完整版等腰三角形三线合一专题练习1.docx
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完整版等腰三角形三线合一专题练习1
等腰三角形三线合一专题训练1
例1:
如图,四边形ABCD中,AB∥DC,BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
变1:
如图,AB∥CD,∠A=90°,AB=2,BC=3,CD=1,E是AD边中点。
求证:
CE⊥BE。
变2:
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD上一点,且AE、BE分别平分∠BAD、∠ABC.
(1)求证:
AE⊥BE;
(2)求证:
E是CD的中点;(3)求证:
AD+BC=AB.
变3:
△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,AB=AC.⑴若D为BC的中点,过D作DM⊥DN分别交AB、AC于M、N,求证:
(1)DM=DN。
A
⑵若DM⊥DN分别和BA、AC延长线交于M、N。
问DM和DN有何数量关系。
(1)已知:
如图,AB=AC,E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且BE=CF,EF交BC于点D.求证:
DE=DF.
(2)已知:
如图,AB=AC,E为AB上一点,F是AC延长线上一点,且,EF交BC于点D,且D为EF的中点.求证:
BE=CF.
利用面积法证明线段之间的和差关系
1、如图,在△ABC中,AB=AC,P为底边BC上的一点,PD⊥AB于D,PE⊥AC于E,?
CF⊥AB于F,那么PD+PE与CF相等吗?
变1:
若P点在直线BC上运动,其他条件不变,则PD、PE与CF的关系又怎样,请你作图,证明。
1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为()
A17B22C17或22D13
根据等腰三角形的性质寻求规律
11
例1.在△ABC中,AB=AC,∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,BD与CE相交于点O,如图,∠BOC的大小
22
与∠A的大小有什么关系?
11
若∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?
33
11
若∠1=∠ABC,∠2=∠ACB,则∠BOC与∠A大小关系如何?
nn
会用等腰三角形的判定和性质计算与证明
例2.如图,等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD?
将这个等腰三角形周长分成15和6两部分,
求这个三角形的腰长及底边长.
利用等腰三角形的性质证线段相等
例3.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA、PB、PC,?
以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系,并证明你的结论.
(2)若PA:
PB:
PC=3:
4:
5,连结PQ,试判断△PQC的形状,并说明理由.
例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分,则腰长为()
A、2cmB、8cmC、2cm或8cmD、不能确定
例2、已知AD为△ABC的高,AB=AC,△ABC周长为20cm,△ADC的周长为14cm,求AD的长。
A
例4、如图,已知等边△ABC中,D为AC上中点,延长BC到E,使CE=CD,连接DE,试说明DB=DE。
例5、等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为450,则这个三角形是()
A、锐角三角形B、钝角三角形C、等边三角形D、等腰直角三角形
例6、
(1)等腰三角形的腰长为10,底边上的高为6,则底边的长为。
(2)直角三角形的周长为12cm,斜边的长为5cm,则其面积为;
(3)若直角三角形三边为1,2,c,则c=。
例7、下列说法:
①若在△ABC中a2+b2≠c2,则△ABC不是直角三角形;
0222②若△ABC是直角三角形,∠C=900,则a2+b2=c2;
③若在△ABC中,a2+b2=c2,则∠C=900;
④若两直角边的平方和等于斜边的平方,可以判定这个三角形是直角三角形。
正确的有(把你认为正确的序号填在横线上)。
例8、正三角形ABC所在平面内有一点P,使得△PAB、△PBC、△PCA都是等腰三角形,则这样的P点有()
(A)1个(B)4个(C)7个(D)10个
例9.四边形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于点E,且四边形ABCD的面积为8,则BE=()
13、如图是一个等边三角形木框,甲虫P在边框AC上(端点A、C除外),设
另外两边距离之和为d,等边三角形ABC的高为h,则d与h的大小关系是()
解题方法指导】
例1.已知,如图,AB=AC=CD,求证:
∠B=2∠D
【考点指要】
等腰三角形、等边三角形及含30°角的直角三角形是应用非常广泛的图形,因此,在中考试题中
经常以证明题或计算题频频出现,而且经常把它们结合在一道题中加以应用,虽然题目的难度不是很大,但也要善于分析,找出图形中有关的性质。
典型例题分析】
例1.(2005年苏州)
如图,等腰三角形ABC的顶角为120°,腰长为10,则底边上的高AD=
例2.已知,如图,△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AB于E,交AC于D,AD=8,∠A=30°,求CD的长。
例3.已知,如图,△ABC是等边三角形,E是AB上一点,D是AC上一点,且AE=CD,又BD
与CE交于点F,试求∠BFE的度数。
3.已知,如图,△ABC中,DE//BC,AB=AC,求证:
AD=AE
4.已知,如图,△ABC中,AB=AC,D是AB上一点,E是AC延长线上一点,DE交BC于F,又BD=CE,求证:
DF=EF
E
5.已知,如图,D是BC上一点,△ABC、△BDE都是等边三角形,求证:
AD=CE
6.
已知,如图,△ABC中,∠B=90°,AC的垂直平分线交AC于D,交BC于E,又∠C=15EC=10,求AB的长。
∵∠EDF=90°,∴∠EDA+∠ADF=90°,
又由AD⊥BC得∠BDE+∠ADE=90°,∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE和△ADF中,∠B=∠DAF,BD=AD,∠BDE=∠ADF,∴△BDE≌△ADF,∴BE=AF,∴AE+AF=AE+BE=AB(定值).
思考:
四边形AEDF的面积是否也是定值呢?
为什么?
思考:
请同学们试试用另外的方法来证明本题
证明:
延长AO交BC于点D,
∵AB=AC,OB=OC,OA=OA,∴△ABO≌△ACO,
∴∠BAO=∠CAO,即∠BAD=∠CAD,
∴AD⊥BC,即AO⊥BC.
点E,求证:
PD+PE是一个定值.
说明:
本例的结论可用文字语言叙述为:
等腰三角形底边上一点到两腰的距离之和等于腰上的高
有怎样的关系呢?
即,PDPECF(定值).
即,当点P在BC延长线上时,PD与PE之差为一定值基础训练:
1、填空题:
(1)等腰三角形中,如果底边长为6,一腰长为8,那么周长是。
(2)如果等腰三角形有一边长是6,另一边长是8,那么它的周长是;如果等腰三角形的两
边长分别是4、8,那么它的周长是。
(3)等腰三角形的对称轴最多有条。
2、填空题:
(1)如果△ABC是等腰三角形,那么它的边长(或周长)可以是()
A、三条边长分别是5,5,11B、三条边长分别是4,4,8
C、周长为14,其中两边长分别是4,5D、周长为24,其中两边长分别是6,12
(2)等腰三角形一边长为2,周长为5,那么它的腰长为()
A、3B、2C、1.5D、2或1.5
3、已知等腰三角形的腰长是底边的3倍,周长为35cm,求等腰三角形各边的长。
4、已知:
如图,AD平分∠BAC,AB=AC,请你说明△DBC是等腰三角形。
1)等腰三角形的顶角平分线、
2)等腰三角形有一个角是120°,那么其他两个角的度数是和。
3)△ABC中,∠A=∠B=2∠C,那么∠C=。
4)在等腰三角形中,设底角为x°,顶角为y°,则用含x的代数式表示y,得y=;用含y的代数式表示x,得x=。
2、选择题:
(1)等腰三角形的一个外角为140°,那么底角等于()
A、40°B、100°C、70°D、40°或70°
2)等腰三角形一腰上的高线与底边的夹角等于()
A、顶角B、底角C、顶角的一半D、底角的一半
3)在等腰三角形ABC中,∠A与∠B度数之比为5∶2,则∠A的度数是()
A、100°B、75°C、150°D、75°或100°
4)等腰三角形ABC中,AB=AC,AD是角平分线,则“①AD⊥BC,②BD=DC,③∠B=∠C,④∠BAD=∠CAD”中,结论正确的个数是()
A、4B、3C、2D、1
3、如图,已知△ABC中,D在BC上,
4、如图,已知△ABC中,点D、E在BC上,AB=AC,AD=AE。
请说明BD=CE的理由。
1、填空题:
1)在△ABC中,∠A的相邻外角是110°,要使△ABC是等腰三角形,则∠B=
2)在一个三角形中,等角对;等边对。
3)如果等腰三角形底边上的高线和腰上的高线相等,则它的各内角的度数是
4)如图,AB=AC,BD平分∠ABC,且∠C=2∠A,
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=108°,∠ADB=72
3、如图,在△ABC中,∠B和∠C的平分线相交于点O,且OB=OC,请说明AB=AC的理由。
4、如图,已知∠EAC是△ABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC,请说明AB=AC的理由。
5、如图,AB=AC,∠ABD=∠ACD,请你说明AD是BC的中垂线。
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