高二数学合情推理测试题.docx
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高二数学合情推理测试题
高二数学合情推理人教实验版（B）
【本讲教育信息】
一.教学内容：
合情推理
二.本周学习目标
结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比的方法进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用，提高学生学习数学的兴趣.
三.考点分析
1、推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实（或假设），叫做前提；一部分是由已知判断推出的新判断，叫做结论。
2、前提为真时，结论可能为真的推理，叫做合情推理。
归纳推理和类比推理是数学中常用的合情推理。
3、由某类事物的部分对象具有某些特征（或性质），推出该类事物的全部对象都具有这些特征（或性质）的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，叫做归纳推理（简称归纳）.归纳推理是由特殊到一般、部分到整体的推理；归纳推理的基础是观察，分析；归纳推理的作用是发现新事实，得出新结论；要注意的是归纳推理的结论不一定成立。
注：
归纳推理的一般步骤是：
（1）通过观察个别情况发现某些相同特征；
（2）从已知的相同特征中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.
4、由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫做类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理是以旧的知识为基础，推测新的结果，具有发现的功能，类比推理的结论不一定成立。
注：
类比推理的一般步骤是：
（1）找出两类对象之间的类似特征；
（2）用一类事物的特征去推测另一类事物的特征，得出一个明确命题（猜想）.
【典型例题】
例1、数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后探求面数F、顶点数V和棱数E之间的关系.
凸多面体
面数（F）
顶点数（V）
棱数（E）
四棱柱
6
8
12
三棱锥
4
4
6
八面体
8
6
12
三棱柱
5
6
9
四棱锥
5
5
8
尖顶塔
9
9
16
猜想凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E之间的关系式为：
F＋V－E＝2
例2、通过计算可得下列等式：
……
将以上各式分别相加得：
即：
类比上述求法：
请你求出的值。
解：
……
将以上各式分别相加得：
所以：
例3、在德国不莱梅举行的第48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、…堆最底层（第一层）分别按图所示方式固定摆放.从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以表示第n堆的乒乓球总数，则；（答案用n表示）
分析：
解决本题的关键之一是找出相邻两项的关系，即下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数；其次是求出第一层的通项公式。
解：
f
（1）＝1，观察图象可知f
（2）＝4，f（3）＝10，f（4）＝20，下一堆的个数是上一堆的个数加上其第一层的个数，而第一层的个数满足1，3，6，10，……，通项公式是，所以f（n）＝f（n－1）＋，
所以有：
f
（2）－f
（1）＝
f（3）－f
（2）＝
f（4）－f（3）＝
……………………………………
f（n）－f（n－1）＝
以上各式相加得：
f（n）＝f
（1）＋
＝
＝
＝
所以应该填：
10；
点评：
求f（n）的通项公式时运用累差法思想求解。
可见高考题多数依据课本知识、思想或方法的设计题目。
解决问题的关键是找到相邻两项的关系。
例4、半径为r的圆的面积，周长，若将r看作上的变量，则，①，①式可用语言叙述为：
圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。
对于半径为R的球，若将R看作上的变量，请你写出类似于①的式子：
_________________，②，②式可用语言叙述为___________.
解：
由提供的形式找出球的两个常用量体积、表面积公式，类似写出恰好成立，
.
答案：
①②球的体积函数的导数等于球的表面积函数。
点评：
主要考查类比意识，考查学生分散思维，注意将圆的面积与周长与球的体积与表面积进行类比。
例5、在平面上有n条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面最多分成多少部分？
解析：
设n条直线分平面为部分，先试验观察特例有如下结果：
n
1
2
3
4
5
6
…
2
4
7
11
16
22
…
与之间的关系发现如下规律：
－
这是因为在n－1条直线后添加第n条直线被原n－1条直线截得的n段中的任何一段都将它所在的原平面一分为二，相应地增加n部分，所以＝，即－
从而－，－，－，…，－
将上面各式相加有－，所以
＝＝2＋2＋3＋…＋n＝1＋（1＋2＋…＋n）＝1＋
【注意】也可由如下观察发现，由上表知：
，，
，＝1＋1＋2＋3＋4，依此类推，便可猜想到：
＝1＋2＋3＋…＋n＝1＋
点评：
运用归纳推理需要考查部分对象的情形，从而归纳猜想出一般规律，这样往往有时计算量大，易出偏差，且内部潜在的规律性有时难于看出来，就用“递推法”取代“经验归纳法”转向考查问题每递进一步所反映的规律，即探求递推关系，最后用初始值及递推关系来寻找一般规律。
【模拟试题】
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
1.数列…中的等于（）
A.B.C.D.
2.观察下列数:
1,3,2,6,5,15,14,x,y,z,122,…中x,y,z的值依次是（）
A.42,41,123;B.13,39,123;C.24,23,123;D.28,27,123.
3.一同学在电脑中打出如下若干个圈:
○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…
若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的●有（）个
A.12B.13C.14D.15
4.下面使用类比推理正确的是（）
A.“若，则”类推出“若，则”
B.“若”类推出“”
C.“若”类推出“（c≠0）”
D.“”类推出“”
5.设，，n∈N，则
A.B.－C.D.－
6.在十进制中，那么在5进制中数码2004折合成十进制为（）
A.29B.254C.602D.2004
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
7.从中得出的一般性结论是_____________
8.若数列中，则
9.观察
（1）；
（2）。
通过观察上述两等式的规律，则一般性的命题为_____________
10.若数列的通项公式，记
，试通过计算的值，推测出
三、解答题（本大题共4题，共50分）
11.已知：
通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题，并给出证明。
12.自然状态下鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响，用表示某鱼群在第年年初的总量，，且＞0。
不考虑其它因素，设在第年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数。
（Ⅰ）求与的关系式；
（Ⅱ）猜测：
当且仅当，满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？
（不要求证明）
13.在DEF中有余弦定理：
.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABC-的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，并予以证明.
14.已知数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列；是公差为的等差数列；是公差为的等差数列（）.
（1）若，求；
（2）试写出关于的关系式，并求的取值范围；
（3）续写已知数列，使得是公差为的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同
（2）类似的问题（
（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？
【试题答案】
1.B
解：
推出
2.A
3.C
4.C
5.D
6.B
7.注意左边共有项
8.前项共使用了个奇数，由第个到第个奇数的和组成，即
9.若都不是，且，则
10.
11.解：
一般性的命题为
证明：
左边
所以左边等于右边
12.解：
（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1，n∈，从而由（*）式得
因为x1>0，所以a>b。
猜测：
当且仅当a>b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变。
13.分析：
根据类比猜想得出.
其中为侧面为与所成的二面角的平面角.
证明：
作斜三棱柱的直截面DEF，则为面与面所成角，在中有余弦定理：
，
同乘以，得
即
14.解：
（1）
（2）
，
当时，.
（3）所给数列可推广为无穷数列，其中是首项为1，公差为1的等差数列，当时，数列是公差为的等差数列.
研究的问题可以是：
试写出关于的关系式，并求的取值范围.
研究的结论可以是：
由，
依次类推可得
当时，的取值范围为等.
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