湖南长沙中考数学试题解析版最新修正版文档格式.docx
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a3＝a2D．（a＋b）2＝a2＋b2
{答案}B
{解析}本题考查了整式的运算，A选项是整式的加法，其实质是合并同类项，3a与2b不是同类项，故不能相加；
B选项是幂的乘方，底数不变，指数相乘，故正确；
C选项是同底数幂的除法，底数不变，指数相减，故正确结果为a4；
D选项是和的完全平方公式，展开口诀为：
“首平方，尾平方，积的2倍夹中间”故正确结果为a2＋2ab＋b2．因此本题选B．
[1-14-2]乘法公式}
整式加减}
幂的乘方}
同底数幂的除法}
完全平方公式}
{题目}4．（2019年长沙T4）下列事件中，是必然事件的是（）
A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°
{答案}D
{解析}本题考查了事件的分类，A、B、C选项都是随机事件；
D选项是必然事件；
因此本题选D．
[1-25-1-1]随机事件}
事件的类型}
{题目}5．（2019年长沙T5）如图，平行线AB，CD被直线AE所截，∠1＝80°
，则∠2的度数是（）
A．80°
B．90°
C．100°
D．110°
{解析}本题考查了考查了对顶角的定义，平行线的性质，由对顶角的定义可得∠AED＝∠1＝80°
，又因为AB∥CD，所以由两直线平行同旁内角互补可得：
∠2＝180°
－∠AED＝100°
，因此本题选C．
[1-5-3]平行线的性质}
对顶角、邻补角}
两直线平行同旁内角互补}
{题目}6．（2019年长沙T6）某个几何体的三视图如图所示，该几何体是（）
{解析}本题考查了由三视图判断几何体，从正面看和侧面看都是三角形的只要D选项，因此本题选D．
[1-29-2]三视图}
由三视图判断几何体}
{题目}7．（2019年长沙T7）在庆祝新中国成立70周年的校园歌唱比赛中，11名参赛同学的成绩各不相同，按照成绩取前5名进入决赛．如果小明知道了自己的比赛成绩，要判断能否进入决赛，小明需要知道这11名同学成绩的（）
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
{解析}本题考查了中位数，中位数反映的是一组数据中等水平，要判断11名参赛同学中的小明是否进入前5名，只需比较自己的成绩与第6名的成绩即可．因此本题选B．
[1-20-1-2]中位数和众数}
中位数}
{题目}8．（2019年长沙T8）一个扇形的半径为6，圆心角为120°
，则该扇形的面积是（）
A．2πB．4πC．12πD．24π
{解析}本题考查了扇形的面积，由扇形的面积公式S＝
＝
[1-24-4]弧长和扇形面积}
扇形的面积}
{{类别:
{题目}9．（2019年长沙T9）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°
，∠B＝30°
，分别以点A和点B为圆心，大于
AB的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠CAD的度数是（）
A．20°
B．30°
C．45°
D．60°
{解析}本题考查了垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的外角，直角三角形两锐角互余，由垂直平分线的性质可知：
AD＝BD即由等边对等角得：
∠DAB＝∠B＝30°
，再由三角形的外角性质得∠ADC＝∠DAB＋∠B＝60°
，在Rt△ADC中，∠C＝90°
所以∠CAD＝90°
－∠ADC＝90°
－60°
＝30°
，因此本题选B．
[1-13-2-1]等腰三角形}
直角三角形两锐角互余}
三角形的外角}
垂直平分线的性质}
等边对等角}
2-简单}
{题目}10．（2019年长沙T10）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°
方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°
方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（）
A．30
nmileB．60nmileC．120nmileD．（30＋30
）nmile
{解析}本题考查了与方位角有关的解直角三角形，如图，在Rt△ACD中，由题意可知：
AC＝60，∠ACD＝30°
，∠ADC＝90°
，所以AD＝
AC＝30，CD＝ACcos30°
＝60×
＝30
，在Rt△BCD中，由题意可知：
∠BCD＝45°
，∠BDC＝90°
，所以BD＝CD＝30
，所以AB＝30＋30
，因此本题选D．
[1-28-1-2]解直角三角形}
解直角三角形－方位角}
3-中等难度}
{题目}11．（2019年长沙T11）《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：
“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；
屈绳量之，不足一尺．木长几何？
”意思是：
用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺；
将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？
可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）
A．
B．
C．
D．
{解析}本题考查了从实际问题中抽象二元一次方程组模型，根据题意发现等量关系是解题的关键，由“用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余4.5尺”可列方程为y＝x＋4.5，由“将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”可列方程为0.5y＝x－1，因此本题选A．
[1-8-3]实际问题与一元一次方程组}
简单的列二元一次方程组应用题}
数学文化}{类别:
{题目}12．（2019年长沙T12）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tanA＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD＋
BD的最小值是（）
A．2
B．4
C．5
D．10
{解析}本题考查了垂线的性质、正切、勾股定理，过点D作DF⊥AB于点F，由同角的余角相等得：
∠BDF＝∠A，所以tan∠BDF＝tan∠A＝2即
，∴
即DF＝
BD，∴CD＋
BD＝CD＋DF，由“垂线段最短”可知：
当C、D、F三点共线且CF⊥AB时，CD＋DF值最小，最小值即为CF的长度．此时
，设AF＝x，则CF＝2x，又因为AC＝10，所以由勾股定理得x2＋4x2＝100，解得x＝2
，所以CF＝4
．
[1-28-3]锐角三角函数}
垂线的性质}
勾股定理}
正切}
几何选择压轴}
4-较高难度}
2-填空题}二、填空题：
本大题共6小题，每小题3分，合计18分．
{题目}13．（2019年长沙T13）式子
在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是．
{答案}x≥5
{解析}本题考查了二次根式有意义的条件，由二次根式有意义的条件可知：
x－5≥0即x≥5．
[1-16-1]二次根式}
二次根式的有意义的条件}
{题目}14．（2019年长沙T14）分解因式：
am2－9a＝．
{答案}a（m－3）（m＋3）
{解析}本题考查了提公因式法因式分解和平方差因式分解，对一个多项式因式分解时，先观察式子特点，如果有公因式先提取公因式后利用公式进行因式分解，特别要注意：
因式分解一定要彻底，分解到每一个多项式都不能再分解为止．
[1-14-3]因式分解}
因式分解－提公因式法}
因式分解－平方差}
{题目}15．（2019年长沙T15）不等式组
的解集是．
{答案}﹣1≤x＜2
{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解每一个不等式，再取每个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法：
①借助数轴；
②利用口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间取，大大小小无解集”．解不等式x＋1≥0得x≥﹣1，解不等式3x－6＜0得x＜2，所以不等式组的解集为﹣1≤x＜2．
[1-9-3]一元一次不等式组}
解一元一次不等式组}
{题目}16．（2019年长沙T16）在一个不透明的袋子中有若干个小球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一球，记下其颜色，这称为一次摸球试验，然后把它重新放回袋中并摇匀，不断重复上述过程．以下是利用计算机模拟的摸球试验统计表：
摸球试验次数
100
1000
5000
10000
50000
100000
“摸出黑球”的次数
36
387
2019
4009
19970
40008
“摸出黑球”的频率（结果保留小数点后三位）
0.360
0.387
0.404
0.401
0.399
0.400
根据试验所得数据，估计“摸出黑球”的概率是．（结果保留小数点后一位）
{答案}0.4
{解析}本题考查了用频率估计概率，当大量重复做某一试验时，某一事件发生的频率就会在某一数值附近摆动，这个数值就是概率．大量重复试验时，可以用频率估计概率．
[1-25-3]用频率估计概率}
利用频率估计概率}
{题目}17．（2019年长沙T17）如图，要测量池塘两岸相对的A，B两点间的距离，可以在池塘外选一点C，连接AC，BC，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝50m，则AB的长是m．
{答案}100
{解析}本题考查了三角形中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，所以AB＝2DE＝100（m）．
[1-27-1-2]相似三角形的性质}
三角形中位线}
{题目}18．（2019年长沙T18）如图，函数y＝
（k为常数，k>
0）的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：
①△ODM与△OCA的面积相等；
②若BM⊥AM于点M，则∠MBA＝30°
；
③若M点的横坐标为1，△OAM是等边三角形，则k＝2＋
④若MF＝
MB，则MD＝2MA．其中正确的结论的序号是
（只填序号）
{答案}①③④
{解析}本题考查了，，因此本题选．
[1-26-1]反比例函数的图像和性质}
反比例函数与一次函数的综合}
代数填空压轴}
5-高难度}
4-解答题}三、解答题：
本大题共8个小题，合计66分．
{题目}19．（2019年长沙T19）计算：
{解析}本题考查了绝对值的意义、负指数的定义、二次根式的除法、特殊角的三角函数值．
{答案}解：
原式＝
＋2－
－1＝1
{分值}6
绝对值的意义}
负指数的定义}
二次根式的除法法则}
特殊角的三角函数值}
{题目}20．（2019年长沙T20）先化简，再求值：
，其中a＝3．
{解析}本题考查了分式的混合运算，按照运算顺序依次计算，若有括号时，先算括号里的．
，当a＝3时，原式＝
[1-15-2-2]分式的加减}
易错题}
因式分解－完全平方式}
约分}
通分}
两个分式的加减}
分式的混合运算}
{题目}21．（2019年长沙T21）某学校开展了主题为“垃圾分类，绿色生活新时尚”的宣传活动．为了解学生对垃圾分类知识的掌握情况，该校环保社团成员在校园内随机抽取了部分学生进行问卷调查，将他们的得分按优秀、良好、合格、待合格四个等级进行统计，并绘制了如下不完整的统计表和条形统计图．
等级
频数
频率
优秀
21
42%
良好
m
40%
合格
6
n%
待合格
3
6%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取了名学生，表中m＝，n＝；
（2）补全条形统计图；
（3）若全校有2000名学生，请你估计该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有多少人．
{解析}本题考查了．
（1）50；
20；
12；
（2）
（3）2000×
（42%＋40%）＝1640（人），答：
该校掌握垃圾分类知识达到“优秀”和“良好”等级的学生共有1640人．
{分值}8
[1-10-1]统计调查}
频数与频率}
统计表}
条形统计图}
用样本估计总体}
{题目}22．（2019年长沙T22）如图，正方形ABCD，点E，F分别在边AD，CD上，且DE＝CF，AF与BE相交于点G．
（1）求证：
BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
{解析}本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定SAS、勾股定理、相似三角形的判定（两角相等）、相似三角形的性质．证明两条线段相等的问题，通常考虑这两条线段所在的三角形全等；
求线段长度的问题，通常考虑由“相似（或勾股定理、锐角三角函数）”建立方程解之，体现了方程思想．
（1）∵四边形ABCD是正方形，DE＝CF，
∴AB＝AD＝CD，∠BAE＝∠ADF＝90°
，AE＝DF，
在△ABE和△DAF中，AB＝AD，∠BAE＝∠ADF，AE＝DF，∴△ABE≌△DAF，
∴BE＝AF．
（2）∵AB＝4，DE＝1，∴AE＝3，
在Rt△BAE中，由勾股定理得：
BE＝5，
∵△ABE≌△DAF，∴∠EAG＝∠EBA，
∵∠BAE＝90°
，∴∠EBA＋∠AEB＝90°
，∴∠EAG＋∠AEB＝90°
，即∠AGE＝90°
，
在△ABE和△GAE中，∠BAE＝∠AGE＝90°
，∠BEA＝∠AEG，
∴△ABE∽△GAE，
∴
即
∴AG＝
{分值}
[1-18-2-3]正方形}
思想方法}
正方形的性质}
全等三角形的判定SAS}
相似三角形的判定（两角相等）}
相似三角形的性质}
{题目}23．（2019年长沙T23）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2．42万人次．
1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
{解析}本题考查了一元二次方程的实际应用——增长率，增长率问题只要通过审题弄清楚基础量a，最终量b，变化次数，套公式a（1＋x）n＝b即可解决．
（1）设增长率为x
由题意得：
2（1＋x）2＝2.42
解得：
x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍）
答：
增长率为10%
（2）2.42×
（1＋10%）＝2.662（万人）
按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到2.662万人次
[1-21-4]实际问题与一元二次方程}
常考题}}
一元二次方程的应用—增长率问题}
{题目}24．（2019年长沙T24）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比．
（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）．
①四条边成比例的两个凸四边形相似；
（命题）
②三个角分别相等的两个凸四边形相似；
③两个大小不同的正方形相似．（命题）
（2）如图1，在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，
．求证：
四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）如图2，四边形ABCD中，AB∥CD，AC与BD相交于点O，过点O作EF∥AB分别交AD
，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为S1，四边形EFCD的面积为S2，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求
的值．
{解析}本题考查了命题真假的判断、相似三角形的判定（两边夹角）、相似三角形的性质、平行线分线段成比例．判断两个四边形是否相似，紧扣定义，分别证明四个角都相等，四条边都成比例．
（1）假；
假；
真；
（2）如图，分别连接BD、B1D1，
∵∠BCD＝∠B1C1D1，
，∴△BCD∽△B1C1D1，
∴∠CBD＝∠C1B1D1，∠CDB＝∠C1D1B1，
又∵∠ABC＝∠A1B1C1，
∴∠ABD＝∠A1B1D1，
，∠ADB＝∠A1D1B1，∠DAB＝∠D1A1B1，
，∠ABC＝∠A1B1C1，∠BCD＝∠B1C1D1，∠ADC＝∠A1D1C1，∠DAB＝∠D1A1B1，
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似．
（3）∵四边形ABFE与四边形EFCD相似，
∵EF＝OE＋OF，∴
∵EF∥AB∥CD，
∵AD＝DE＋AE，
∴2AE＝DE＋AE，即AE＝DE，
[1-27-3]图形的相似}
新定义}
平行线分线段成比例}
相似三角形的判定（两边夹角）}
相似三角形的应用}
相似多边形的性质}
{题目}25．（2019年长沙T25）已知抛物线y＝﹣2x2＋（b－2）x＋（c－2020）（b，c为常数）．
（1）若抛物线的顶点坐标为（1，1），求b，c的值；
（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c的取值范围；
（3）在
（1）的条件下，存在正实数m，n（m<
n），当m≤x≤n时，恰好有
，求m，n的值．
{解析}本题考查了抛物线与一元二次方程的关系、解一元二次方程．
（1）由题可设：
y＝﹣2（x－1）2＋1
去括号得：
y＝﹣2x2＋4x－1
，解得
（2）设抛物线上关于原点对称且不重合的两点坐标分别为（x0，y0），（﹣x0，﹣y0），
代入解析式可得：
∴两式相加可得：
﹣4x02＋2（c－2020）＝0，
∴c＝2x02＋2020，
∴c≥2020
（3）由
（1）可知抛物线y＝﹣2x2＋4x－1＝﹣2（x－1）2＋1，
∴y≤1，
∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，恰好有
即m≥1，∴1≤m≤n，
∵抛物线对称轴x＝1，开口向下，
∴当m≤x≤n时，y随x增大而减小，
∴当x＝m时，ymax＝﹣2m2＋4m－1，当x＝n时，ymax＝﹣2n2＋4n－1，
又∵
将①整理得：
2n3－4n2＋n＋1＝0，
∴变形得：
（2n3－2n2）－（2n2－n－1）＝0，即2n2（n－1）－（2n＋1）（n－1）＝0，
∴（n－1）（2n2－2n－1）＝0，
∵n＞1，
∴2n2－2n－1＝0，
∴n1＝
（舍去），n2＝
同理整理②得：
（m－1）（2m2－2m－1）＝0，
∵1≤m＜n，∴m1＝1，m2＝
（舍去），m3＝
（舍去），
∴综上所述：
m＝1，n＝
[1-22-2]二次函数与一元二次方程}
高度原创}{类别:
二次函数y＝a（x＋h）2的图象}
抛物线与一元二次方程的关系}
灵活选用合适的方法解一元二次方程}
其他二次函数综合题}
{题目}26．（2019年长沙T26）如图，抛物线y＝ax2＋6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3<
t<
0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．
（1）求点A的坐标；
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