海淀高三一模数学文扫.docx
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海淀高三一模数学文扫
海淀区高三年级第二学期期中练习参考答案
数学（理科）2014.4
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数,表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分。
一、选择题：
本大题共8小题,每小题5分,共40分.
1.C2.D3.D4.A5.B6.B7.C8.B
二、填空题:
本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.9610.11.212.13.14.9；3（本题第一空3分，第二空2分）
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.
15．解：
（Ⅰ）---------------------------2分
------------------------------3分
.-------------------------------5分
（Ⅱ）------------------------------6分
------------------------------7分
------------------------------8分
------------------------------10分
因为，所以，------------------------------11分
所以，-----------------------------12分
所以在上的取值范围是-----------------------------13分
16.解：
（Ⅰ）甲公司员工A投递快递件数的平均数为36，众数为33.--------------------------------2分
（Ⅱ）设为乙公司员工B投递件数，则
当=34时，=136元，当>35时，元，
的可能取值为136,147,154,189,203-------------------------------4分
{说明：
X取值都对给4分，若计算有错，在4分基础上错1个扣1分，4分扣完为止}
的分布列为：
136
147
154
189
203
--------------------------------------9分
{说明：
每个概率值给1分，不化简不扣分，随机变量值计算错误的此处不再重复扣分}
--------------------------------------11分
（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.------------------------------------13分
17．（Ⅰ）因为平面平面，交线为，
又在中，于，平面
所以平面.--------------------------------------3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）结论平面可得.
由题意可知，又.
如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系
--------------------------4分
不妨设，则.
由图1条件计算得，，，
则-------5分
.
由平面可知平面DCB的法向量为.-----------------------------------6分
设平面的法向量为，则
即
令，则，所以.------------------------------------8分
平面DCB的法向量为
所以，
所以二面角的余弦值为------------------------------9分
（Ⅲ）设，其中.
由于，
所以，其中--------------------------10分
所以--------------------------11分
由，即---------------------------12分
解得.-----------------------------13分
所以在线段上存在点使，且.-------------14分
18．解
（Ⅰ），-----------------------------------2分
因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：
，
所以且.----------------------------------4分
解得，-----------------------------------5分
（Ⅱ）法1：
对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于
∀x,，都有，
即∀x,R，恒成立，--------------------------------------6分
令，----------------------------------------7分
①若a=0，则，
所以实数b的取值范围是；----------------------------------------8分
②若,，
由得，----------------------------------------9分
的情况如下：
0
0
+
极小值
-----------------------------------------11分
所以的最小值为，-------------------------------------------12分
所以实数b的取值范围是；
综上，实数b的取值范围是．--------------------------------------13分
法2：
对于任意实数a，曲线C总在直线的的上方，等价于
∀x,，都有，即
∀x,R，恒成立，-------------------------------------------6分
令，则等价于∀，恒成立，
令，则，-----------------------------------------7分
由得，----------------------------------------9分
的情况如下：
0
0
+
极小值
-----------------------------------------11分
所以的最小值为，------------------------------------------12分
实数b的取值范围是．--------------------------------------------13分
19．解：
（Ⅰ）设,，---------------------------------------1分
因为为等边三角形，所以.---------------------------------2分
又点在椭圆上，
所以消去，-----------------------------------------3分
得到，解得或，----------------------------------4分
当时，；
当时，.-----------------------------------------5分
{说明：
若少一种情况扣2分}
（Ⅱ）法1：
根据题意可知，直线斜率存在.
设直线:
，，，中点为，
联立消去得，------------------6分
由得到①----------------------------7分
所以,
，----------------------------8分
所以，又
如果为等边三角形，则有，--------------------------9分
所以，即，------------------------------10分
化简，②------------------------------11分
由②得，代入①得，
化简得，不成立，-------------------------------------13分
{此步化简成或或都给分}
故不能为等边三角形.-------------------------------------14分
法2：
设，则，且，
所以，----------------8分
设，同理可得，且-----------------9分
因为在上单调
所以，有，---------------------------------11分
因为不关于轴对称，所以.
所以，---------------------------------13分
所以不可能为等边三角形.---------------------------------14分
20.解：
（Ⅰ）设点列的正交点列是,
由正交点列的定义可知,设，
，，
由正交点列的定义可知,,
即解得
所以点列的正交点列是.------3分
（Ⅱ）由题可得，
设点列是点列的正交点列，
则可设,
因为相同，所以有
因为，方程
（2）显然不成立，
所以有序整点列不存在正交点列；---------------8分
（Ⅲ），都存在整点列无正交点列.-------------------------9分
，设其中是一对互质整数，
若有序整点列是点列正交点列,
则，
则有
①当为偶数时，取.
由于是整点列，所以有，.
等式
（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列无正交点列；
②当为奇数时，
取,,
由于是整点列，所以有，.
等式
（2）中左边是3的倍数，右边等于1，等式不成立，
所以该点列无正交点列.
综上所述，，都不存在无正交点列的有序整数点列----------13分
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