八年级数学等腰三角形教案Word下载.docx

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△ABC各角的度数．

三．随堂练习

课本P51练习1、2、3．

四．课时小结

这节课我们主要探讨了等腰三角形的性质，并对性质作了简单的应用．等腰三角形是轴对称图形，它的两个底角相等（等边对等角），等腰三角形的对称轴是它顶角的平分线，并且它的顶角平分线既是底边上的中线，又是底边上的高．

我们通过这节课的学习，首先就是要理解并掌握这些性质，并且能够灵活应用它们．

五．课后作业

课本P56习题12．31、3、4、题．

等腰三角形

（二）

教学目标

探索等腰三角形的判定定理，进一步体验轴对称的特征，发展空间观念．

教学重点：

等腰三角形的判定定理及其应用．探索等腰三角形的判定定理．

教学难点：

等腰三角形的判定定理及其应用．

1.等腰三角形有些什么性质呢？

2.满足了什么样的条件就能说一个三角形是等腰三角形呢？

1.思考：

如图，位于在海上A、B两处的两艘救生船接到O处遇险船只的报警，当时测得∠A=∠B．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？

2.在一般的三角形中，如果有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？

[例1]已知：

在△ABC中，∠B=∠C（如图）．求证：

AB=AC．

证明：

作∠BAC的平分线AD．

在△BAD和△CAD中

∴△BAD≌△CAD（AAS）．∴AB=AC．

3.等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角

所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

4.[例2]求证：

如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么

这个三角形是等腰三角形．

已知：

∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC（如图）．求证：

∵AD∥BC，

∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等），

∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）．

又∵∠1=∠2，∴∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）．

练习：

已知：

如图，AD∥BC，BD平分∠ABC．求证：

AB=AD．

证明：

∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等）．

又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD（等角对等边）．

[例3]如图

（1），标杆AB的高为5米，为了将它固定，需要由它的中点C向地面上与点B距离相等的D、E两点拉两条绳子，使得D、B、E在一条直线上，量得DE=4米，绳子CD和CE要多长？

分析：

这是一个与实际生活相关的问题，解决这类型问题，需要将实际问题抽象为数学模型．本题是在等腰三角形中已知等腰三角形的底边和底边上的高，求腰长的问题．

课本P511、2、3．

本节课我们主要探究了等腰三角形判定定理，在利用定理的过程中体会定理的重要性．在直观的探索和抽象的证明中发现和养成一定的逻辑推理能力．

五．课后作业课本P56-572、4、5、9题．

等腰三角形（练习课）

教学目的：

1．使学生进一步熟练理解和掌握等腰三角形的概念及性质、判定定理及的应用．

2．能灵活地运用等腰三角形的知识解决问题.

能灵活地运用等腰三角形的知识解决问题。

三角板、小黑板

教学过程：

一、复习知识要点

1．有两条边相等的三角形是等腰三角形．相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边．两腰所夹的角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角．

2．三角形按边分类：

三角形

3．等腰三角形是轴对称图形，其性质是：

性质1：

等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）

性质2：

等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．

4．等腰三角形的判定定理：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．

二、例题

例：

如图，五边形ABCDE中AB=AE，BC=DE，∠ABC=∠AED，点F是CD的中点．求证：

AF⊥CD.

要证明AF⊥CD，而点F是CD的中点，联想到这是等腰三角形特有的性质，于是连接AC、AD，证明AC=AD，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到结论．

证明：

连接AC、AD在△ABC和△AED中

∴△ABC≌△AED（SAD）

∴AC=AD（全等三角形的对应边相等）

又∵△ACD中AF是CD边的中线（已知）

∴AF⊥CD（等腰三角形底边上的高和底边上的中线互相重合）

三、练习

（一）、选择题

1．等腰三角形的对称轴是（）

A．顶角的平分线B．底边上的高

C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线

2．等腰三角形有两条边长为4cm和9cm，则该三角形的周长是（）

A．17cmB．22cmC．17cm或22cmD．18cm

3．等腰三角形的顶角是80°

，则一腰上的高与底边的夹角是（）

A．40°

B．50°

C．60°

D．30°

4．等腰三角形的一个外角是80°

，则其底角是（）

A．100°

B．100°

或40°

C．40°

D．80°

5．如图1，C、E和B、D、F分别在∠GAH的两边上，且AB=BC=CD=DE=EF，若∠A=18°

，则∠GEF的度数是（）

A．80°

B．90°

C．100°

D．108°

如图1

答案:

1．D2．B3．A4．C5．B如图2

（二）、填空题

6．等腰△ABC的底角是60°

，则顶角是________度．

7．等腰三角形“三线合一”是指___________．

8．等腰三角形的顶角是n°

，则两个底角的角平分线所夹的钝角是_________．

9．如图2，△ABC中AB=AC，EB=BD=DC=CF，∠A=40°

，则∠EDF的度数是_____．

10．△ABC中，AB=AC．点D在BC边上

（1）∵AD平分∠BAC，∴_______=________；

________⊥_________；

（2）∵AD是中线，∴∠________=∠________；

________⊥________；

（3）∵AD⊥BC，∴∠________=∠_______；

_______=_______．

11．△ABC中，∠A=65°

，∠B=50°

，则AB：

BC=_________．

12．已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，要使AD∥BC，则△ABC的边一定满足________．

13．△ABC中，∠C=∠B，D、E分别是AB、AC上的点，AE=2cm，且DE∥BC，则AD=________．

6．607．等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合

8．（90+

n）°

9．70°

10．略11．112．AB=AC13．2cm14．30海里

（三）、解答题

15．如图，CD是△ABC的中线，且CD=

AB，你知道∠ACB的度数是多少吗？

由

此你能得到一个什么结论？

请叙述出来与你的同伴交流．

16．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，求证：

∠ABC=∠ADC.

17．如图，△ABC中BA=BC，点D是AB延长线上一点，DF⊥AC于F交BC于E，

求证：

△DBE是等腰三角形．

15．∠ACB=90°

．结论：

若一个三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形

16．连接BD，∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB．∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB．

∴∠ABC=∠ADC

17．证明∠D=∠BED

等边三角形

（一）

经历探索等腰三角形成为等边三角形的条件及其推理证明过程．

等边三角形判定定理的发现与证明．

引导学生全面、周到地思考问题．

一．提出问题，创设情境

1．把等腰三角形的性质用到等边三角形，能得到什么结论？

2．一个三角形满足什么条件就是等边三角形？

3．你认为有一个角等于60°

的等腰三角形是等边三角形吗？

你能证明你的结论吗？

把你的证明思路与同伴交流．

二．导入新课

1.探索等腰三角形成等边三角形的条件．

如果等腰三角形的顶角是60°

，那么这个三角形是等边三角形．你能给大家陈述一下理由吗？

有一个角是60°

的等腰三角形是等边三角形．

2．你在与同伴的交流过程中，发现了什么或受到了何种启示？

今天，我们探索、发现并证明了等边三角形的判定定理；

有一个角等于60°

的等腰三角形是等边三角形，我们在证明这个定理的过程中，还得出了三角形为等边三角形的条件，是什么呢？

[生]三个角都相等的三角形是等边三角形．

[师]下面就请同学们来证明这个结论．

如图，在△ABC中，∠A=∠B=∠C．

求证：

△ABC是等边三角形．

∵∠A=∠B，

∴BC=AC（等角对等边）．

又∵∠A=∠C，

∴AB=BC=AC，即△ABC是等边三角形．

等腰三角形的性质和判定方法就可以得到：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°

；

三个角都相等的三角形是等边三角形．

3．讲解P51例4

三．随堂练习

课本P54练习1、2．

四．课时小结

这节课，我们自主探索、思考了等腰三角形成为等边三角形的条件，并对这个结论的证明有意识地渗透分类讨论的思想方法．这节课我们学的定理非常重要，在我们今后的学习中起着非常重要的作用．

五．课后作业

课本课本P56-575、6、7、10题．

等边三角形

（二）

1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°

的性质．

2．有一个角为30°

的直角三角形的性质的简单应用．

含30°

角的直角三角形性质定理发现与证明．

角的直角三角形性质定理发现与证明．引导学生全面、周到地思考问题．

1.用两个全等的含30°

角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？

能拼出一个等边三角形吗？

说说你的理由．

2.由此你能想到，在直角三角形中，30°

角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？

你能证明你的结论吗？

1.用含30°

角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．

其中，图

（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°

，所以∠ABD=60°

，有一个角是60°

图

（1）中，已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．而∠ADB=90°

，即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=

BC．所以BD=

AB，即在Rt△ABD中，∠BAD=30°

，它所对的边BD是斜边AB的一半．

定理：

在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°

，∠BAC=30°

．求证：

BC=

AB．

从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．

[例5]右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°

，立柱BD、DE要多长？

观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于∠A=30°

，所以DE=

AD，BC=

AB，又由D是AB的中点，所以DE=

[例]等腰三角形的底角为15°

，腰长为2a，求腰上的高．

如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°

，CD是腰AB上的高．

求：

CD的长．

观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，而∠DAC是△ABC的一个外角，则∠DAC=15°

×

2=30°

，根据在直角三角形中，30°

角所对的边是斜边的一半，可求出CD．

课本P56练习

这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°

的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．

五．课后作业课本P57-5811、12、13、14题．

等边三角形（练习课）

1．使学生进一步熟练理解等边三角形判定定理和性质．

2．能灵活地运用等边三角形判定定理和性质的知识解决问题.

能灵活地运用等边三角形的知识解决问题。

1．三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫做正三角形．

2．等边三角形的性质：

等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

3．等边三角形的判定方法：

（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°

4．在直角三角形中，如果一个锐角等于30°

，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

二、练习

1．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（）

A．60°

B．90°

C．120°

D．150°

2．下列三角形：

①有两个角等于60°

②有一个角等于60°

的等腰三角形；

③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；

④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（）

A．①②③B．①②④C．①③D．①②③④

3．如图，D、E、F分别是等边△ABC各边上的点，且AD=BE=CF，则△DEF的形状是（）

A．等边三角形B．腰和底边不相等的等腰三角形

C．直角三角形D．不等边三角形

4．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°

，AD=2cm，则AB的长度是（）

A．2cmB．4cmC．8cmD．16cm

5．如图，E是等边△ABC中AC边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则对△ADE的形状最准备的判断是（）

A．等腰三角形B．等边三角形

C．不等边三角形D．不能确定形状

答案：

1．C2．D3．A4．C5．B

6．△ABC中，AB=AC，∠A=∠C，则∠B=_______．

7．已知AD是等边△ABC的高，BE是AC边的中线，AD与BE交于点F，则∠AFE=______．

8．等边三角形是轴对称图形，它有______条对称轴，分别是_____________．

9．△ABC中，∠B=∠C=15°

，AB=2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是_______．

6．60°

7．60°

8．三；

三边的垂直平分线9．1cm

10．已知D、E分别是等边△ABC中AB、AC上的点，且AE=BD，求BE与CD的夹角是多少度？

11．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°

，AD⊥AC交BC于点D，

求证：

BC=3AD.

12．如图，已知点B、C、D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形．BE交AC于F，AD交CE于H，

①求证：

△BCE≌△ACD；

②求证：

CF=CH；

③判断△CFH的形状并说明理由．

13．如图，点E是等边△ABC内一点，且EA=EB，△ABC外一点D满足BD=AC，且BE平分∠DBC，求∠BDE的度数．（提示：

连接CE）

10．60°

或120°

11．∵AB=AC，∠BAC=120°

，

∴∠B=∠C=30°

∴在Rt△ADC中CD=2AD，

∵∠BAC=120°

，∴∠BAD=120°

-90°

=30°

∴∠B=∠BAD，∴AD=BD，∴BC=3AD

12．①∵∠ACB=∠DCE=60°

∴∠BCE=∠ACD．

又∵BC=AC，CE=CD，

∴△BCE≌△ACD；

②证明△BCF≌△ACH；

③△CFH是等边三角形．

13．连接CE，先证明△BCE≌△ACE得到∠BCE=∠ACE=30°

再证明△BDE≌△BCE得到∠BDE=∠BCE=30°