基于数学建模素养的教学设计研究以导数及其应用为例文档格式.docx

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2011年，我国颁布的《义务教育数学课程标准》中提出了义务教育阶段数学学习十大核心素养，并指出数学学科核心素养是数学课程目标的集中体现，其中模型思想作为一个重要的核心概念被提出[2]。

随着新课程改革的推进，2017年，我国颁布了《普通高中数学课程标准》中包含了学科核心素养和课程目标的相关要求，而数学建模就是数学学科六大核心素养之一，对学生的终生发展起着至关紧要的作用，《普通高中数学课程标准》更是明确将学科核心素养进行了进一步的水平划分[3]。

由此，数学模型思想的重要程度是不言而喻的。

可以说，新课程改革给中学生数学建模素养的数学教学发展提供了新的指导和希望。

1.2本论文研究的目的和意义

1.2.1研究的目的

研究“导数及其应用”中数学建模素养的教学设计的目的有两个。

第一，了解中学生对数学模型的了解及感受，以及教师对数学建模素养的培养的方式，理解数学建模素养的意义，为今后中学教学做出准备。

虽然数学建模活动已经在全国推行，但是主要是集中在大学生数学建模竞赛当中，中学学习模型思想较为轻视，应用于课堂之上教师更是没有那个意识，更没有了解学生对模型思想的了解及感受，作此研究希望能够有助有为培养学生数学建模素养的教学的落实。

第二，为其他教师在有意识的进行建模教学以及学生学习数学建模时提供建议。

现今大部分中学生的模型思想较为薄弱，缺少数学建模思维，而现在大多数的数学建模教学研究却正好没有考虑学生的抽象思维的发展，学者们更多的是研究学习如何学习和提高成绩，导致只有部分对数学建模有兴趣的学生有一点建模基础，为了能够给学生数学建模素养的高楼奠定地基，本文从具体的内容出发感受教学过程中的教学研究，从而让学生数学建模素养培养得到更好的机会。

1.2.2研究的意义

本文的研究意义也分为两个，从理论和实践上探究。

从理论上，大多数高中生没有数学建模能力，更别提数学建模思维的发散，

因为课堂上以学生为主体的教学案例很少，本文根据新课改的要求完善“导数及其应用”中数学建模素养的教学原则和教学策略，为“导数及其应用”的教学设计提出数学建模的课前、课中和课后的教学建议，也为教师日后在课堂数学建模内容提供参考。

从实践上，从学生身边的实际问题入手，指导如何将数学建模素养体现于

“导数及其应用”的教学设计，将数学建模导入课堂，发挥学生的主观能动性，帮助和引导学生对实际问题进行抽象化成数学问题，培养学生的数形结合思维，使学生养成使用数学建模方法解决问题的习惯，打破现实生活与数学之间的壁垒，从而日渐提高学生的数学建模素养。

1.3本文的研究思路和方法

1.3.1研究思路

本文首先通过文献综述，了解有关数学建模的各类研究和“导数及其应用”教学的原则和策略。

总结出前人的方向，另辟蹊径以学生为主体进行分析，根据研究主题出发，查找文献，确定研究方向和研究意义，发现需要的研究理论。

然后根据数学建模的各阶段的框架去分析“导数及其应用”中蕴含的数学建模素养，并以“导数及其应用”的为例提出基于数学建模素养教学设计研究方向，按照构建数学模型的步骤，进一步研究教学方法和策略。

最后，根据教学策略和方法，选取一个在“导数及其应用”这部分内容中具有代表性的案例进行具体的教学案例分析，做出相应的教学设计。

具体思路如图1.1所示。

1.3.2研究方法

（1）文献资料研究法：

初期通过各方面渠道收集有助于本文思考的数学建模和“导数及其应用”相关研究，找出对应的理论基础，整理并分析前人的成果和结论。

（2）个案研究法：

在新课标教学要求的指导下，选取高中数学知识中“导数及其应用”这代表性较强的内容，结合基于数学建模素养进行具体的案例分析，并做出相应教学设计。

（3）文本分析法：

通过熟读高中数学教材人教版《必修2-2》和《普通高中数学课程标准（2017版）》，研究数学建模素养的涵义以及“导数及其应用”这部分内容的教学目标。

2.文献综述

2.1导数及其应用的教学相关研究

针对导数及其应用的教学设计，安常胜认为要理解课程标准的要求，把握课堂教学主线一逼 

近思想、以直代曲思想、数形结合思想[4]。

张美娟认为针对“导数及其应用”的教学应渗透数学文化，培养建模能力；

总结导数及其应用的考察题型；

从高等数学的角度看待导数的某些知识[5]。

刘嘉祥认为在导数及其应用的的案例教学中，为了学生们更好的掌握，应该使用综合分析、专题分析、项目分析等方法[6]。

杨晓转在进行“导数及其应用”的教学时，应加强对微积分历史的介绍；

加强教师多媒体使用技巧的培训；

教师之间应相互讨论开阔视野弥补教学中的不足加强新课改提倡的新的学习方式使用的培训；

以及改变学生评价体系，在关注学生成绩的同时关注学生多方面的发展[7]。

2.2数学建模相关研究

我们的一些数学领域的学者对数学建模一直有着各方面的研究和讨论，各自对数学建模思想抱着不同的看法和理论，但总体都是注重如何发展数学建模素养，提升学生的数学建模能力。

针对数学建模的教学，褚小婧认为，中学数学建模是通过对问题进行抽象、概括和求解，培养学生发现和建立模式，来把握数学的本质[8]。

韩茂利认为，数学建模教学可以采用将数学建模思想融入日常数学教学中，激发学生学习数学的兴趣，培养学生联系实际、认真求实的学习习惯和学习态度[9]。

张晓莉认为，中学数学建模教学中，必须让学生能够动手去实践，教师应转变自己的观念，要让学生所学到的数学建模思维应用到整个课程的学习中[10]。

针对基于数学建模的教学原则，范菁，李培梁认为，中学数学建模教学有以下五条原则：

教师先行意识原则；

因材施教原则；

授之以渔原则；

课内外相统一原则；

科学性原则，使他们慎重对待数学的应用[11]。

针对基于数学建模的教学策略，覃秋敏提出了精拟建模问题、渗透建模思想方法、实施合作建模教学等策略[12]。

孟振萍就数学建模方法，对中学数学建模提出了以下教学策略；

在教师的讲课过程中感受数学建模的过程和作用；

重视练习题中的应用行问题；

培养学生发现生活中的数学；

在适当的时间点明数学建模；

组建数学建模兴趣小组[13]。

徐礼刚针对初中课堂教学中，他认为在中学数学教学中渗入数学建模思想具有重要意义应在课堂教学、教学实验、生活实例方面更好的渗入数学建模思想[14]。

2.3归纳总结

经过整理分析“导数及其应用”和数学建模的各类相关研究，不难发现专家们对数学建模的涵义有着基本相同的标准，一个完整的数学建模就是一个经过对实际问题抽象化成数学思想，建立模型、分析模型、求解模型的过程。

关于数学建模素养，在高中数学知识中占着较为重要的地位，专家认为这是一个包罗万象的数学素养。

也有一些专家对数学建模的教学策略和教学进行了比较广泛的研究，给出了各自的看法和指导方向。

通过整理和分析“导数及其应用”教学的相关研究，可以知道，部分专家提出了关于“导数及其应用”的教学策略、原则，也有部分专家在“导数及其应用”的教学设计提出了一些建议，还有专家研究学生学习“导数及其应用”的易错点和难点，做出了对应的解决方案，

另外，关于数学建模的教学上的教学原则和教学策略也因人而异，种类繁多；

但从学生角度去研究“导数及其应用”如何体现数学建模思想的教学设计却少之又少。

本文将在前人的研究成果中采取经验，尝试以学生为主体探究培养数学建模素养的“导数及其应用”的教学设计，探究如何提高学生数学建模素养。

本研究借鉴新课标，探究“导数及其应用”与数学建模的联系，并给出蕴含数学建模素养的“导数及其应用”的教学设计原则以及教学策略，希望能够给日后“导数及其应用”的教学设计中培养学生数学建模素养的提供一些建议与参考。

3.本文的研究理论基础

3.1元认知理论

元认知是主体对其认知活动的自我意识、自我监控和自我调节，即对认证的认知。

元认知理论的主体是让学生在探究的过程中有思考、探索的时间和机会，可以让学生体验求知的历程；

一定的难度和成功喜悦的情感体验，有助于学生比较充分地意识到自己如何经历从不知到知的过程，在该过程中自己存在哪些问题，为什么会在这些地方出现问题，使用什么方法让问题得以顺利解决。

在构建数学模型时，元认知具体表现在学生在数学建模的全过程中的自我体验，感受如何将实际问题数学化、从中抽象建立数学模型、根据所学知识逐步求解数学模型、研究所求得的数学建模结果的历程时，产生较强的求知欲，并且能根据不同的实际情况，可以不断的丰富自己的知识经验，并且在这种体验中逐渐的掌握更多的学习方法和策略。

数学建模过程中学生体验模型的建立到求解就是一个自我完善，自我认知的过程。

3.2建构主义理论

建构主义学习观认为，学生应该积极主动的对所学知识进行消化在重建，将教师教授的表面知识化作自己的经验。

因此，学生在课堂上应以教师为主导，发挥自身的主观能动性对所学知识理解掌握并尝试主动建构。

学生需要积极参与数学建模的全程，而不是填鸭式的学习来应对考试，学生应该整理所学知识，在反思中建构出新的知识，完成对新知识理解，才能提升自我，学会对数学问题进行分析，抽象出恰当的数学模型解决问题。

建构主义教育知识观认为，世界的法则无法用生硬的定理去准确衡量，具体的问题需要具体的分析，要根据不同的问题情境，发散思维，对现有知识进行转化和重构。

学生理解并转化成自己的知识才是教学上的成功，不经历思考转化的知识都无比羞涩，想要在教学上体现学生的数学建模素养，就要培养其合作交流的意识，带领学生进行各种小组交流以及师生之间的交流，才可以使学生更好的消化新知识，在合作探究的基础在培养学生的交流思想，发展学生的数学建模素养。

4.“导数及其应用”教材与数学建模素养的联系

4.1“导数及其应用”内容分析

随着新课程改革，2017年颁布的《普通高中数学课程标准》将“导数及其应用”编入高中数学的选择性必修课程，主要针对的是一元函数的导数及其应用内容，在一元函数的基础上有意识的让学生接触数学建模思想，提高学生对微积分的重视，因为导数正式微积分中较为简单的知识，适合高中生感受微积分的基本思想。

其中高中阶段主要学习导数概念及其意义和导数运算。

在导数及其应用的教学中，主要通过现实生活问题中构建情境引入概念，引导学生感受由平均变化率无限接近瞬时变化率的过程，体现一个逼近思想，理解导数的概念以及导数的意义。

在导数运算的学习中，要求能熟练运用导数的运算法则求解简单的函数导数能将导数的计算结果转化成所研究问题的实际意义。

4.2“导数及其应用”内容中蕴含的数学建模素养

从内容上看，在学习导数概念及其意义时，发现其中的数学问题大都源自于现实生活，如汽车加速度，跳水运动、圆柱的体积关于高或者半径的变化率、利润关于价格变化率等，能够让学生感受数学的魅力，从而产生疑问和思考，并尝试将实际问题抽象成具体数学实例。

学习导数的概念时，恰当的建立情境，更能让学生感受一个逼近的过程，知道导数的概念是由平均变化率转变而来，分析问题，才能引发学生进行思考，产生学习兴趣。

从学生的方面看，在学习“导数及其应用”中创设的情境中提出的数学问题，

更加贴近生活，更容易对数学问题产生学习的欲望，主动尝试解决问题，开始去构建数学模型，调动学习的积极性。

当数学问题具有一定难度时，能够激发学生的创造性思维，发散思考，不断挑战自我、提升自我，也建立起新旧知识之间的桥梁。

4.3“导数及其应用”教学蕴含的数学建模素养

在“导数及其应用”教学过程中，想要培养学生的数学建模素养，就需要在实际的情境中代入数学问题，将学生从现实世界引入数学丰富多彩的海洋，也就是发展学生数形结合思想，这就是一步步发掘学生的内在潜力，建立数学模型思想基础。

在学习导数的概念时应用的的运动员跳水问题，机器工作效率问题与现实生活贴近，易引发学生思考，如何将问题抽象化成数学问题，体验平均变化率，这也是数学建模素养的一种培养方式。

在课堂教学上常常需要采取小组合作进行探究，师生交流、生生交流，有利于学生将实际问题数学化，更熟练运用数学模型，学会建立模型并利用新知识解决现有问题，为日后学习打下基础。

再通过合作研究完善和理解数学模型，在探究过程中学生交流探讨就是一个培养学生数学建模素养的方式，养成与他人交流的习惯，学生的数学建模素养在不经意间获得提升。

综上，“导数及其应用”的蕴含着数学建模素养可以在各方面传授给学生，在“导数及其应用”的教学中能够培养学生的数学建模素养，在学生合作交流间也可以促进数学建模素养的提升，这样的过程不仅有助于学生领悟数学建模的本质,更将数学的本质进一步展现在学生面前。

4.4“导数及其应用”中培养数学建模素养的教学原则

4.4.1主体性原则

新课程改革在对待教学上对教师提出了新的要求，教师在课堂教学上应强调帮助、引导学生，遵循“以教师为主导，学生为主体”的教学模式，教学过程中实际应用的数学问题有时难度较大，超出了学生初学者的承受范围，有时又不能体现问题的意义，学生得不到任何的成长。

面对这种情况，只有在教师在日常教学活动中具有数学建模的思想，将学生放在主体地位，从最基础的问题下手，帮助和引导学生，才能在教学过程中将

数学建模思想植入学生心中，也才能在教学活动中培养学生的数学建模思想，从课本中提取出训练学生进行数学建模的素材。

应当引导学习者从旧的知识基础上，产生新的知识，重视学生对问题理解的差异性，研究他们产生这些想法的缘由，并从中总结归纳，引导学生完善或反思自己的解释。

4.4.2适应性原则

高中生正是高速发展的阶段，需要更多新知识的熏陶，但是学生是独特的人，拥有自身的独特性，因为学生的数学基础知识是逐步学会的，学生在不同的年级所具有的能力、知识是不同层次的认知原则。

所以首先要根据学生的知识能力水平进行不同的教学，让学生逐步接受数学建模思想，根据学生知识水平的差别，经历一个循序渐进、逐步提高的过程，以确保学生都能掌握数学建模基础知识；

然后再分小组、分阶段教学，让熟练掌握着带动其他人进行数学建模准备，进过合作交流完成求解和探究；

最后根据不同学生、不同阶段展开教学，才是真正适合学生发展数学建模素养的原则。

4.4.3创造性原则

数学建模的目的对于中学生来说，是要培养他们的数学应用观念，掌握数学建模的技能，为将来需要时拥有储备知识。

所以在“导数及其应用”的教学设计中培养学生数学建模素养应注重培养学生发散能力，培养学生的创新意识，发展学生的创新能力，这样学生将具备更敏锐的数学直觉，就是从创造性原则出发培养学生的思维品质和理性精神。

在“导数及其应用”教学中，教师的地位从传统传授者转变为学生学习的辅导者，成为学生学习的高级同学或合作者，要注重发展学生把客观事物的原型和抽象的数学模型联系起来的能力，培养学生的创造性思维。

所以，在“导数及其应用”教学中，面对实际问题要敏锐观察其规律，发现问题并产生疑问，用数学模型思想去探究发现，敢于创新，不断尝试。

4.5“导数及其应用”中培养数学建模素养的教学策略

4.5.1精确加工模拟建模策略

学生学习“导数及其应用”知识时运用的认知策略主要是对实际问题进行分析整理在构建，也就是一个精细加工的过程，在数学建模教学中一个恰当的数学问题决定这数学建模的成败，所以教学目标能否实现关键在于所选取数学建模问题的合适程度，太难的问题容易让学生产生挫败感，太简单不能起到发展作用，所以数学建模问题影响学生学习数学建模的情感态度、兴趣及信念。

因此，教师应时刻注意学生的兴趣爱好，出其不意，在学生日常生活中选取他们熟悉的数学问题，让其进行思考，更容易激发其学习兴趣。

但教师应根据大部分学生的建模能力，设计符合各个阶段学生的建模问题，让学生得到更好的背景理解材料，展开更高效率的学习。

例如，在导数的概念及几何意义时，运动员高台跳水问题问题，就是学生日常生活中会接触到的数学问题，学生感受从平均速度到瞬时速度，贴近生活学生也更容易进入相应的问题情境。

4.5.2理清知识联系应用模型策略

在教学上，对“导数及其应用”实际问题转化成数学建模时，主要通过理清“导数及其应用”的新旧知识之间的脉络，建立起抽象化、符合逻辑的联系，帮助学生进行更高效率的学习。

通过对数学问题的抽象化，发现和提出问题，模拟简单的数学模型到求解数学模型，完善数学建模，最后运营构建的数学模型研究和解决数学问题，从中体会现实生活中建模思想的意义。

在“导数及其应用”内容中，前面学习过的函数知识与导数相关知识有紧密的联系，在学习导数之前帮助学生梳理导数相关知识，有助于学生更高效的学习新知识，更熟练掌握“导数及其应用”的内容。

例如，在使用导数运算法则解决导数问题时，求解一些基本初等函数的导数就需要函数相关知识的基础，有了旧知识的铺垫更利于学生理解导数公式和求导法则，加深对8个基本初等函数求导公式的印象，理解大于记忆。

4.5.3合作探究培养建模素养策略

在“导数及其应用”培养学生数学建模素养学习中，教师将学生分成小组合作探究，研究“导数及其应用”中的数学建模问题，进行自主合作探究，教师应时刻关注学生并在合适的时机加以帮助和引导，使学生在旧知识的基础上构建出新的知识。

在探究结束后，要让学生各小组思考并提出质疑，相互讨论，教师从中指出学生逻辑的问题，使学生产生疑问，激发学生的求知欲，让学生不断反思和思考问题。

在这种探究活动中，使学生养成自主学习、合作探究的学习习惯，为学生数学建模素养的发展提供可能性。

5.基于数学建模素养的“导数及其应用”教学设计案例

5.1案例：

导数的概念

5.1.1案例呈现

【教材分析】

本节课选自人教A版选修2-2第一章1.1.2节导数的概念。

本节课内容为导数概念的形成及其简单导数的求解。

本节课是在关于物理课程学习了瞬时速度，

故选取了上一节课运动员跳水问题来研究变化率问题，在此基础上探求瞬时变化率，是对瞬时速度知识的一个扩展，也是感受平均变化率来刻画瞬时变化率的过程，淡化了极限的形式化定义，直接通过实例让学生感受问题情境。

因此，让学生充分体现数学建模思想，在探究和推理中不断逼近导数概念，感受数学的魅力。

【内容分析】

本节课导数的概念是微积分的核心概念之一，蕴含着高度抽象的概括思想。

本节课的重点主要在于理解平均变化率与瞬时变化率的关系，理解导数的本质，懂得瞬时变化率就是导数，从导数的概念中体会数学建模思想。

【学情分析】

本节课所学习内容属于高中二年级所学知识，高中阶段的学生正处于青年期初期阶段，学习目的性强，思维发散能力极高、抽象概括意识极强。

所以在学生较好掌握平均变化率之后，对新知识的求知欲为本节课奠定了基础。

由于导数就是瞬时变化率，又是用平均变化率来逼近研究，这是一个跳跃性的知识过渡。

【教学目标】

（1）知识与技能：

运营逼近思想，一步步由平均变化率无限接近瞬时变化率，归纳总结出导数的概念。

（2）过程与方法：

通过自主交流的探究活动，感受无限接近的两种变化率，明白瞬时变化率就是导数。

（3）情感态度与价值观：

从瞬时变化率建立建立数学模型，体会数学建模思想，通过奥运会跳水夺金实例，渗透导数思想的价值与作用。

【教学重难点】

重点：

经历从平均速度到瞬时速度的过程，在理解瞬时变化率就是导数的过程，感受无限接近的思想，从而引出数学建模思想。

难点：

从导数概念的理解数学模型来将实际问题抽象化的过程中，渗透数学建模思想，发展数学建模素养。

【教学过程】

（一）创设情境

问题1：

回顾上一课学习的内容，同学们还记得关于运动员跳水平均变化率问题吗？

是不是发现平均速度是0，那么在此刻我们应如何表示运动员起跳到入水的速度呢？

（画板导入）

【设计意图:

这是回顾旧知识对新知识进行引入，平均速度是0？

，通过上一节课的知识基础，过渡到本节课内容为导数概念的引入做好准备。

】

问题2:

如果跳水下落过程中，刚好在

时刻时，那么此时的要怎么表示瞬时速度呢?

（画板跳水）

【设计意图：

借助所得出的图像和数据，使学生尝试运用数据建立数学模型，探究平均变化率与瞬时变化率的联系，让学生通过自主探究“无限”“逼近”的思想】

（二）深入探讨，概括提升。

问题3:

类比运动员高台跳水的问题，请你列举几个函数模型，指出平均变化率与瞬时变化率的关系。

除了学生的举例，教师需要对学生的不足进行补充说明。

从各方面完善变化率的数学模型，也就是以认识导数为基础培养学生的数学建模素养。

进一步将数学模型思想刻入学生心中。

例1 

：

观察这个表格，当时间间隔无限变小是，平均速度有怎样的变化趋势？

经历表格数据的观察，得出瞬时速度的大小，培养了学生观察分析，抽象概括的能力】。

问题4:

请说出你的解题步骤，并说明为什么要这样解。

经历特殊时间下的瞬时速度的计算表达式的得出过程，力图让学生体验抽象概括的思想思维和解题方法】

归纳总结，引导学生建立导函数的概念，函数

在

处的瞬时变化率就是

处的导数，记作

（也可记作

），并给出导函数的概念。

问题5：

求函数

处的导数，你能说说函数

处的导数的步骤吗？

对新知识进一步进行巩固，加深学生记忆力，学会运用导数的概念解决问题，完成对新知识的消化。

（三）梳理知识，归纳总结

问题6：

回顾本节课学习的内容，你有什么收获？

1.平均速度与瞬时速度的联系。

2.瞬时变化率就是导数。

3.求导的步骤。

4.研究平均变化率跟导数有什么关系？

5.学习导数能够让我们解决什么样的实际问题？

6.本节课我们学习到什么样的数学思想？

回顾本节所学的核心概念、思想方法，学会反思，帮助学生对新知识进一步思考，建立现实生活与数学之间的桥梁。

5.1.2案例分析

本案例属于高中阶段二年级所学习的内容，在高三复习中也占据重要地位，在此教学设计中，回顾上一节学习的平均变化率的知识，从运动员跳水引入瞬时速度，为学生建立新旧知识之间的联系。

复习平均变化率