高一数学 212平面的基本性质教案文档格式.docx

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高一数学 212平面的基本性质教案文档格式.docx

借助模型和实物来说明三个公理,进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育,通过三条公理及公理3的三个推论的学习,逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点,更由于对三个推论的证明培养言必有据,一丝不苟的学习品质和公理法思想.

二、教学重点、难点、疑点及解决办法

1.教学重点

(1)体现平面基本性质的三条公理及其作用.

(3)两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义.

(3)用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论.

(4)理解用反证法和同一法证明命题的思路,并会证一些简单问题.

2.教学难点

(1)对“有且只有一个”语句的理解.

(2)对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式.

(3)确定两相交平面的交线.

3.解决办法

(1)从实物演示中引导学生观察和实验,阐明公理的条件和结论

间的直观形象,加深对“有且只有一个”语句的理解.

(2)通过系列设问,帮助学生渐次展开思维和想象,理解公理的实质和作用.

三、课时安排

2课时.

四、学生活动设计

准备好两块纸板,一块薄平的泡沫板,四根长15cm左右的小竹针,其中三根一样长,一根稍短.针对三条公理设计不同的活动,对公理1,可作如下示范:

把直尺的两端紧按在玻璃黑板上,完全密接;

对公理2,可用两块硬纸板进行演示(如图1-9);

对公理3,使用图1-10所示的模型进行演示.

五、教学步骤

(一)明确目标

(1)理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论.

(2)掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译.

(3)理解“有且只有一个”的含义,在此基础上,以公理3为主要依据,推证其三个推论.

(4)能够用模型来说明有关平面划分空间的问题.

(5)理解并掌握证明命题的常用方法—

—反证法和同一法.

(二)整体感知

本课以平面基本性质的三条

公理及公理3的三个推论为主要内容,既有学生熟悉的事实,又有学生初次接触的证明,因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学.首先,对于平面基本性质的三条公理,因为是“公理”,无需证明,教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验,从而归纳出三条公理并加以验证.其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”;

公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲;

公理3应突出已知点的个数和位置,强调“三个点”且“不在同一直线上”.通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念,加深对“有且只有一个”语句的理解.对于公理3的三个推论的证明,学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明,应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析,逐渐摆脱对实物模型的依赖,培养推理论证能力,证明过程不仅要进行口头表述,而且教师

应进行板书,使学生熟悉证明的书写格式和符号.最后,无论定理还是推论,都要将文字语言转化为图形语言和符号语言,并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意.

三、教学重点、难点的学习与完成过程

A.公理

师:

立体几何中有一些公理,构成一个公理体系.人们经过长期的观察和实践,把平面的三条基本性质归纳成三条公理.请同学们思考下列问题(用幻灯显示).

问题1:

直线l上有一个点P在平面α内,直线l是否全部落在平面α内?

问题2:

直线l上有两个点P、Q在平面α内,直线l是否全部落在平面α内?

(用竹针穿过纸板演示问题1,用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2,学生思考回答后教师归纳.)

这就是公理1:

如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.这里的条件是什么?

结论是什么?

生:

条件是直线(a)上有两点(A、B)在平面(α)内,结论是:

直线(a)在平面(α)内.

把条件表示为A∈a,B∈b且A∈α,B∈α,把结论表示

11).

这条公理是判定直线是否在平面内的依据,也可用于验证一个面是否是平面,如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆.

在这里,我们用平行四边形来表示平面,那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢?

不是,因为平面是无限延展的.

对,根据公理1,直线是可以落在平面内的,因为直线是无限延伸的,如果平面是有限的,那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢?

所以平面具有无限延展的特征.

现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象(演示图1-9-

(1)给学生看).问:

两个平面会不会只有一个公共点?

生甲:

只有一个公共点.

生乙:

因为平面是无限延展的,应当有很多公共点.

生乙答得对,正因为平面是无限延展的,所以有一个公共点,必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢?

(教师随手一压,一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里).可见,这无数个公共点在一条直线上.这说明,如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时,就说两平面相交,交线就是公共点的集合,这就是公理2,其条件和结论分别是什么?

条件是两平面(α、β)有一公共点(A),结论

是:

它们有且只有一条过这个点的直线.

条件表示为A∈α,A∈β

,结论表示为:

α∩β=a,A∈a,图形表示为图1-9-

(2)或图1-12.

公理2是判定两平面相交的依据,提供了确定相交平面的交线的方法.

下面请同学们思考下列问题(用幻灯显示):

经过空间一个已知点A可能有几个平面?

经过空间两个已知点A、B可能有几个平面?

问题3:

经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面?

(教师演示图1-10给学生看,学生思考后回答,教师归纳).这说明,经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面,即公理3,其条件、结论分

别是什么?

条件是:

不在同一直线上的三点(A、B、C),结论是:

过这三点(A、B、C)有且只有一个平面(α).

A∈α,B∈

α,C∈α,图形表示为图1-13,公理3是确定平面位置的依据之一.

以上三个公理是平面的基本性质.其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义,在数学中,“有一个”是说明“存在”、但不唯一

“只有一个”是说明“唯一”,但不保证图形存在.也就是说,如果有顶多只有一个.因此,在证明有关“有且只有一个”语句的命题时,要证明两个方面——存在性和唯一性.

B.推论

确定一个平面的依据,除公理3外,

还有它的三个推论.

推论1:

经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.说出推论1的条件和结论.

一条直线和直线外一点,结论是:

经过这条直线和这一点有且只有一个平面.

求证:

经过a和A有且只有一个平面.

证明:

“存在性”即存在过A、a的平面,在直线a上任取两点B、C.

∴A、B、C三点不在同一直线上.

∴过A、B、C三点有且只有一个平面α(公理3).

∴B∈α,C∈α.

即过直线a和点A有一个平面α.

“唯一性”,假设过直线a和点A还有一个平面β.

∴B∈β,C∈β.

∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β,这与公理3矛盾.

∴假设不成立,即过直线a和点A不可能还有另一个平面β,而只能有一个平面

α.

这里证明“唯一性”时用了反证法.

推论2:

经过两条相交直线,有且只有一个平面.

其条件、结论分别是什么?

两条直线相交,结论是:

经过这两条直线有且只有一个平面.

师(板书):

已知:

直线a∩直线b=A.

经过a、b有且只有一个平面.

“存在性”.

在a、b上分别取不同于点A的点B、C,得不在同一直线上的三点A、B、C,则过A、B、C三点有且只有一个平面α(公理3).

∵A∈a,B∈a,A∈α,B∈α,

∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面.

“唯一性”.

设过直线a和b还有另一个平面β,则A、B、C三点也一定都在平面β内.

∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β.

∴平面α与平面β重合.

∴过直线a、b的平面只有一个.

这里证明唯一性时,用的是“同一法”.

推论3:

经过两条平行直线,有且只有一个平面.(证明作为思考题)

C.练习

1.下面是一些命题的叙述语(A、B表示点,a表示直线,α、β表示平面)

A.∵A∈α,B∈α,∴AB∈α.

B.∵a∈α,a∈β,∴α∩β=a.

其中命题和叙述方法都正确的是.                       [   ]

2.下列推断中,错误的是                             [   ]

D.A、B、C∈α,A、B、C∈β,且A、B、C不共

3.一个平面把空间分成____部分,两个平面把空间最多分成____部分,三个平面把空间最多分成____部分.

4.确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线.(图1-16)

四、总结、扩展

本课主要的学习

内容是平面的基本性质,有三条公理及公理3的三推论.其中公理1用于判定直线是否在平面内,公理2用于判定两平面相交,公理3及三个推论是确定平面的依据.“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词.“有”即“存在”,“只有一个”即“唯一”.所以证明有关“有且只有一个”语句的

命题时,要证两方面——存在性和唯一性.证明的方法是反证法和同一法.

五、布置作业

1.复习课本有关内容并预习课本例题.

2.课本习题(略).

3.确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线.

4.思考题:

(1)三个平面把空间可能分成几部分?

(2)如何证明推论3?

六、答案

练习:

1.D,2.C,3.图1-18.

作业:

3.图1-19.

七、板书设计

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