决问题能力。
（五）数学归纳法
【例11】设数列，，
证明对一切正整数成立
【解】当时，，不等式成立
假设时，成立，
当时，由于在时递增，
故
因此只需证
只需证
只需证而此式显然成立
故当时也成立，
故对一切正整数成立
【评析】本题的证法较多，上面只给出利用函数的单调性的方法。
【例12】（）设函数，求的最小值
（）设正数满足，证明
【解】（）利用求导的方法可得
（）当时由（）的结论知命题成立
假设时命题成立，即时
当时，
令，
则，由归纳假设知
于是
同理可得
+得
故当时命题也成立
故命题对一切正整数成立
【评析】本题的难点是构造，，
从而把时需要证明的式子分两段解决。
（六）数列应用题
【例12】自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响。
用表示某鱼群在第年年初的总量，且。
不考虑其他因素，设在第年内鱼群的繁殖量及被捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数
（）求与的关系式
（）猜测：
当且仅当满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？
（不要求证明）
（）设，为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是多少？
证明你的结论。
【解】（）
（）特殊地，
即得
因故
猜测：
当且仅当且时，每年年初鱼群的总量保持不变。
（）时
得特殊地，
因故，于是
由此猜测的最大允许值是1，
下证：
当，时，都有
时显然成立
假设时成立即
当时，=
又，故
故时也成立
故为保证对任意，都有，则捕捞强度的最大允许值是1
【评析】本题以捕鱼问题为背景考查了函数、数列的递推关系、不等式、数学归纳法以及一般与特殊的关系，考查了学生综合运用知识的能力。
（七）数列与其他知识的交汇
1．与函数交汇
【例13】已知数列满足，，我们知道当取不同值时，得到不同的数列。
如当时，得到无穷数列：
当时，得到有穷数列：
设数列满足，，求证取数列中任一个数，都可以得到一个有穷数列
【解】,
不妨设，则
故取数列中任一个数，都可以得到一个有穷数列
【评析】与所对应的函数关系式互为反函数，本题是一个较为隐蔽的数列与反函数交汇的题目。
2．与不等式交汇
【例14】已知函数，数列满足，且
（）设，证明：
（）设（）中的数列的前项和为，证明
【解】（）
由条件知故
（）由（）的过程可知
【评析】在数列与其他知识的联系中以不等式最为紧密，而利用不等式的性质进行推算论证具有较大的灵活性，因而不易把握。
3．与导数、解析几何交汇
【例15】设点和抛物线，其中，由以下方法得到：
，点在抛物线上，点到的距离是到上的点的最短距离点在抛物线上，点到的距离是到上的点的最短距离，证明是等差数列
【解】设点是上任意一点
则
令
则
由题意得
即=0
又因为
故
即
下面用数学归纳法证明
当时显然成立
假设时成立，即
当时
由知
又
故故时也成立
故对均成立。
【评析】本题是数列与求导、解析几何综合的题目，考查学生综合运用知识分析问题解决问题能力，难度较高。
4．与三角交汇
【例16】设函数
（）证明
（）设为的一个极值点，证明
（）设在内的全部极值点按从小到大的顺序排列，
证明：
【解】（）（）略
（）设是的任意正实根，即，则存在一个非负整数，使，由的符号知满足的正根都为的极值点
由题设条件，为的全部实数根且满足
则
=
由于故
由知
【评析】本题考查应用导数、三角函数、数列等知识分析问题的能力。
5．与概率交汇
【例17】甲乙两人拿两颗骰子做抛掷游戏，规则如下：
若掷出的点数之和为3的倍数，原掷骰子的人继续掷；若掷出的点数之和不是3的倍数，由对方接着掷。
第一次由甲掷，求第次由甲掷的概率
【解】第次由甲掷这一事件包含两类
第一类：
第次由甲掷，第次继续由甲掷，概率为
第二类：
第次由乙掷，第次由甲掷，概率为
故+，
即+，
由一阶线性递推的方法可得
【评析】数列与概率结合是应用题的一种重要形式。
6．与高等数学的基础知识联系
【例18】（2005湖北）已知不等式其中为大于2的整数，表示不超过的最大整数。
设数列的各项为正，且满足
（）证明
（）猜测数列是否有极限？
如果有，写出极限的值（不必证明）
（）试确定一个正整数，使得当时，对任意都有
【解】（）（）略
（）因，令
有得
故取，可使得当时，对任意都有
【评析】本题第三小题有点类似数列极限的“定义”，高考命题者大多为大学教授，故应引起重视。
三．知能训练
（一）选择题
1．有限数列的
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