初高中数学衔接.方程与方程组.doc

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方程与方程组

★☆★【知识梳理】☆★☆

一、基本概念：

1、方程：

含有未知数的等式叫方程。

2、方程的解：

使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解。

只有一个未知数的方程的解又叫方程的根。

3、解方程：

求方程解的过程或判断方程无解的过程叫解方程。

4、同解方程：

在两个方程中，如果第一个方程的解都是第二个方程的解，并且第二个方程的解也都是第一个方程的解，我们就说这两个方程的解相同，这两个方程叫做同解方程。

5、方程的同解原理：

①方程的两边都加上或减去同一个数或同一个整式，所得的方程和原方程是同解方程。

②方程的两边都乘以或除以同一个不等于0的数，所得的方程与原方程是同解方程。

二、方程的解法：

1、一元一次方程：

（1）定义：

含有一个未知数，并且未知数的次数是1次的整式方程叫做一元一次方程。

（2）标准形式：

（）

（3）解法：

去分母去括号移项合并同类项系数化为1

（4）性质：

①一元一次方程必有唯一解；

②方程（）的解是直线与轴交点的横坐标。

2、一元二次方程：

思路：

方程是一元二次方程？

→方程有根？

→求方程的根？

→方程根与系数的关系？

→方程的应用

（1）定义：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。

（2）标准形式：

（）

（3）解法：

配方法求根公式法因式分解法

（4）根的判别式：

①定义：

方程（），式子叫做一元二次方程根的判别式。

②性质：

方程（）有两个不相等的实数根；

方程（）有两个相等的实数根；

方程（）没有实数根。

（5）根与系数关系：

（韦达定理）

①定理：

若方程（）的两根为、，则，。

（前提条件）

②常用等式变形：

，，

，，

，

3、分式方程：

（1）定义：

分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

（2）解法：

去分母转化为整式方程

（3）步骤：

①方程两边同乘以各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；②解整式方程，求出未知数的值；③验根；④写出原方程的根。

4、无理方程：

（1）定义：

根号下含有未知数的方程叫做无理方程。

（2）解法：

去根号转化为有理方程

（3）步骤：

①通过平方或换元，将无理方程转化为有理方程；②解有理方程，求出未知数的值；③验根；④写出原方程的根。

5、二元一次方程组：

（1）定义：

含有两个未知数，且未知项的最高次数是2的整式方程叫做二元二次方程。

含有两个未知数，未知项的次数都是1，且由两个方程组成的方程组叫做二元一次方程组。

（2）解法：

（代入法、加减法）消元求解

6、二元二次方程组：

（1）定义：

含有两个未知数，并且未知项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，或由两个二元二次方程组组成的方程组，叫做二元二次方程组。

（2）解法：

消元或降次

①由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组一般都可以用代入法求解；

②由两个二元二次方程组成，且其中至少有一个方程可以因式分解的方程组，可转化为两个由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组，或可转化为四个二元一次方程组。

三、方程的应用：

列方程解应用题的基本步骤：

1、设：

根据题意，设出适当的未知数

2、列：

将题中的关系式用未知数表示，列出方程

3、解：

解方程，求出未知数的值

4、验：

将所求未知数的值代入方程及实际问题进行检验

5、答：

对实际问题进行作答

（注：

设、答过程中应注意单位）

★☆★【经典例析】☆★☆

例1：

解关于的方程：

。

解析：

当时，；当、时，此方程无解；当时，为任意实数。

例2：

不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

（1）

（2） （3）

解析：

（1）∵，∴此方程有两个不相等的实根；

（2）∵，∴此方程有两个相等的实根；

（3）原方程化为，∵，∴此方程没有实根。

〖变式1〗已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程有实数根； （4）方程无实数根；

（5）方程一根大于1，一根小于1； （6）方程一根大于2，一根小于1。

解析：

（1）∵，∴；

（2）∵，∴；

（3）∵，∴；（4）∵，∴；

（5）∵∴，∴；

（6）令，则，∴，∴。

例3：

若是方程的两个根，试求下列各式的值：

（1）；

（2）； （3）； （4）。

解析：

∵，，∴

（1）

（2）；（3）；

（4）.

〖变式1〗已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值：

（1）方程两实根的积为5；

（2）方程的两实根满足。

解析：

，，

（1），∴，∴；

（2），，即，

则，∴，此时符合题意。

〖变式2〗已知是一元二次方程的两个实数根。

（1）是否存在实数，使成立？

若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

（2）求使的值为整数的实数的整数值。

解析：

由得，且，

（1）原式化为，即，∴与矛盾，故不存在符合条件的实数；

（2）为整数，∴，即

∵，∴。

例4：

解方程：

解析：

去分母得：

，解之得：

，，经检验是原方程的增根，∴。

〖变式1〗解方程：

解析：

令，则，解之得：

，，

当时，，∴；当时，，∴；

经检验、都是原方程的根，∴，、。

〖变式2〗解方程：

解析：

令，则，∴，∴，，

当时，，∴，∴，；

当时，，∴，∴；

经检验、、都是原方程的根，∴，、。

〖变式3〗解方程：

解析：

显然，则，∴，∴或，

当时，，此方程无实根；当时，，∴；

∴，。

例5：

解方程：

解析：

∵，∴，∴，，经检验是原方程的增根，

∴原方程的解为。

〖变式1〗解方程：

解析：

∵，∴，∴，∴，，

经检验是原方程的增根，∴原方程的解为。

〖变式2〗解方程：

解析：

∵，

∴令，则，∴，，

当时，，∴，∴，；

当时，，此方程无实根；

经检验、都是原方程的根，∴原方程的解为，。

〖变式3〗解方程：

解析：

∵，∴，∴，故此方程无解。

〖变式4〗求下列各式的值：

（1）；

（2）。

解析：

（1）设，则，∴，∴（舍）或

即；

（2）设，则，∴，则（负舍）

即。

例6：

解方程组：

解析：

：

，∴，；把，分别代入

（1）得：

，

∴原方程组的解为、。

〖变式1〗解方程组：

解析：

由韦达定理知、是方程的两根，解之得，，

∴原方程组的解为、。

〖变式2〗解方程组：

解析：

得：

，∴或

当时，，，；当时，，，；

∴原方程组的解为、。

例7：

解方程组：

解析：

由得：

，∴或；

则原方程组化为：

或

∴原方程组的解为、、、。

〖变式1〗解方程组：

解析：

由得：

，∴或；

则原方程组化为：

或

∴原方程组的解为、、。

〖变式2〗解方程组：

解析：

由得：

或；由得：

或；

则原方程组化为：

或或或；

∴原方程组的解为、、、。

例8：

解方程组：

解析：

：

，∴或；

则原方程组化为：

或；

∴原方程组的解为、。

〖变式1〗解方程组：

解析：

：

，∴或；

：

，∴或；

则原方程组化为：

或或或；

∴原方程组的解为、、、。

〖变式2〗解方程组：

解析：

：

，则原方程组化为：

；∴原方程组的解为、。

例9：

解方程组：

解析：

法1：

：

，∴：

，

∴，∴原方程组的解为。

法2：

：

，即

∴。

法3：

一组数据的方差，

∴。

〖变式1〗解方程组：

解析：

法1：

（配方法），

∴。

法2：

（不等式法）

∴，∴。

法3：

（韦达定理）是关于的方程的两根，

即，∴，即。

法4：

（方差法）

则一组数据的方差，

∴。

〖变式2〗解方程组：

解析：

数据的方差，∴。

〖变式3〗解方程：

解析：

∵，∴

即，∴。

例10：

有一根竹竿,不知道它有多长。

把竹竿横放在一扇门前，竹竿长比门宽多4尺；把竹竿竖放在这扇门前，竹竿长比门的高度多2尺；把竹竿斜放，竹竿长正好和门的对角线等长。

问竹竿长几尺?

（10）

〖变式1〗将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（1cm、4cm）

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2?

若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。

（不能）

★☆★【衔接提升】☆★☆

例1：

解关于的方程：

。

例2：

不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

（1）

（2） （3）

〖变式1〗已知关于的一元二次方程，根据下列条件，分别求出的范围：

（1）方程有两个不相等的实数根；

（2）方程有两个相等的实数根；

（3）方程有实数根； （4）方程无实数根；

（5）方程一根大于1，一根小于1； （6）方程一根大于2，一根小于1。

例3：

若是方程的两个根，试求下列各式的值：

（1）；

（2）； （3）； （4）。

〖变式1〗已知关于的方程，根据下列条件，分别求出的值：

（1）方程两实根的积为5；

（2）方程的两实根满足。

〖变式2〗已知是一元二次方程的两个实数根。

（1）是否存在实数，使成立？

若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

（2）求使的值为整数的实数的整数值。

例4：

解方程：

〖变式1〗解方程：

〖变式2〗解方程：

〖变式3〗解方程：

例5：

解方程：

〖变式1〗解方程：

〖变式2〗解方程：

〖变式3〗解方程：

〖变式4〗求值：

（1）；

（2）。

例6：

解方程组：

〖变式1〗解方程组：

〖变式2〗解方程组：

例7：

解方程组：

〖变式1〗解方程组：

〖变式2〗解方程组：

例8：

解方程组：

〖变式1〗解方程组：

〖变式2〗解方程组：

例9：

解方程组：

〖变式1〗解方程组：

〖变式2〗解方程组：

〖变式3〗解方程：

例10：

有一根竹竿,不知道它有多长。

把竹竿横放在一扇门前，竹竿长比门宽多4尺；把竹竿竖放在这扇门前，竹竿长比门的高度多2尺；把竹竿斜放，竹竿长正好和门的对角线等长。

问竹竿长几尺?

〖变式1〗将一条长为的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形。

（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?

（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2?

若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。

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