Inthesymbol,iscalledthelowerlimitofintegral,theupperlimitofintegral,andtheintegralinterval.
定理1可积性定理（IntegrabilityTheorem）
设在区间上连续，则在上可积。
Theorem1Ifafunctioniscontinuousontheclosedinterval,itisintegrableon.
定理2可积性定理（IntegrabilityTheorem）
设在区间上有界，且只有有限个间断点，则在区间上可积。
Theorem2Ifisboundedonandifitiscontinuousthereexceptatafinitenumberofpoints,thenisintegrableon.
三．定积分的性质（PropertiesofDefiniteIntegrals）
两个特殊的定积分
（1）如果在点有意义，则；
（2）如果在上可积，则。
TwoSpecialDefiniteIntegrals
（1）Ifisdefinedat.Then.
（2）Ifisintegrableon.Then.
定积分的线性性（LinearityoftheDefiniteIntegral）
设函数和在上都可积，是常数，则和+都可积，并且
（1）=;
（2）=+;andconsequently,
（3）=-.
Supposethatandareintegrableonandisaconstant.Thenandareintegrable,and
（1）=;
（2）=+;andconsequently,
（3）=-.
性质3定积分对于积分区间的可加性（IntervalAdditivePropertyofDefiniteIntegrals）
设在区间上可积，且，和都是区间内的点，则不论，和的相对位置如何，都有=+。
Property3Ifisintegrableonthethreeclosedintervalsdeterminedby，，and,then
=+
nomatterwhattheorderof，，和.
性质4如果在区间上1，则==。
Property4If1foreveryin,then
==.
性质5如果在区间上,则。
Property5Ifisintegrableandnonnegativeontheclosedinterval,then
.
推论1。
2定积分的可比性（ComparisonPropertyforDefiniteIntegrals）
如果在区间上，，则
，
。
用通俗明了的话说，就是定积分保持不等号。
Corollary1,2Ifandisintegrableontheclosedinterval,andforallin.Then
and
。
Ininformalbutdescriptivelanguage,wesaythatthedefiniteintegralpreservesinequalities.
性质6积分的有界性（BoundednessPropertyforDefiniteIntegrals）
如果在上连续，且对任意的，都有，则。
Property6Ifiscontinuousonandforallin.Then
。
性质7积分中值定理（MeanValueTheoremforDefiniteIntegrals）
如果函数在闭区间上连续，则在积分区间上至少存在一点，使下式成立
=，
且
=
称为函数在区间上的平均值。
Property7Ifiscontinuouson,thereisatleastonenumberbetweenandsuchthat
=，
and
=
iscalledtheaveragevalueofon.
5.2微积分基本定理（FundamentalTheoremofCalculus）
一．积分上限的函数及其导数（AccumulationFunctionandItsDerivative）
定理1微积分基本定理（FundamentalTheoremofCalculus）
如果函数在区间上连续,则积分上限函数=在上可导,并且它的导数是
==.
Theorem1Letbecontinuousontheclosedintervalandletbea（variable）pointin.Then=isdifferentiableon,and=.
定理2原函数存在定理（TheExistenceTheoremofAntiderivative）
如果函数在区间上连续,则函数=就是在上的一个原函数.
Theorem2Ifiscontinuousontheclosedinterval,then=isanantiderivativeofon.
二.牛顿-莱布尼茨公式（Newton-LeibnizFormula）
定理3微积分第一基本定理（firstFundamentalTheoremofCalculus）
如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,
则
=
称上面的公式为牛顿-莱布尼茨公式.
Theorem3Letbecontinuous（henceintegrable）on,andletbeanyantiderivativeofon.Then
=
whichiscalledtheNewton-LeibnizFormula.
5.3定积分的换元法和分部积分法（integrationbySubstitutionandDefiniteIntgralsbyParts）
一.定积分的换元法（SubstitutionRuleforDefiniteIntegrals）
二.定理定积分的换元法（SubstitutionRuleforDefiniteIntegrals）
假设函数在区间上连续,函数满足条件
（1）,;
（2）在（或）上具有连续导数,且其值域,则有
=,
上面的公式叫做定积分的换元公式.
TheoremLethaveacontinuousderivativeon（or）,andletbecontinuouson.If,andtherangeofisasubsetof.Then
=,
whichiscalledthesubstitutionrulefordefiniteintegrals.
二.定积分的分部积分法（DefiniteIntegrationbyParts）
根据不定积分的分部积分法,有
简写为
=
或
=.
Accordingtotheindefiniteintegrationbyparts,
=
=
=
Forsimplicity,
=
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