平面向量的综合应用.docx

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平面向量的综合应用

平面向量的综合应用

最新考纲

考情考向分析

1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

2.会用向量方法解决简单的力学问题及其他一些实际问题.

主要考查平面向量与函数、三角函数、不等式、数列、解析几何等综合性问题，求参数范围、最值等问题是考查的热点，一般以选择题、填空题的形式出现，偶尔会出现在解答题中，属于中档题.

1．向量在平面几何中的应用

（1）用向量解决常见平面几何问题的技巧：

问题类型

所用知识

公式表示

线平行、点共线等问题

共线向量定理

a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），b≠0

垂直问题

数量积的运算性质

a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，其中a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），且a，b为非零向量

夹角问题

数量积的定义

cosθ＝（θ为向量a，b的夹角），其中a，b为非零向量

长度问题

数量积的定义

|a|＝＝，其中a＝（x，y），a为非零向量

（2）用向量方法解决平面几何问题的步骤：

平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．

2．向量在解析几何中的应用

向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述．它主要强调向量的坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答，坐标的运算是考查的主体．

3．向量与相关知识的交汇

平面向量作为一种工具，常与函数（三角函数）、解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．

知识拓展

1．若G是△ABC的重心，则＋＋＝0.

2．若直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，则向量（A，B）与直线l垂直，向量（－B，A）与直线l平行．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确（请在括号中打“√”或“×”）

（1）若∥，则A，B，C三点共线．（　√　）

（2）在△ABC中，若·<0，则△ABC为钝角三角形．（　×　）

（3）若平面四边形ABCD满足＋＝0，（－）·＝0，则该四边形一定是菱形．（　√　）

（4）设定点A（1,2）与动点P（x，y）满足·＝4，则点P的轨迹方程是x＋2y－4＝0.（　√　）

（5）已知平面直角坐标系内有三个定点A（－2，－1），B（0，10），C（8,0），若动点P满足：

＝＋t（＋），t∈R，则点P的轨迹方程是x－y＋1＝0.（　√　）

题组二　教材改编

2．[P108A组T5]已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，4），B（5,2），C（－1，－4），则该三角形为（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

答案　B

解析　＝（2，－2），＝（－4，－8），＝（－6，－6），

∴||＝＝2，||＝＝4，

||＝＝6，

∴||2＋||2＝||2，

∴△ABC为直角三角形．

3．[P113A组T1]平面直角坐标系xOy中，若定点A（1,2）与动点P（x，y）满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．

答案　x＋2y－4＝0

解析　由·＝4，得（x，y）·（1,2）＝4，即x＋2y＝4.

题组三　易错自纠

4．在△ABC中，已知＝（2,3），＝（1，k），且△ABC的一个内角为直角，则实数k的值为________________．

答案　－或或

解析　①若A＝90°，则有·＝0，即2＋3k＝0，

解得k＝－；

②若B＝90°，则有·＝0，

因为＝－＝（－1，k－3），

所以－2＋3（k－3）＝0，解得k＝；

③若C＝90°，则有·＝0，即－1＋k（k－3）＝0，

解得k＝.

综上所述，k＝－或或.

5．在四边形ABCD中，＝（1,2），＝（－4,2），则该四边形的面积为________．

答案　5

解析　依题意得·＝1×（－4）＋2×2＝0，

所以⊥，所以四边形ABCD的面积为

||·||＝××＝5.

6．抛物线M的顶点是坐标原点O，焦点F在x轴的正半轴上，准线与曲线E：

x2＋y2－6x＋4y－3＝0只有一个公共点，设A是抛物线M上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________________．

答案　（1,2）或（1，－2）

解析　设抛物线M的方程为y2＝2px（p>0），则其准线方程为x＝－.

曲线E的方程可化为（x－3）2＋（y＋2）2＝16，

则有3＋＝4，解得p＝2，所以抛物线M的方程为y2＝4x，F（1,0）．设A，则＝，＝，所以·＝－y＝－4，解得y0＝±2.所以点A的坐标为（1,2）或（1，－2）.

题型一　向量在平面几何中的应用

典例

（1）在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB＝________.

答案　

解析　在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，

则＝，∴＝＝－，

又∵＝＋，

∴·＝（＋）·

＝2－·＋·－2

＝||2＋||||cos60°－||2

＝1＋×||－||2＝1.

∴||＝0，又||≠0，∴||＝.

（2）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ（＋），λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（　　）

A．内心B．外心C．重心D．垂心

答案　C

解析　由原等式，得－＝λ（＋），即＝λ（＋），根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD（D为BC的中点）所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．

引申探究

本例

（2）中，若动点P满足＝＋λ，λ∈（0，＋∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的________．

答案　内心

解析　由条件，得－＝λ，即＝λ，而和分别表示平行于，的单位向量，故＋平分∠BAC，即平分∠BAC，所以点P的轨迹必过△ABC的内心．

思维升华向量与平面几何综合问题的解法

（1）坐标法

把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．

（2）基向量法

适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．

跟踪训练

（1）在△ABC中，已知向量与满足·＝0，且·＝，则△ABC为（　　）

A．等边三角形

B．直角三角形

C．等腰非等边三角形

D．三边均不相等的三角形

答案　A

解析　，分别为平行于，的单位向量，由平行四边形法则可知＋为∠BAC的平分线．因为·＝0，所以∠BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.

又·＝·cos∠BAC＝，所以cos∠BAC＝，又0<∠BAC<π，故∠BAC＝，所以△ABC为等边三角形．

（2）（优质试题·湖南长沙长郡中学临考冲刺训练）如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则·＋·等于（　　）

A.B．－

C.D．－

答案　A

解析　取HF中点O，

则·＝·＝2－2

＝1－2＝，

·＝·＝2－2

＝1－2＝，

因此·＋·＝，故选A.

题型二　向量在解析几何中的应用

典例

（1）已知向量＝（k,12），＝（4,5），＝（10，k），且A，B，C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点（2，－1）的直线方程为________________．

答案　2x＋y－3＝0

解析　∵＝－＝（4－k，－7），

＝－＝（6，k－5），且∥，

∴（4－k）（k－5）＋6×7＝0，

解得k＝－2或k＝11.

由k<0可知k＝－2，则过点（2，－1）且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2（x－2），即2x＋y－3＝0.

（2）若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．

答案　6

解析　由题意，得F（－1,0），设P（x0，y0），

则有＋＝1，解得y＝3，

因为＝（x0＋1，y0），＝（x0，y0），

所以·＝x0（x0＋1）＋y＝x＋x0＋3＝＋x0＋3，对应的抛物线的对称轴方程为x0＝－2，因为－2≤x0≤2，故当x0＝2时，·取得最大值＋2＋3＝6.

思维升华向量在解析几何中的“两个”作用

（1）载体作用：

向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．

（2）工具作用：

利用a⊥b⇔a·b＝0（a，b为非零向量），a∥b⇔a＝λb（b≠0），可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．

跟踪训练

（1）（优质试题·衡阳联考）已知对任意平面向量＝（x，y），把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角得到向量＝（xcosθ－ysinθ，xsinθ＋ycosθ），叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P.设平面内曲线C上的每一点绕原点沿逆时针方向旋转后得到点的轨迹是曲线x2－y2＝2，则原来曲线C的方程是（　　）

A．xy＝－1B．xy＝1

C．y2－x2＝2D．y2－x2＝1

答案　A

解析　设平面内曲线C上的点P（x，y），则其绕原点沿逆时针方向旋转后得到点P′，

∵点P′在曲线x2－y2＝2上，

∴2－2＝2，

整理得xy＝－1.故选A.

（2）（优质试题·安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试）已知点A在椭圆＋＝1上，点P满足＝（λ－1）·（λ∈R）（O是坐标原点），且·＝72，则线段OP在x轴上的投影长度的最大值为________．

答案　15

解析　因为＝（λ－1），所以＝λ，

即O，A，P三点共线，因为·＝72，

所以·＝λ||2＝72，

设A（x，y），OA与x轴正方向的夹角为θ，线段OP在x轴上的投影长度为|||cosθ|＝|λ||x|＝＝＝≤＝15，

当且仅当|x|＝时取等号．

题型三　向量的其他应用

命题点1　向量在不等式中的应用

典例已知O是坐标原点，点A（－1,2），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则·的取值范围是（　　）

A．[－1,0]B．[0,1]

C．[1,3]D．[1,4]

答案　D

解析　作出点M（x，y）满足的平面区域，如图阴影部分所示，设z＝·，因为A（－1,2），M（x，y），所以z＝·＝－x＋2y，即y＝x＋z.平移直线y＝x，由图象可知，当直线y＝x＋z经过点C（0,2）时，截距最大，此时z最大，最大值为4，当直线y＝x＋z经过点B时，截距最小，此时z最小，最小值为1，故1≤z≤4，即1≤·≤4.

命题点2　向量在解三角形中的应用

典例在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若20a＋15b＋12c＝0，则△ABC最小角的正弦值等于（　　）

A.B.

C.D.

答案　C

解析　∵20a＋15b＋12c＝0，

∴20a（－）＋15b＋12c＝0，

∴（20a－15b）＋（12c－20a）＝0，

∵与不共线，∴　解得

∴△ABC最小角为角A，

∴cosA＝＝＝，

∴sinA＝，故选C.

思维升华利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．

跟踪训练

（1）函数y＝sin（ωx＋φ）在一个周期内的图象如图所示，M，N分别是最高点、最低点，O为坐标原点，且·＝0，则函数f（x）的最小正周期是______．

答案　3

解析　由图象可知，M，N，

所以·＝·（xN，－1）＝xN－1＝0，

解得xN＝2，

所以函数f（x）的最小正周期是2×＝3.