高等光学教程.docx

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高等光学教程

第五章部分相干光理论

5.1证明解析信号的实部和虚部之间互为希尔伯特变换，即它们之间有下面的关系

，

证明：

（1）由（5-10）式，解析函数的实部

（5.1-11）

而，比较以上两式，可见有关系式

（5.1-13）

上式可表示为（5.1-18）

又因为

所以有（5.1-19）

对上式两边取傅里叶逆变换

上式中

再利用卷积定义

令，，，

所以（5.1-22）

可见

（2）参考教材中（5.1-10）式的推导过程，对于解析函数的虚部有下式成立

（P5.1-1）

（P5.1-2）

比较（P5.1-1）和（P5.1-2）式，得到

所以

对上式两边取傅里叶逆变换得

所以

5.2考察用宽带光作杨氏干涉实验

（1）证明观察屏上的入射光场可表示为

其中

而为第个针孔的面积。

（2）利用

（1）的结果证明照射到屏幕上的光强度可表示为

其中

（3）证明当入射光为窄带光时，上式简化为

式中为纯虚数的模，

证明:

（1）由教材中（4-54）式

利用上式得到杨氏实验中由任一衍射孔在观察屏上Q点时刻的光场分布为

由于针孔很小，可将上式右端被积函数在各针孔内看作常数，因而有

式中为第个针孔的面积。

令

观察屏上总的光扰动为

（2）光强度

（P5.2-1）

定义

（P5.2-1）式中前两项可以表示为和，对于第三项，根据定义有

（P5.2-2）

展开并改变求时间平均与极限的顺序，得到下列四项

因而（P5.2-2）式可化为

首先对求极限，有下面的结果

式中，而当时，有下面结果

（P5.2-1）式右边第三项为

用同样的方法，（P5.2-1）式右边第四项化为

将以上结果代入（P5.2-1）式，得到Q点的光强为

（P5.2-3）

（3）窄带光可用下式来表示

对于窄带光来说，式中相对于来说是一个缓变函数。

窄带光的互相干函数

对求导时，求时间平均的部分可视为常数。

的二阶导数为

令

将以上结果代入（P5.2-3）式，得到窄带光的光强公式

在得到最后一个等式时考虑到了、是纯虚数，因而有。

5.3证明（5.2-16）式，即

证明：

Schwartz不等式告诉我们，如果和是的两个任意复值函数，那么

由上式可直接写出

将上式两边归一化，并利用

得到

5.4

（1）证明图5-7（a）中条纹的空间周期为

（2）证明图5-7（b）中沿轴条纹包络的单宽度

解答：

（1）由教材中（5.3-7）式，在余弦函数的相位因子中，令

图（a）中相邻两直线之间，两直线的方程分别为

在图（a）中先求轴上A、B两点之间的距离，令，在上述两方程中令，求出和后相减得，又令（常数），两方程相减求得，再由直角，得到，式中。

（2）光源的相干长度

干涉条纹强度最大值处

条纹第一次消失

参考图（b），对于BC段值相同，值不同，由上面方程组求得。

对于AB段值相同，值不同。

由上面方程组求得。

条纹很密近似取整数条纹，由得

式中

5.5图p5-5所示为一洛埃（Lloyd）镜干涉实验的几何关系图，一点光源置于一全反射平面镜上距离处，在距该点源处的屏幕上观察干涉条纹。

光源的复相干度为

假设及，并考虑反射时场的符号变化（偏振方向平行于反射镜），试求

（1）干涉条纹的空间频率；

（2）假设相干涉的两束光具有相等的强度，干涉条纹作为函数的可见度。

图p5-5

解答：

洛埃镜的干涉条纹是由光源直接射到屏幕上的光与先入射到反射镜而后反射到屏幕上的光相干涉而形成的，它可以看成是光源与其镜像虚光源发出的光相干涉而产生的。

光在掠入射时反射后有相位跃变，根据图中所设坐标系，实光源发出的光波记作，虚光源发出的光波记作。

设窄带光的复相干度用表示，由实点光源入射到屏上Q点的光波为

由虚光源出发到达Q点的光扰动为

式中，

设反射镜为全反射镜，两光源到Q点的距离相差不大，上述两部分光扰动可视为强度相等，总的光扰动可记作

相应的光强度为

由于两相干光束强度相等，可定义

考虑到洛埃镜反射光实际上来自光源本身，故有

因而得到

代入Q点光强度的表达式，得到

式中，上式可进一步简化为

由题中所设，，可以作出下列近似

由以上近似关系式得到

由上式求得条纹空间频率为

式中为光源的平均波长。

本题中、、均大于零，条纹的可见度，即余弦函数的调制度为

5.6证明功率谱密度函数的性质（5-101）式

证明：

5.7设为一解析函数。

证明自相关函数具有厄米性，功率谱为一实数。

证明：

由（5-66）式

两边取复共轭得

利用时间平移不变性，两个自变量均平移，即，，得

所以，则具有厄米性。

功率谱

为两共轭复数之和，因此为一实数。

5.8一个具有个等强度纵模的气体激光的归一化功率谱密度的理想模型为

其中为模式间隔，为中心模式频率，为简单起见假设为奇数。

（1）试证明相应的复相干度的包络为

（2）画出，时相应的曲线。

证明：

（1）归一化功率谱密度反映了光源的光谱特性，复相干度与之间有下面的关系

将题中所给的表达式代入上式，得到

其中，

因而

由上式得出复相干度的包络为

（2）当时

的函数曲线如图P5.8所示。

图P5.8

5.9证明任何单色光波在时间平均意义上都是完全相干的。

证明：

设表示一单色光波场，它可用以下复指数形式来表示

式中为该单色光波场的复振幅，为其频率。

光场中任意两点P1和P2的复振幅分别表示为

，

在时间上相差任意间隔的光扰动之间的相干性可用其互相干函数来表示

复振幅与时间无关，在时间平均意义上可简化为

将上式归一化得到复相干度

由上式看出对于任意的、及均有

5.10假定一个激光源具有和两个频率十分接近的辐射（例如），若相应于每一个频率的带宽都是无限窄，并且辐射强度分别为I1和I2，当时试计算|

解答：

因为每一个频率的光带宽都是无限窄

，

由定义可求出

令，

则

当时

5.11有一氦氖激光器，发射出波长为633nm的光，具有的多普勒展宽为Hz。

按Mandel提出的方法计算其相干时间和相干长度（为光速）。

再对多普勒展宽为Hz的氩离子激光器488nm谱线做同样的计算。

解答：

多普勒展宽的功率谱接近于高斯型，作为近似处理，我们按高斯型归一化功率谱进行计算

式中为半功率谱宽度，相应的复相干度为

根据Mandel提出的方法，相干时间为

相干长度为（mm）

氦氖激光器发出的光波长为633nm，设其多普勒展宽为Hz，代入计算得

秒mm

氩离子激光器发出的光波长为488nm，设其多普勒展宽为Hz，代入计算得

秒mm

5.12结合图p5-12，假设到达点相干涉的两束光归一化的功率谱相同，证明点的复相干度

式中的常数

图p5-12讨论交叉谱纯条件所用的几何图示

证明：

设和均为统计平稳的窄带光场，假设它们分别从杨氏实验的两个针孔P1、P2中发出，经历了不同的时间延迟、之后，在Q点处叠加，合成的场为

下面讨论合成场的功率谱与各分量场功率谱之间的关系。

功率谱是自相干函数的傅里叶变换，因此首先讨论Q点处合成场的自相干函数

式中（）

利用关系式，上式化为

（P5.12-1）

根据假设，到达Q点相干涉的两束光归一化的功率谱相同，则它们的复自相干度。

设，，

用将（P5.12-1）式两边归一化，得到方程的

左边

右边

因此有

5.13证明教材中（5-159）式。

证明：

及，均有小量。

5.14如图p5-18所示，一单色平面波垂直入射到紧靠着的两块散射板上，这两块散射板以相同速度沿相反方向上运动。

该散射板对的振幅透过率假设为

其中和假设是由相互统计独立的两个系综取出的，从一个散射板的信息并不能得到另一个散射板的任何信息。

如果两块散射板都具有高斯型的自相关函数

试证明由这两块板透过的光是交叉谱纯的。

图p5-14测量透过运动漫射体的光的互相干函数

证明：

不失一般性可假设垂直入射到散射板上的单色平面波频率为，振幅为1，即入射光场可写为

透过漫射板的光场则可以表示为

其互相干函数可表示为

由于与相互统计独立，则

一般地讲，散射板都是空间平稳随机过程，具有各态历经性，因而上式中时间平均代之以统计自相关函数。

进一步归一化后得到透过散射板后出射光的复互相干度

式中右端第一个因子仅与空间变量有关，后一部分却为时间差函数，令

因而复互相干系数可以分解为仅与时间差有关的复自相干系数和仅与空间坐标差有关的复相干因子的乘积：

这表明透过两块相对以同样速度运动的散射板的单色光场是交叉谱纯的。

5.15由非单色光衍射公式出发证明由面传播到面（参考图p5-15）上的互相干函数可表示为

式中为面上的互相干函数。

图p5-15互相干性传播的几何示意图

证明：

由（4-54）式，非单色光衍射公式为

根据定义，与两点光场的互相干函数为

（P5.15-1）

其中时间平均项可根据导数定义展开，再交换求平均与求极限运算顺序，计算如下：

（P5.15-2）

式中

根据互相干函数定义，时间平均中四项分别表示为

代入（P5.15-2）式，式中所表示的极限中进一步化简得

其中

代入（P5.15-1）式得到与两点互相干函数：

5.16试证明在准单色条件下互强度满足一对亥姆霍兹方程

其中，而，

证明：

由（5-196）式，互相干函数满足一对如下的波动方程：

在准单色光条件下，互相干函数可用互强度来表示见（5.3-30）式：

代入上述波动方程有

消去两边指数函数并整理便得

式中

5.17在图p5-17所示的杨氏双缝干涉实验中，采用缝宽为的准单色缝光源，辐射光强均匀分布为I0，中心波长为，

（1）写出Q1和Q2点的复相干因子。

（2）若=0.1mm,z=1m，d=3mm,求观察屏上杨氏条纹的可见度。

（3）若z和d仍取上述值，要求观察屏上的可见度为0.41，缝光源的宽度应为多少？

图p5-17

解答：

（1）应用范西特—泽尼克定理，这里双缝到光轴等距（），光源是一维分布，因此

所以、两点的复相干因子为

（2）在观察屏上观察到的干涉条纹的可见度由、两点的复相干因子的模决定，即

由已知数据算出

（3）若要求

查表可知

即

5.18在上题所示的杨氏双缝干涉实验中，用一个很大的均匀发光光源与一个空间频率为的正弦光栅相迭加来代替光源，正弦光栅的强度透过率为

为了获得高的可见度，与两缝间距d应满足什么条件。

解答：

由于光源和正弦光栅很大，可近似视为无穷，先假设光栅宽度为，然后让求极限，由范西特—泽尼克定理可得双缝上的复相干因子为

由此式可见，只有当时，即时，上式的极限值（即最大值）为，也就是说对于一个很大的非相干光源，在其上叠加一个正弦光栅，它的空间频率与双缝间距满足关系，也可以得到较大的干涉条纹可见度。

5.19.将太阳看作是一个非相干的亮度均匀的圆盘，在地球上的一个观察屏垂直于的连线，o为光源圆盘的中心，为地球上的观察点，图p-19