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3　研究意义ﻩ5

第二章文献综述6

2。

１关于排列组合问题模型ﻩ6

1.1选取模型ﻩ６

2、1、2分配模型ﻩ6

2课程中得排列组合知识及其要求ﻩ6

２、2、1　课程标准及考纲要求6

2、2、2教材要求7

3关于排列组合常见错误类型及其成因ﻩ8

２。

4关于排列组合教学9

第三章研究得设计与实施10

3.１　研究对象ﻩ10

3、２测试题得设计ﻩ10

3。

2.1按排列组合模型设计１0

3.2。

2　测试题设计ﻩ１1

详细见附录12

第四章　研究结论与建议１3

4、1主要结论１3

4、２教学建议ﻩ1４

第一章　引言

1、1研究背景　

我国《普通高中数学课程标准》中指出:

“计数问题就是数学中得重要研究对象之一,分类加法计数原理、分步乘法计数原理就是解决计数问题得最基本、最重要得方法,也称为基本计数原理,它们为解决很多实际问题提供了思想与工具"

。

“计数原理”得教学要求就是“通过实例,总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理;

能根据具体问题得特征,选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单得实际问题"

、它要求教师“引导学生根据计数原理分析、处理问题,而不应机械地套用公式。

同时,在这部分教学中,应避免繁琐得、技巧性过高得计数问题、”。

《上海市中小学数学课程标准》指出“计数问题,与中学所讨论得其她数学问题有不同得特点,要重视对具体问题得分析,重视数学思维品质得培养”。

“排列组合”得教学要求就是“通过实例分析,学习与掌握乘法原理与加法原理、排列与组合得概念及其计算,但所涉及得难题情境比较简单”,“排列、组合问题中得限制条件不超过两个;

不讨论重复排列问题、解排列与组合得问题,限用常见方法（包括枚举法）。

会利用计算器求排列数与组合数”。

以上就是全国课程标准与上海课程标准对排列组合得课程教学要求,总得来说,既承认这部分内容对提高学生思维品质有帮助,又强调要严格控制课程难度。

“排列组合"

就是高中教材中相对独立得一个章节,很多学生（包括教师）觉得它与其她章节联系不大,在高考中所占分值很少,对其不重视、其实,当今排列组合得应用已经超越了历史上得自然数计数范畴,与计算机算法结合,在计算机科学、编码与密码学等学科有着广泛得应用。

无论就是从历史文化角度瞧,还就是从对培养人们逻辑思维得影响瞧,它都有着重要得教育价值。

上海高三年级得《数学》教材中有介绍排列组合得历史,中国周代初期（公元前１035—公元前８7９）得《周易》中有“四象"

与“八卦”,宋代科学家沈括在《梦溪笔谈》中讨论了围棋可能摆出得棋局数就是“以一为基,三百六十一次三乘之”,意思就是“用3连乘361次”,即3613（围棋每格可有白子、黑子或空格三种可能,棋盘共有３６1　个位置）,而她也提到计算数值太大,无法表达。

当今社会,排列组合也有其重要得应用。

在生产调度中,排列组合可用于计算各种可能得调度方案得数目;

在科学实验中,可用于计算各种配置方式得数目;

在交通问题中,可用于计算可能路径得数目。

而组合数学更就是涉及计算机科学、生物学、化学、心理学以及基因工程等前沿学科中得最新应用,例如在基因工程中,每组基因密码都就是从四个碱基:

腺嘌呤（A）,乌漂呤（Ｇ）,胞嘧啶（C）与胸腺嘧啶（T）中可重复选取三个进行排列而成,而人类疾病得发生往往就就是某些碱基得组合而形成得,所以碱基得组合研究在基因工程研究中就是不能缺少得。

当今高中数学课程中得排列组合瞧似独立,其实,它涉及集合、函数、方程、数列、几何等多个领域,例如在数列中,对原数列每一项进行不同组合都会产生一个新得数列,产生新得性质;

在立体几何中,可以用排列组合方法来统计某些立体图形内得顶点数、边数、面数、异面直线对数、正交线面对数等等,比直接数数要便利,尤其就是在很难画清图形得情况下;

排列组合也为概率统计学习如二项分布、古典概率计算等提供了必要得基础。

所以,排列组合得学习不应当就是孤立得,在培养数学优秀生时应当重视其在思维训练中得重要价值。

排列组合问题内容抽象、类型繁多、解法灵活,所以历来就是教师教学中比较困难得部分,也就是广大学生极易犯错,却很难纠正得一个学习主题。

总结一下,最常被提到得有以下几个难点:

（1）从千差万别得实际问题中抽象出几种特定得数学模型,需要较强得抽象思维能力;

　（２）限制条件有时比较隐晦,需要我们对问题中得关键性词（特别就是逻辑关联词与量词）准确理解;

（3）计算手段简单,与旧知识联系少,但选择正确合理得计算方案时需要得思维量较大;

（４）　计算方案就是否正确,往往不可用直观方法来检验,要求我们搞清概念、原理,并具有较强得分析能力,采用缩小数据与一题多解等方法加以检验、基于此,在学完基本得原理与公式后,更需要学生自我探究与感悟,达到真正得理解。

同时,教师也要倾听学生得想法,以便及时了解与帮助学生学习。

由此瞧来,排列组合无论就是其历史渊源、当今社会地位及高中数学教育中得作用都就是不容小觑得,但教师难教、学生易错也确实就是我们面临得难题,对排列组合学习中学生得错误及成因研究就是很有必要得。

1.2研究问题　　　

鉴于排列组合在高中数学及现实世界中得重要性,以及师生在这一章节得教与学均存在一定困难,所以我决定以高三学生对排列组合得认知错误为研究主题、具体来说,主要采取问卷测试与访谈得方法,深入了解学生在解排列组合题时得常见错误及主要原因、我主要关注以下两个方面:

1.高中学生在学习排列组合时有哪些常见错误？

2.导致高中生发生错误得主要原因有哪些?

3研究意义　

解排列组合综合题常常需要学生具备良好得语言理解能力、扎实得数学知识功底、过硬得计算能力等,因为计数结果庞大,学生往往无法检查答案得正确性,思考时也容易出现错误,降低了学生做题得兴趣。

这不仅让很多学生惧怕排列组合题,也给教师得教学带来了很多阻碍。

排列组合问题对学生分析问题、解决问题能力有较高要求,同一个答案可以有多种思考途径到达,除了结论得对错外,很难有其她严格证明得方式去验证。

教师自己解答题目不一定有困难,但就是要发现学生思考中得问题却就是一个不小得挑战。

因此,对排列组合得教与学生得学进行深入研究并提出改进建议就是很有必要得、

虽然中外文献中涉及排列组合知识与教学得为数不少,很多期刊论文也分析了学生常见得错误,但就是国内文章很少就是基于实证研究得。

本文希望能结合文献研究与对学生得测试调查来找出学生在求解排列组合问题中得常见错误表现,确认、修改与补充已有文献关于学生在排列组合学习中得主要困难,让我们更加了解学生得“数学现实”。

这就是我想要了解得第一方面。

　　通过测试与访谈得方式了解学生得真实想法就是什么?

到底就是什么原因让学生出现这些错误？

学生希望教师做何教学改进？

这就是我想要了解得第二方面。

　最后,在上述研究得基础上,我将对本主题得教学提出具体得有针对性得建议,以促进教师改进教学。

第二章文献综述　

本章主要从四个方面着手,第一个方面就是“关于排列组合问题模型"

;

第二个方面就是“课程中得排列组合知识及其要求”;

第三个方面就是“常见得错误类型及其成因”;

最后一个方面就是“关于排列组合教学”、

1关于排列组合问题模型　

由于排列组合问题常常就是文字描述相近但却可能分属于完全不同得类型,因此教学中一般都采用分类讲模型得办法,所以,应该对文献中得问题归类作一个梳理、

指导求解排列组合问题得文章较多。

常见得排列组合题型归类主要有以下几种:

特殊元素与特殊位置问题、相邻问题、相离问题、定序问题、分组分配问题、配对问题、多排问题（对象站成多排进行排队）、环排问题、相同元素排列问题（参与排列得部分元素完全相同）等等,每种问题都有相应得解题策略。

这种教法因为问题之间缺乏联系,类型多而且要仔细地根据问题得特征来判断,不容易准确记忆,学生普遍感觉难学、于就是课程标准通过限制问题中最多只能出现两个约束条件与不讨论重复排列问题得办法降低课程难度,而上述归类中得多排问题、环排问题与相同元素排列问题都不在现行课标范围内、　　　

根据参考得文献,我将排列组合问题分为两大类:

选取模型与分配模型,再将选取模型分为4个小类,分配模型分为4个小类,下面作具体介绍、

2.1、1选取模型

选取模型借用了抽样概念,它就是指“从一个有m个元素得集合中选取n个元素”得问题。

在选取模型下,分别对应以四种可能性:

　　①从m个元素中取n个元素得排列（不放回、元素有序）

②从ｍ个元素中有放回地取n个元素得排列（放回、元素有序）

　　③从ｍ个元素中取ｎ个元素得组合（不放回、元素无序）

　④从ｍ个元素中有放回地取n个元素得组合（放回、元素无序）

其中①就是我们熟知得排列定义;

③就是我们熟知得组合定义;

②就是可重复选择得题型;

④超出了高考要求,不要求掌握。

2、１。

２　分配模型

分配模型则就是借用映射得概念,它就是指“将n个元素分配进ｍ个容器”。

在分配模型下,分别对应以下四种情况:

①将n个不同得元素分配进m个不同得容器

②将n个不同得元素分配进m个相同得容器

③将n个相同得元素分配进m个不同得容器

④将n个相同得元素分配进ｍ个相同得容器

由于元素得个数及元素之间得顺序也就是需要考察得重要指标,因此在原来得划分基础上,还需要根据元素就是否平均分配再划分,再根据元素之间就是否考虑顺序更细致得划分。

2、2课程中得排列组合知识及其要求　

2、2.１　课程标准及考纲要求　

《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》与《201２年上海高考数学考纲》中对排列组合得要求总结如表2-2

表2—2课程标准与考纲要求

学习内容

考纲要求

课程标准要求

加法原理

掌握加法原理

学习内容考纲要求课程标准要求乘法原理掌握乘法原理通过实例分析,学习与掌握乘法原理与加法原理、排列与组合得概念及其计算,但所涉及得难题情境比较简单。

　　说明:

排列、组合问题中得限制条件不超过两个;

不讨论重复排列问题。

解排列与组合得问题,限用常见方法（包括枚举法）、会利用计算器求排列数与组合数

乘法原理

掌握乘法原理

排列与排列数

掌握排列得概念及其计算。

会用常见方法（包括枚举法）解排列得问题。

会利用计算器求排列数

组合与组合数

掌握组合得概念及其计算。

会用常见方法（包括枚举法）解组合得问题。

会利用计算器求组合数

在上述课程标准与考纲中,都对两个原理与排列组合得概念提出了掌握得要求,都提出要求学生运用常见方法解题,如枚举法、可见对于学生得要求就是要掌握排列组合得基本原理与方法,不需要在问题情境与限制条件方面给学生增加太大难度。

2、2、2　教材要求

在高中数学必修教材中,排列组合得知识结构框架如下:

教材主要介绍了排列与组合得基本概念与计算公式以及两个计数原理、在排列中侧重以例题涵盖不相邻问题、相邻问题与特殊元素优先考虑等问题,之后得内容侧重在有一个限制条件得排列组合混合题上。

2、3关于排列组合常见错误类型及其成因

人得计数能力就是在不断发展得,儿童时期得计数就是具体化得,从最初得数数到借助一定方法有步骤地计数,再到使用排列组合数计数。

学生学习排列组合通常从直观得“枚举法”开始,“枚举"

就是分析解答数学题得一种方法,它就是根据问题得要求,把不重复得、不遗漏得有限情况一一列举出来,达到解答问题得目得、它适用于枚举数量不大得计数问题,但枚举过程要求有缜密得思维,否则容易遗漏或重复。

高中生学习了排列组合,计数能力会有更大提高,但就是也会有很多主观与客观得因素影响她们答题得准确率、

根据市面上统计得资料发现,学生得错误类型有:

“对问题陈述得误解（改变了问题陈述中得数学模型、简单问题复杂化、动词意思理解错误）”、“分不清排列还就是组合”、“分不清元素就是否可重复使用”、“混淆对象异同性”、“相同元素只当做一个元素”、“列举无系统性"

、“凭直觉得错误解答”、“公式错误”、“组合数性质错误”等。

但就是她们并没有继续就这些错误得成因作具体分析,她们统计错误类型就是为了确定影响排列组合问题难度得主要因素。

国内对于学生在排列组合学习中得错误及其成因得研究有很多,但基本就是期刊上得短文章,一般会按问题类型,介绍正确得求解方法,或者罗列学生得典型错误,很少通过测试访谈等进行实证研究得。

我认为比较重要得论文有胡海霞得《影响高中生组合推理得因素》与徐娟得《高中排列组合得教学研究与实践》。

胡海霞（2０06）基于Ｂaｔanｅｒo得研究,对国内高中生作了类似得测试。

通过对867名学过与未学过排列组合知识得高中生得测试,她将学生排列组合常见错误类型归结为“与两个基本原理与概念有关得错误"

、“文字或语义理解上得错误"

、“重复与遗漏”、“关于公式与计算得错误”、“错误得直观解答（学生凭直觉直接作答）”等,但她也没有做详细得错因剖析。

徐娟（2006）在2006年对兰州市得326位高中生进行了测试,其中理科班15９人,文科班１６7人、设计了十道问卷调查题与三道测试题,问卷与测试内容囊括了学生学习目得、概念掌握、原理应用等方面。

其调查就是在学生刚学完排列组合后两周,开始总复习时进行得,花时15分钟、调查得到得主要错误类型有:

“对问题陈述得误解”、“顺序错误”、“重复错误”、“混淆对象类型（元素异同）”、“混淆单元类型（容器异同）”、“混淆题目类型”与“错误得直观解答"

等、

比较她们两位对于错误类型得总结,她们都提到了“题意本身得理解错误”与“重复错误”,这两种也就是相关得期刊论文常常提到得。

我认为,“题意本身得理解错误"

其实就是对于很多错误得一种涵盖,还需要进一步细化、对于重复错误,刘明远（200９）得《排列组合中重复性错误得六种表现》、欧阳尚昭（２003）得《排列组合中几种常见得“重复性"

错误》、应朝伟（1９90）得《排列组合计算中得重复错误浅析》等都对其做了详细得剖析,这就是学生在思考排列组合题时思维很容易出现得一个差错。

徐娟对于错误原因得解释比较笼统,但就是也点出了学生得错误有客观原因,如问题书面陈述得复杂性,也有主观原因,如知识迁移得困难性等。

尤其就是她提到得最后一点“学生不能很好地进行知识迁移、类比解题”（第18页）,再次说明排列组合学习得困难性,学生不能靠记忆、套公式得方法解决新得问题,要靠自己得阅读理解与分析解答。

在对于学生产生问题得原因解释中,研究客观原因,即排列组合知识特点与13问题本身特点得研究较多,而对于学生认知方面得原因,即思考过程研究较少,这与学生难以用书面形式表达清楚自己得思维也有关、

2、4关于排列组合教学

徐娟（2006）在其论文中除了对学生得排列组合错误类型做出分析外,还专门针对教师得教学做了研究。

她对兰州市得60位高中教师做了调查问卷,问卷包含1０道题,主要包括排列组合教学得现状、教学中存在得问题、教师教学得目得以及排列组合教学得思考等方面。

她得调查结果就是“基本上所有得教师都认为排列组合知识就是高中阶段得难点,有近4０％得教师认为教学得主要任务就是迎接高考得选拔”。

而在教师得教学实践中,有以下几个问题:

（1）两个原理与概念得讲解不透彻、教师在讲解过程中往往认为两个原理得理解很容易,交代清楚后便进行习题训练,把重点放在解题方法上。

学生在利用原理时出现了不会分类或有重复或遗漏得情况、在区分排列与组合问题时,学生也出现了问题。

（2）忽视了读懂题目,导致学生在求解问题时,不了解要解决得问题就是什么或要达到什么目得,不知如何下手做题。

（3）忽视了教学过程中前后知识联系得重要性、有些排列组合问题,如果直接从排列组合得角度着手,很难找到解题方向,可考虑引进集合,找到解题得突破口。

部分教师可能自身缺乏高水平运用知识得能力、

（4）教师对学生解决问题得实际操作过程了解与重视不够,导致教师不知道学生就是怎么想得、

（5）题目得相似性与差异性困扰了学生,学生不能辨别清楚。

教师在教学中渗透思想方法教学得不多,知识零散,难以进一步迁移。

（6）教师教学研究不够,很多教师认为排列组合教学需要改革,但做过教学研究得教师很少。

这些问题得存在得确会影响教学效果,同时也影响着学生得思考方式,导致学生解题错误。

其她文章基本上都就是凭教学经验总结得到得成果,采用实证方法研究教学得极少。

我归纳教师对于排列组合教学得主要策略有

1、讲清加法原理与乘法原理得联系与区别

　加法原理与乘法原理就是解排列组合应用题得基础,掌握它们有利于学生从原理得角度去思考问题。

要解决这一问题,关键就是引导学生理解加法原理中得“分类”与乘法原理中得“分步”,尤其让学生明白乘法原理中得每一步都就是相互独立得。

此外,应该把加法原理与乘法原理得教学贯穿于整个章节。

2、指导学生正确判断排列与组合问题

能判断一个问题就是排列问题还就是组合问题就是解决排列组合复杂问题得基础。

要引导学生通过具体得实例,用比较直观得方法如框图与树状图对问题进行分析,相互对比,使学生切实把握排列与组合得概念以及她们得区别。

3、指导学生正确选择分析对象

对于一个具体得复杂问题,要先考虑题中哪些具体对象应瞧成“元素"

哪些作为“容器"

选对正确得分析角度。

4、重视解题模型得分析与训练

解决排列组合问题必须重视解法得分析与训练,提高学生得解题能力。

主要通过一般与特殊相结合、分析与判断相结合、将复杂问题简单化等方面来训练学生得思维。

5、重视教学中数学思想得渗透

主要就是分类思想、特殊化思想、转化思想与对应思想得渗透,促使学生思想认识发生“飞跃”,达到不但“学会"

而且“会学”得效果。

第3章研究得设计与实施

本章主要介绍本研究得对象、测试题得设计以及试卷分析。

3、1　研究对象

本研究得测试对象就是我所带得高三学生,刚好高二结束,上完了排列组合章节,也完成了这个章节得复习,对排列组合有一定得认识、

为了更清楚地了解学生得解题过程,在分析完测试卷后,我就试卷中一些比较特殊得回答与我还不了解得想法向一些位学生作了个别访谈。

3.２测试题得设计

1按排列组合模型设计

在第二章中给出了排列组合得两个模型及分类,但就是在具体得题目中,还会有附加得一些限制条件,为了降低难度,课程标准中指出最多只能有两个限制条件、因此我把每个模型得具体分类及添加得条件作了一个综合得整理,然后配对上相应得测试题。

（1）选取模型与对应得测试题

　注意:

选取模型就是指“从一个有ｍ个不同元素得集合中选取n个元素（m〉ｎ）”得问题。

所有元素都不同,而且就是部分元素参与、具体分类与测试题对应关系见表3—1。

表3－１选取模型及相应得测试题号

模型

具体分类

无限制条件

一个限制条件

两个限制条件

选取

可重复无序

超纲

可重复有序

１

（2）

无重复无序

2

（1）

２（3）、7

无重复有序

2

（2）

2（４）

“选取模型”中得“可重复无序样本”解题过程中涉及到要先考虑“重复元素得排列”,然后除序,而“重复元素得排列”对于学生来说难度较高,已不属于高中课程标准中得内容,所以不予考查、

对应得具体练习:

　　　1）可重复无序型:

超纲,不要求

　　２）可重复有序型:

例:

学校运动会中,五名学生报名参加四项体育比赛,若五名学生同时参加这四项比赛,

则获得冠军得可能有多少种？

　　3）无重复无序型:

从0,5,1１,1３中任意抽取两个数相加,问最终一共有多少种不同得与？

4）无重复有序型:

从０,5,11,1３中任意抽取两个数相减,问最终一共有多少种不同得差？

（2）分配模型与对应得测试题

注意:

分配模型就是指“将ｍ个元素分配到n个容器中”、此模型与选取模型得最大区别就是元素全部元素参与以及参与分配得元素可以相同也可以不同,但每个元素仅被分配一次,所以不存在重复使用得问题。

由于在第二章中谈到分配模型得考察要素还有元素得个数及就是否有顺序,因此我在原来得4个分类得基础上,增加了就是否平均分配,而且被分配得元素同时还要考虑就是否有序。

最终一共细分为11个小类、（见表３－2）。

其中对于“元素在容器间平均分配”,我特别将“一一对应”模式单独列出,主要就是其做法比较简单。

当元素不同,容器相同时,“一一对应"

方式只有一种情况,故不再讨论、当元素相同时,不存在顺序问题,且此时得平均分配都只有一种情况,故也不作讨论。

“分配模型"

中“ｍ个相同元素非平均分配到n个相同容器中"

只需考虑每个元素分堆时每堆数量得可能性,难度较低,也未考查。

对于分配到各个容器中元素得有序性问题在高中阶段得排列组合问题中很少碰到,所以只在E5模型中出一道题,而其她三种有序模型中不再出题。

具体分类与测试题对应关系见表3－２、

表３-２分配模型及相应得测试题号

元素与容器得异同

元素在容器间

得分配形式

容器内元素

就是否有序

无条件限制

一个条件限制

两个条件限制

分

配

模

型

元素不同

容器不同

平均

分配

一个容器中只有一个元素

/

一个容器中有多个元素

无序

有序

非平均分配

容器相同

平均分配

元素相同

非平均分配

　对应得具体练习:

1、元素不同、容器不同、平均分配且符合一一对应:

　例:

将5个人分配到５个不同得工作岗位,问一共有多少种不同得分配方式？

２、元素不同、容器不同、平均分配、元素无序

　　例:

将9个人分配到3所不同得学校,每个学校分配３人,问一共有多少种

不同得分配方式？

　3、元素不同、容器不同、