衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试题一文科数学解析版.docx

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衡水金卷普通高等学校招生全国统一考试模拟试题一文科数学解析版

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题

文数

（一）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：

本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（）

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】由题意得又，所以，选B.

2.若，，则角是（）

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

【答案】D

【解析】由，得，又，所以，所以为第四象限角，选D.

3.已知复数，（其中为虚数单位，），若的模等于，则实数的值为（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】,所以，所以选C.

4.已知向量，，若，则（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】由，得，即，代入下式

，选A.

5.已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，记，，，则，，的大小关系为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】函数是定义在上的偶函数,所以f（x）=f（-x）=f（|x|）,所以，

而且在区间上单调递增，所以，选A.

【点睛】

由函数的单调性比较函数值的大小，关键要把所以x值全转化到函数的同一个单调区间，通过比较x的大小，进一步比较出函数值的大小。

6.《九章算术》卷第六《均输》中，有如下问题：

“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？

”若将这五人从上到下分别记为甲、乙、丙、丁、戊，且五人所得依次成等差数列，则乙与丙两人共分得（）

A.钱B.钱C.钱D.钱

【答案】C

【解析】设甲、乙、丙、丁、戊五人所得分别为，公差为，则有

则，所以，故选C.

【点睛】

本题的关键是转化为等差数列型，而对于等差数列，我们常用基本量，用这两个基本量来表示所有量。

7.已知双曲线：

（，）的左右焦点分别为，，双曲线与圆（）在第一象限交于点，且，则双曲线的离心率是（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】由题意得，，根据双曲线定义，有即，故选C.

8.已知一几何体的正视图、侧视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是（）

A.B.

C.D.

【答案】D

【解析】由图可知，选项D对的几何体为长方体与三棱柱的组合，其侧视图中间的线不可视，应为虚线，故该几何体的俯视图不可能是D,选D.

9.定义运算为执行如图所示的程序框图输出的值，则的值为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】因为，所以=，而，所以=，所以=，选A.

10.已知函数有两个零点，，且满足，，则的取值范围为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】由题意得，画出可行域，如下图，B（1,0）,C（-,0）.目标函数z=几何意义为可行域内的点到定义P（-2,2）连线的斜率，由图可知，，选A.

【点睛】线性规划中常见目标函数的转化公式：

（1）截距型：

，与直线的截距相关联，若，当的最值情况和z的一致；若，当的最值情况和的相反；

（2）斜率型：

与的斜率，常见的变形：

，，.

（3）点点距离型：

表示到两点距离的平方；

11.已知抛物线：

的焦点为，准线为，过点作直线分别交抛物线与直线于点，（如图所示），若，则（）

A.B.C.D.

【答案】C

【解析】过点P作PA垂直于直线于点A，设直线与x轴交于点B,由抛物线的定义，可知|PA|=|PF|,易知所以，设|PF|=t，由，得|QP|=2t,所以，故选C.

【点睛】

过焦点的直线与准线相交，常通过抛物线上的点向准线作垂线，这样可以用抛物线定义与两直角三角形相似的几何方法解题。

12.当时，函数（）的图象总在曲线的上方，则实数的最大整数值为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】令，所以函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减，图像在直线（）下方，画出草图。

当a=0时，，当1

【点睛】

数形结合是我们处理函数常用的方法。

通过画草图，可知动直线与曲线相切是临界点，从图像上可看出，所以逐个检验的方法，检验到符合。

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.四张扑克牌上分别写有“战”“狼”“2”“火”这四个文字，则随机从这四张牌中抽取两张，恰好抽中的两张牌能拼成“战狼”二字的概率为__________．

【答案】

【解析】从四张扑克牌中取两张，所有可能结果有;战狼，战火，战2，狼2，狼火，2火，共6种，由古典概型可知概率为，填。

14.如图，在三棱柱中，底面，是的中点，，，过点、作截面交于点，若点恰好是的中点，则直线与所成角的余弦值为__________．

【答案】

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15.已知自主招生考试中，甲、乙、丙三人都恰好报考了清华大学、北京大学中的某一所大学，三人分别给出了以下说法：

甲说：

“我报考了清华大学，乙也报考了清华大学，丙报考了北京大学．”

乙说：

“我报考了清华大学，甲说得不完全对．”

丙说：

“我报考了北京大学，乙说得对．”

已知甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对，则报考了北京大学的是__________．

【答案】甲、丙

【解析】若甲说得不对，则乙、丙说得对，即乙一定报考了清华大学了，丙一定报考了北京大学了，甲只可能报考了北京大学。

若乙、丙说得不对，则得出与“甲、乙、丙三人中恰好有1人说得不对”矛盾，所以报考了北京大学的是甲、丙。

所以填甲、丙。

16.已知数列的前项和为，且满足，，（），记，数列的前项和为，若对，恒成立，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】由，得，两式作差得又，，所以数列是等比数列，且，代入，所以

而恒成立，所以，填。

【点睛】

当数列的递推关系是关于形式时，我们常采用公式，统一成或统一成做。

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在中，角，，的对边分别为，，，且满足．

（1）求角的大小；

（2）若的面积为，，求的周长．

【答案】

（1）；

（2）6.

【解析】试题分析：

（1）由余弦定理，正弦定理边化角，可求得角B.

（2）由

（2），由面积公式和角B的余弦定理可求得，进一步求得周长。

试题解析：

（1）∵，

∴，

∴，

由正弦定理，得，

∴，

∵，∴．

（2）∵，

∴，

由余弦定理，得，

即，

∴，

∴的周长为．

【点睛】

（1）正弦定理的简单应用，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化．

（2）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．

（3）在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解．

（4）注意向量关系与边角关系的转化及面积中边角关系的应用。

18.为了弘扬民族文化，某中学举行了“我爱国学，传诵经典”考试，并从中随机抽取了60名学生的成绩（满分100分）作为样本，其中成绩不低于80分的学生被评为优秀生，得到成绩分布的频率分布直方图如图所示．

（1）若该所中学共有2000名学生，试利用样本估计全校这次考试中优秀生人数；

（2）（i）试估计这次参加考试的学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值作代表）；

（ii）若在样本中，利用分层抽样的方法从成绩不低于70分的学生中随机抽取6人，再从中抽取3人赠送一套国学经典学籍，试求恰好抽中2名优秀生的概率．

【答案】

（1）600；

（2）（i）72.5；（ii）.

【解析】试题分析：

（1）由频率分布直方图，频率=（频数）/（样本容量），通过的频率，可求得优秀人数。

（2）由平均数公式求得平均成绩，）由分层抽样抽起成绩在，，间分别抽取了3人，2人，1人．再由枚举法列举出6选3的所有情况，最后用古典概型公式求得概率。

试题解析;

（1）由直方图可知，样本中数据落在的频率为，

则估计全校这次考试中优秀生人数为．

（2）（i）设样本数据的平均数为，

则，

则估计所有参加考试的学生的平均成绩为72.5．

（ii）由分层抽样知识可知，成绩在，，间分别抽取了3人，2人，1人．

记成绩在的3人为，，，成绩在的2人为，，成绩在的1人为，

则从这6人中抽取3人的所有可能结果有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20种，

其中恰好抽中2名优秀生的结果有，，，，，，，，共9种，

所以恰好抽中2名优秀生的概率为．

【点睛】

统计中的四个数据特征

（1）众数：

在样本数据中，出现次数最多的那个数据.

（2）中位数：

样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据.如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数.

（3）平均数：

样本数据的算术平均数，即＝（x1＋x2＋…＋xn）.

（其中频率分布直方图中，用每组数据中点数表示）

（4）方差与标准差.

s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]，

19.如图，直角梯形与梯形全等，其中，，且平面，点是的中点．

（1）求证：

平面平面；

（2）求平面与平面的距离．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）通过证明和可证到两平面平行。

（2）两平面的距离转化为点到平面的距离，再用等体积法求得距离。

试题解析：

（1）∵，，是的中点，

∴四边形为平行四边形，∴，

又∵平面，平面，

∴平面，

∵直角梯形与梯形全等，，

∴，

∴四边形为平行四边形，

∴，

又∵平面，平面，

∴平面，

∵，

∴平面平面．

（2）设点到平面的距离为，

易知，

由，

得，

即，

∵平面平面，

∴平面与平面间的距离为．

【点睛】

求距离，常用方法（a）直接法，通过一作二证三求，先作出距离，再证明，再求值。

（b）转化法,包括面面距离，线面距离，点面距离的转化（c）向量法,（d）间接法，如等体积化

20.已知椭圆：

的左右焦点分别为，，离心率，短轴长为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于不同的两点，，则的面积是否存在最大值？

若存在，求出这个最大值及直线的方程；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）；

（2）答案见解析.

【解析】试题分析：

（1）由离心率，短轴为2a，可求得a,b,c.

（2）设直线的方程为,与椭圆方程组方程组，由韦达定理与三角形面积公式，转化为关于t的函数，利用函数出求得最大值。

试题解析;

（1）根据题意，得解得，，，

∴椭圆的标准方程为．

（2）设，，不妨设，，

由题知，直线的斜率不为零，可设直线的方程为，

由得，

则，，

∴，

令，可知，则，

∴，

令，则，

当时，，即在区间上单调递增，

∴，∴，

即当，时，的面积取得最大值3，

此时直线的方程为．

【点睛】

在解析几何中求三角形或多边形面积或范围时，需要考虑选择合适的面积公式，也就是需要对面积进行割补法。

如本题也可用面积公式（其中为点到直线AB的距离），而这样的话需要求