全等三角形重点题型资料Word文档下载推荐.docx

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其中正确的结论有（　　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

二．选择题（共5小题）

7．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为　　．

8．如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，∠D=60°

，∠ABE=28°

，则∠ACB=　　．

9．如图：

在四边形ABCD中，AD=DC，∠ADC=∠ABC=90°

，DE⊥AB于E，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为　　．

10．如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是　　．

11．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是　　．

三．选择题（共2小题）

12．如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的位置、大小关系，并证明．

13．请阅读，完成证明和填空．

九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：

（1）如图1，正三角形ABC中，在AB、AC边上分别取点M、N，使BM=AN，连接BN、CM，发现BN=CM，且∠NOC=60度．请证明：

∠NOC=60度．

（2）如图2，正方形ABCD中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、DM，那么AN=　　，且∠DON=　　度．

（3）如图3，正五边形ABCDE中，在AB、BC边上分别取点M、N，使AM=BN，连接AN、EM，那么AN=　　，且∠EON=　　度．

（4）在正n边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．

请大胆猜测，用一句话概括你的发现：

　　．

四．填空题（共1小题）

14．△ABC的周长为20，∠A和∠B的平分线相交于P，若P到边AB的距离为4，则△ABC的面积为　　．

五．解答题（共1小题）

15．如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：

BC=AB+DC．

参考答案与试题解析

1．（2014秋•高港区校级月考）下列说法正确的是（　　）

【分析】根据全等形的概念：

能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可．

【解答】解：

A、所有正方形都是全等图形，说法错误；

B、所有长方形都是全等图形，说法错误；

C、所有半径相等的圆都是全等图形，说法正确；

D、面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误；

故选：

C．

【点评】此题主要考查了全等图形，关键是掌握形状和大小都相同的两个图形是全等形．

2．（2005•成都）用两个全等的三角形一定不能拼出的图形是（　　）

【分析】此题主要考查动手能力，分别做两个全等的直角三角形、两个全等的正三角形、全等的等腰直角三角形试一试就可以了．

用两个全等的直角三角形就能拼出等腰三角形，A可以；

如图两个全等的正三角形就可以拼出菱形，C可以；

两个全等的直角三角形时就可以拼出矩形，D可以；

不管用什么形状的两个全等的三角形不管怎样也拼不出直角梯形．

故选B．

【点评】此题属于分类讨论型题目，需要对三角形的形状进行分类分析，可动手操作或想象操作．

3．（2010秋•江岸区期末）在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°

【分析】有条件可直接证得△ACD≌△ACE；

有三角形全等的性质可得CD=CE，又因为AD=AE所以AC是DE的垂直平分线即AC垂直平分ED；

取CF的中点O连接BO，可得CE=2BO，再证明BF=BO即可，即问题转化为证明△EBC≌△EHC．再利用三角形的外角性质问题③④可得证．

∵AD∥BC，∠ABC=90°

，

∴∠BAD=90°

．

∵AB=CB，

∴∠BAC=45°

∴∠DAC=45°

又∵AC=AC，

∴△AEC≌△ADC．

∴①△ACD≌△ACE正确．

∵△AEC≌△ADC，

∴DC=CE．

又∵AD=AE，

∴AC是DE的垂直平分线．

即AC垂直平分ED．

∴②AC垂直平分ED正确．

易证F、A、B、C共圆，

因为BC为弦，∠CFB=CAB=45°

，FB∥CD，

所以∠FCD=45°

，∠ACE=∠ACD=22.5°

又因为∠ACB=45°

所以∠FCB等于22.5，

故④正确；

延长DA，交BF延长线于M，

易证MBCD是平行四边形，对

角相等，所以∠M=67.5°

易证∠FAB=∠FCB（以FB为弦，亦可以用8字结构，相似），

所以∠FAE=22.5°

所以∠MAF=67.5°

所以∠M=∠MAF，

故AF=MF，

易证∠EBF=22.5°

所以∠FAB=∠FBA，

所以AF=FB，

所以MF=BF，

又因为MB=CD=CE（对边以及全等），

所以2FB=CE④∵∠ABC=90°

，OE=OC，

∴BO=CO=

CE

∴∠OCB=∠OBC．

∵∠FOB=∠OCB+∠OBC，

∴∠FOB=2∠OCB．

∵BF∥CD，

∴∠BFO=∠DCF．

∵∠BFO=∠DCF=∠FOB，

∴∠BFO=∠FOB．

∴BF=OB．

∴BF=

CE，

即CE=2BF，故③正确．

故答案选D．

【点评】本题考查了三角形全等的判断和性质；

垂直平分线的判定；

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

等腰直角三角形两底角都是45°

，题目难度不小，有一定的综合性．

4．（2016秋•富顺县期中）如图，∠MON=60°

【分析】根据垂线段最短得出当PQ⊥OM时，PQ的值最小，根据角平分线性质得出PQ=PA，求出即可．

当PQ⊥OM时，PQ的值最小，

∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=4，

∴PQ=PA=4，

故选D．

【点评】本题考查了角平分线性质，垂线段最短的应用，能得出要使PQ最小时Q的位置是解此题的关键．

5．（2016春•天桥区期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：

【分析】利用角平分线的性质计算．

∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，

∴DE=DF，且AD上任一点到AB、AC的距离相等；

又AB=AC，根据三线合一的性质，

可得AD垂直平分BC

∴BD=CD，

AD上任一点到B、C的距离相等．

【点评】此题主要考查角平分线的性质和等腰三角形的性质．

6．（2015•宜昌）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：

【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．

在△ABD与△CBD中，

∴△ABD≌△CBD（SSS），

故③正确；

∴∠ADB=∠CDB，

在△AOD与△COD中，

∴△AOD≌△COD（SAS），

∴∠AOD=∠COD=90°

，AO=OC，

∴AC⊥DB，

故①②正确；

故选D

【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据SSS证明△ABD与△CBD全等和利用SAS证明△AOD与△COD全等．

7．（2010•铁岭）如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE=4，BF=3，则EF的长为　7　．

【分析】因为ABCD是正方形，所以AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°

，则有∠ABF=∠DAE，又因为DE⊥a、BF⊥a，根据AAS易证△AFB≌△AED，所以AF=DE=4，BF=AE=3，则EF的长可求．

∵ABCD是正方形

∴AB=AD，∠ABC=∠BAD=90°

∵∠ABC+∠ABF=∠BAD+∠DAE

∴∠ABF=∠DAE

在△AFB和△AED中

∠ABF=∠DAE，∠AFB=∠AED，AB=AD

∴△AFB≌△AED

∴AF=DE=4，BF=AE=3

∴EF=AF+AE=4+3=7．

故答案为：

7．

【点评】此题把全等三角形的判定和正方形的性质结合求解．考查学生综合运用数学知识的能力．

8．（2015秋•江南区校级期中）如图，在△ABC和△BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F．若AC=BD，AB=ED，BC=BE，∠D=60°

，则∠ACB=　46°

　．

【分析】根据全等三角形的判定与性质，可得∠ACB与∠DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案．

在△ABC和△DEB中，

∴△ABC≌△DEB（SSS），

∴∠ACB=∠DBE．

∵∠AFB是△BFC的外角，

∴∠ACB+∠DBE=∠AFB，

∠ACB=

∠AFB=46°

46°

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，利用了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质．

9．（2011秋•海安县校级期中）如图：

，DE⊥AB于E，若四边形ABCD的面积为16，则DE的长为　4　．

【分析】可过点C作CF⊥DE，得出Rt△ADE≌Rt△DCF，得出线段之间的关系，进而将四边形的面积转化为矩形BCFE的面积与2个△CDF的面积，通过线段之间的转化，即可得出结论．

过点C作CF⊥DE交DE于F，

∵AD=CD，∠ADE=90°

﹣∠CDF=∠DCF，∠AED=∠DFC=90°

∴△ADE≌△DCF（AAS），

∴DE=CF=BE，

又四边形ABCD的面积为16，即S矩形BCFE+2S△CDF=16，

即BE•EF+2×

CF•DF=16，

BE•DE=BE•BE=16，解得DE=4．

故此题答案为4．

【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形、矩形面积的计算，能够熟练掌握．

10．（2012春•莱州市期末）如图，两条笔直的公路l1、l2相交于点O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A、B、D，已知AB=BC=CD=DA=5公里，村庄C到公路l1的距离为4公里，则村庄C到公路l2的距离是　4千米　．

【分析】首先连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，由AB=BC=CD=DA，即可判定四边形ABCD是菱形，由菱形的性质，可得AC平分∠BAD，然后根据角平分线的性质，即可求得答案．

连接AC，过点C作CE⊥l2于E，作CF⊥l1于F，

∵村庄C到公路l1的距离为4千米，

∴CF=4千米，

∵AB=BC=CD=DA，

∴四边形ABCD是菱形，

∴AC平分∠BAD，

∴CE=CF=4千米，

即C到公路l2的距离是4千米．

故答案是：

4千米．

【点评】此题考查了菱形的判定与性质以及角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

11．（2016•营口模拟）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC的长是　3　．

【分析】过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列出方程求解即可．

如图，过点D作DF⊥AC于F，

∵AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，

∴DE=DF，

由图可知，S△ABC=S△ABD+S△ACD，

×

4×

2+

AC×

2=7，

解得AC=3．

故答案为3．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

12．（2014秋•通山县校级月考）如图，已知BD、CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的位置、大小关系，并证明．

【分析】由条件可得出∠1=∠2，可证得△APB≌△QAC，可得结论．

【解答】结论：

AP=AQ，AP⊥AQ

证明：

∵BD、CE是△ABC的高，

∴∠1=∠2，

在△APB和△QAC中，

∴△APB≌△QAC（SAS），

∴AQ=AP，∠3=∠P，

而∠4+∠P=90°

∴∠3+∠4=90°

即AQ⊥AP．

【点评】本题主要考查三角形全等的判定和性质，在复杂的图形中找到可能全等的三角形是解题的关键．

13．（2009•青海）请阅读，完成证明和填空．

【分析】

（1）利用△ABC是正三角形，可得∠A=∠ABC=60°

，AB=BC，又因BM=AN，所以△ABN≌△BCM，∠ABN=∠BCM，所以∠NOC=∠BCM+∠OBC=∠ABN+∠OBC=60°

；

（2）同

（1）利用三角形全等，可知在正方形中，AN=DM，∠DON=90°

（3）同

（1），利用三角形全等可知在正五边形中，AN=EM，∠EON=108°

（4）以上所求的角恰好等于正n边形的内角

．（10分）

【解答】

（1）证明：

∵△ABC是正三角形，

∴∠A=∠ABC=60°

，AB=BC，

在△ABN和△BCM中，

∴△ABN≌△BCM，（2分）

∴∠ABN=∠BCM，

又∵∠ABN+∠OBC=60°

∴∠BCM+∠OBC=60°

∴∠NOC=60°

（2）解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠DAM=∠ABN=90°

，AD=AB，

又∵AM=BN，

∴△ABN≌△DAM（SAS），

∴AN=DM，∠ADM=∠BAN，

又∵∠ADM+∠AMD=90°

∴∠BAN+∠AMD=90°

∴∠AOM=90°

即∠DON=90°

（3）解：

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠A=∠B，AB=AE，

∴△ABN≌△EAM，

∴AN=ME，

∴∠AEM=∠BAN，

∴∠NOE=∠NAE+∠AEM=∠NAE+∠BAN=∠BAE=108°

（4）解：

以上所求的角恰好等于正n边形的内角

注：

学生的表述只要合理或有其它等价且正确的结论，均给分．本题结论着重强调角和角的度数．

【点评】本题需仔细分析图形，利用三角形全等即可解决问题，本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

14．（2014秋•平江区校级月考）△ABC的周长为20，∠A和∠B的平分线相交于P，若P到边AB的距离为4，则△ABC的面积为　40　．

【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到△ABC三边的距离相等，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

∵∠A和∠B的平分线相交于P，P到边AB的距离为4，

∴点P到AB、BC的距离为4，

∵△ABC的周长为20，

∴△ABC的面积=

20×

4=40．

40．

【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，三角形的面积，熟记性质并判断出点P到三角形三边的距离相等是解题的关键．

15．（2015秋•璧山县校级月考）如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上．求证：

【分析】延长BE交CD的延长线于点F，首先证明CF=BC，再根据等腰三角形的性质可得BE=EF，然后证明△ABE≌△FDE，进而得到FD=AB，再利用等量代换可得BC=AB+DC．

【解答】证明：

延长BE交CD的延长线于点F，

∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE，

∵AB∥CD，

∴∠F=∠ABE，∠A=∠FDA，

∴∠F=∠CBE，

∴CF=BC，

∵CE平分∠BCD，

∴BE=EF（三线合一），

在△ABE和△DFE中，

∴△ABE≌△FDE（ASA），

∴FD=AB，

∵CF=DF+CD，

∴CF=AB+CD，

∴BC=AB+CD．

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是证明线段相等的重要手段．