高一数学 212平面的基本性质教案文档格式.docx

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借助模型和实物来说明三个公理，进行“数学来源于实践”的唯物主义观念的教育，通过三条公理及公理3的三个推论的学习，逐步渗透事物间既有联系又有区别的观点，更由于对三个推论的证明培养言必有据，一丝不苟的学习品质和公理法思想．

二、教学重点、难点、疑点及解决办法

1．教学重点

（1）体现平面基本性质的三条公理及其作用．

（3）两条公理及公理3的三个推论中的“有且只有一个”的含义．

（3）用图形语言和符号语言表述三条公理及公理3的三个推论．

（4）理解用反证法和同一法证明命题的思路，并会证一些简单问题．

2．教学难点

（1）对“有且只有一个”语句的理解．

（2）对公理3的三个推论的存在性与唯一性的证明及书写格式．

（3）确定两相交平面的交线．

3．解决办法

（1）从实物演示中引导学生观察和实验，阐明公理的条件和结论

间的直观形象，加深对“有且只有一个”语句的理解．

（2）通过系列设问，帮助学生渐次展开思维和想象，理解公理的实质和作用．

三、课时安排

2课时．

四、学生活动设计

准备好两块纸板，一块薄平的泡沫板，四根长15cm左右的小竹针，其中三根一样长，一根稍短．针对三条公理设计不同的活动，对公理1，可作如下示范：

把直尺的两端紧按在玻璃黑板上，完全密接；

对公理2，可用两块硬纸板进行演示（如图1－9）；

对公理3，使用图1－10所示的模型进行演示．

五、教学步骤

（一）明确目标

（1）理解井熟记平面基本性质的三条公理及公理3的三个推论．

（2）掌握这三个公理和三个推论的文字语言、图形语言、符号语言间的互译．

（3）理解“有且只有一个”的含义，在此基础上，以公理3为主要依据，推证其三个推论．

（4）能够用模型来说明有关平面划分空间的问题．

（5）理解并掌握证明命题的常用方法—

—反证法和同一法．

（二）整体感知

本课以平面基本性质的三条

公理及公理3的三个推论为主要内容，既有学生熟悉的事实，又有学生初次接触的证明，因此以“设问——实验——归纳”法和讲解法相结合的方式进行教学．首先，对于平面基本性质的三条公理，因为是“公理”，无需证明，教学中以系列设问结合模型示范引导学生共同思考、观察和实验，从而归纳出三条公理并加以验证．其中公理1应以直线的“直”和“无限延伸”来刻划平面的“平”和“无限延展”；

公理2要抓住平面在空间的无限延展特征来讲；

公理3应突出已知点的个数和位置，强调“三个点”且“不在同一直线上”．通过三条公理的教学培养学生的观察能力和空间观念，加深对“有且只有一个”语句的理解．对于公理3的三个推论的证明，学生是初次接触“存在性”和“唯一性”的证明，应引导学生以公理3为主要的推理依据进行分析，逐渐摆脱对实物模型的依赖，培养推理论证能力，证明过程不仅要进行口头表述，而且教师

应进行板书，使学生熟悉证明的书写格式和符号．最后，无论定理还是推论，都要将文字语言转化为图形语言和符号语言，并且做到既不遗漏又不重复且忠于原意．

三、教学重点、难点的学习与完成过程

A．公理

师：

立体几何中有一些公理，构成一个公理体系．人们经过长期的观察和实践，把平面的三条基本性质归纳成三条公理．请同学们思考下列问题（用幻灯显示）．

问题1：

直线l上有一个点P在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？

问题2：

直线l上有两个点P、Q在平面α内，直线l是否全部落在平面α内？

（用竹针穿过纸板演示问题1，用直尺紧贴着玻璃黑板演示问题2，学生思考回答后教师归纳．）

这就是公理1：

如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．这里的条件是什么？

结论是什么？

生：

条件是直线（a）上有两点（A、B）在平面（α）内，结论是：

直线（a）在平面（α）内．

把条件表示为A∈a，B∈b且A∈α，B∈α，把结论表示

11）．

这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面，如泥瓦工用直的木条刮平地面上的水泥浆．

在这里，我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？

不是，因为平面是无限延展的．

对，根据公理1，直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？

所以平面具有无限延展的特征．

现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（演示图1－9－

（1）给学生看）．问：

两个平面会不会只有一个公共点？

生甲：

只有一个公共点．

生乙：

因为平面是无限延展的，应当有很多公共点．

生乙答得对，正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点．那么这无数个公共点在什么位置呢？

（教师随手一压，一块纸板随即插入另一块纸板上事先做好的缝隙里）．可见，这无数个公共点在一条直线上．这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线．此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理2，其条件和结论分别是什么？

条件是两平面（α、β）有一公共点（A），结论

是：

它们有且只有一条过这个点的直线．

条件表示为A∈α，A∈β

，结论表示为：

α∩β＝a，A∈a，图形表示为图1－9－

（2）或图1－12．

公理2是判定两平面相交的依据，提供了确定相交平面的交线的方法．

下面请同学们思考下列问题（用幻灯显示）：

经过空间一个已知点A可能有几个平面？

经过空间两个已知点A、B可能有几个平面？

问题3：

经过空间三个已知点A、B、C可能有几个平面？

（教师演示图1－10给学生看，学生思考后回答，教师归纳）．这说明，经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面，即公理3，其条件、结论分

别是什么？

条件是：

不在同一直线上的三点（A、B、C），结论是：

过这三点（A、B、C）有且只有一个平面（α）．

A∈α，B∈

α，C∈α，图形表示为图1－13，公理3是确定平面位置的依据之一．

以上三个公理是平面的基本性质．其中公理2和公理3中的“有且只有一个”有两层含义，在数学中，“有一个”是说明“存在”、但不唯一

；

“只有一个”是说明“唯一”，但不保证图形存在．也就是说，如果有顶多只有一个．因此，在证明有关“有且只有一个”语句的命题时，要证明两个方面——存在性和唯一性．

B．推论

确定一个平面的依据，除公理3外，

还有它的三个推论．

推论1：

经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．说出推论1的条件和结论．

一条直线和直线外一点，结论是：

经过这条直线和这一点有且只有一个平面．

求证：

经过a和A有且只有一个平面．

证明：

“存在性”即存在过A、a的平面，在直线a上任取两点B、C．

∴A、B、C三点不在同一直线上．

∴过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．

∴B∈α，C∈α．

即过直线a和点A有一个平面α．

“唯一性”，假设过直线a和点A还有一个平面β．

∴B∈β，C∈β．

∴过不共线三点A、B、C有两个平面α、β，这与公理3矛盾．

∴假设不成立，即过直线a和点A不可能还有另一个平面β，而只能有一个平面

α．

这里证明“唯一性”时用了反证法．

推论2：

经过两条相交直线，有且只有一个平面．

其条件、结论分别是什么？

两条直线相交，结论是：

经过这两条直线有且只有一个平面．

师（板书）：

已知：

直线a∩直线b＝A．

经过a、b有且只有一个平面．

“存在性”．

在a、b上分别取不同于点A的点B、C，得不在同一直线上的三点A、B、C，则过A、B、C三点有且只有一个平面α（公理3）．

∵A∈a，B∈a，A∈α，B∈α，

∴平面α是经过相交直线a、b的一个平面．

“唯一性”．

设过直线a和b还有另一个平面β，则A、B、C三点也一定都在平面β内．

∴过不共线三点A、B、C就有两个平面α和β．

∴平面α与平面β重合．

∴过直线a、b的平面只有一个．

这里证明唯一性时，用的是“同一法”．

推论3：

经过两条平行直线，有且只有一个平面．（证明作为思考题）

C．练习

1．下面是一些命题的叙述语（A、B表示点，a表示直线，α、β表示平面）

A．∵A∈α，B∈α，∴AB∈α．

B．∵a∈α，a∈β，∴α∩β=a．

其中命题和叙述方法都正确的是．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]

2．下列推断中，错误的是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　[　　　]

D．A、B、C∈α，A、B、C∈β，且A、B、C不共

3．一个平面把空间分成____部分，两个平面把空间最多分成____部分，三个平面把空间最多分成____部分．

4．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β的交线．（图1－16）

四、总结、扩展

本课主要的学习

内容是平面的基本性质，有三条公理及公理3的三推论．其中公理1用于判定直线是否在平面内，公理2用于判定两平面相交，公理3及三个推论是确定平面的依据．“确定一个平面”与“有且只有一个平面”是同义词．“有”即“存在”，“只有一个”即“唯一”．所以证明有关“有且只有一个”语句的

命题时，要证两方面——存在性和唯一性．证明的方法是反证法和同一法．

五、布置作业

1．复习课本有关内容并预习课本例题．

2．课本习题（略）．

3．确定经过A、B、C三点的平面与已知平面α、β、γ的交线．

4．思考题：

（1）三个平面把空间可能分成几部分？

（2）如何证明推论3？

六、答案

练习：

1．D，2．C，3．图1－18．

作业：

3．图1－19．

七、板书设计