高考数学理科二轮复习讲义专题二 第三讲 平面向量Word版含答案.docx

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高考数学理科二轮复习讲义专题二第三讲平面向量Word版含答案

第三讲　平面向量

年份

卷别

考查角度及命题位置

命题分析

2018

Ⅰ卷

向量的线性运算·T6

1.平面向量是高考必考内容，每年每卷均有一个小题（选择题或填空题），一般出现在第3～7题或第13～15题的位置上，难度较低．主要考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，数量积是其考查的热点．

2.有时也会以平面向量为载体，与三角函数、解析几何等其他知识交汇综合命题，难度中等.

Ⅱ卷

数量积的运算·T4

Ⅲ卷

向量共线的坐标运算及应用·T13

2017

Ⅰ卷

向量的模的求法·T13

Ⅱ卷

数量积的最值问题·T12

Ⅲ卷

平面向量基本定理及最值问题·T12

2016

Ⅰ卷

向量数量积的坐标运算·T13

Ⅱ卷

向量坐标运算、数量积与向量垂直·T3

Ⅲ卷

数量积求夹角·T3

平面向量的概念及线性运算

授课提示：

对应学生用书第25页

[悟通——方法结论]

　如图，A，B，C是平面内三个点，且A与B不重合，P是平面内任意一点，若点C在直线AB上，则存在实数λ，使得＝λ＋（1－λ）.

该结论比较典型，由此可知：

若A，B，C三点在直线l上，点P不在直线l上，则存在λ∈R，使得＝λ＋（1－λ）.注意：

这里，的系数之和等于1.

特殊情形：

若点C为线段AB的中点，则＝（＋）．

[全练——快速解答]

1．（2018·高考全国卷Ⅰ）在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝（　　）

A.－B.－

C.＋D.＋

解析：

作出示意图如图所示．

＝＋＝＋

＝×（＋）＋（－）

＝－.

故选A.

答案：

A

2．如图，在直角梯形ABCD中，＝，＝2，且＝r＋s，则2r＋3s＝（　　）

A．1　B．2

C．3D．4

解析：

根据图形，由题意可得＝＋＝＋＝＋（＋＋）＝＋（＋）＝＋（＋）＝＋.

因为＝r＋s，所以r＝，s＝，则2r＋3s＝1＋2＝3，故选C.

答案：

C

3．（2018·西安三模）已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝＋λ（＋），λ∈[0，＋∞），则动点P的轨迹一定经过△ABC的（　　）

A．外心B．内心

C．重心D．垂心

解析：

设BC的中点为D，则由＝＋λ（＋），可得＝λ（＋）＝2λ，所以点P在△ABC的中线AD所在的射线上，所以动点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选C.

答案：

C

4．（2018·高考全国卷Ⅲ）已知向量a＝（1,2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）．若c∥（2a＋b），则λ＝________.

解析：

2a＋b＝（4,2），因为c∥（2a＋b），所以4λ＝2，得λ＝.

答案：

1．记牢2个常用结论

（1）△ABC中，AD是BC边上的中线，则＝（＋）．

（2）△ABC中，O是△ABC内一点，若＋＋＝0，则O是△ABC的重心．

2．掌握用向量解决平面几何问题的方法

（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题．

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如平行、垂直和距离、夹角等问题．

（3）把运算结果“翻译”成几何关系．

平面向量的数量积

授课提示：

对应学生用书第25页

[悟通——方法结论]

1．平面向量的数量积运算的两种形式

（1）依据模和夹角计算，要注意确定这两个向量的夹角，如夹角不易求或者不可求，可通过选择易求夹角和模的基底进行转化；

（2）利用坐标来计算，向量的平行和垂直都可以转化为坐标满足的等式，从而应用方程思想解决问题，化形为数，使向量问题数字化．

2．夹角公式

cosθ＝＝.

3．模

|a|＝＝.

4．向量a与b垂直⇔a·b＝0.

[全练——快速解答]

1．（2017·高考全国卷Ⅱ）设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则（　　）

A．a⊥b　　　　B．|a|＝|b|

C．a∥bD．|a|>|b|

解析：

依题意得（a＋b）2－（a－b）2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A.

答案：

A

2．（2018·西安八校联考）在△ABC中，已知·＝，||＝3，||＝3，M，N分别是BC边上的三等分点，则·的值是（　　）

A.　　　B.C．6　　　D．7

解析：

不妨设＝＋，＝＋，所以·＝（＋）·（＋）＝＋·＋＝（＋）＋·＝×（32＋32）＋×＝，故选B.

答案：

B

3．（2018·山西四校联考）已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥（a－b），则向量a与向量b的夹角为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

∵a⊥（a－b），∴a·（a－b）＝a2－a·b＝1－cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝，∴〈a，b〉＝.

答案：

B

4．（2018·合肥一模）已知平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，则a在b方向上的投影等于________．

解析：

∵|a|＝1，|b|＝2，|a＋b|＝，∴（a＋b）2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝5＋2a·b＝3，∴a·b＝－1，∴a在b方向上的投影为＝－.

答案：

－

快审题

1.看到向量垂直，想到其数量积为零．

2．看到向量的模与夹角，想到向量数量积的有关性质和公式.

避误区

两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不仅要求其数量积小于零，还要求不能反向共线.

平面向量在几何中的应用

授课提示：

对应学生用书第26页

[悟通——方法结论]

　破解平面向量与“解析几何”相交汇问题的常用方法有两种：

一是“转化法”，即把平面向量问题转化为解析几何问题，利用平面向量的数量积、共线、垂直等的坐标表示进行转化，再利用解析几何的相关知识给予破解；二是“特值法”，若是选择题，常可用取特殊值的方法来快速破解．

（1）（2017·高考全国卷Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·（＋）的最小值是（　　）

A．－2　　　B．－

C．－D．－1

解析：

如图，以等边三角形ABC的底边BC所在直线为x轴，以BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，），B（－1,0），C（1,0），设P（x，y），则＝（－x，－y），＝（－1－x，－y），＝（1－x，－y），所以·（＋）＝（－x，－y）·（－2x，－2y）＝2x2＋22－，当x＝0，y＝时，·（＋）取得最小值，为－，选择B.

答案：

B

（2）（2017·高考全国卷Ⅲ）在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若＝λ＋μ，则λ＋μ的最大值为（　　）

A．3B．2

C.D．2

解析：

以A为坐标原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系，

则A（0,0），B（1,0），C（1，2），D（0,2），可得直线BD的方程为2x＋y－2＝0，点C到直线BD的距离为＝，圆C：

（x－1）2＋（y－2）2＝，因为P在圆C上，所以P，＝（1,0），＝（0,2），＝λ＋μ＝（λ，2μ），所以

λ＋μ＝2＋cosθ＋sinθ＝2＋sin（θ＋φ）≤3，tanφ＝2，选A.

答案：

A

数量积的最值或范围问题的2种求解方法

（1）临界分析法：

结合图形，确定临界位置的动态分析求出范围．

（2）目标函数法：

将数量积表示为某一个变量或两个变量的函数，建立函数关系式，再利用三角函数有界性、二次函数或基本不等式求最值或范围．

[练通——即学即用]

1．（2018·南昌调研）如图，在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，点P在阴影区域（含边界）中运动，则·的取值范围是（　　）

A．B．

C．[－1,1]D．[－1,0]

解析：

∵在直角梯形ABCD中，DA＝AB＝1，BC＝2，∴BD＝.如图所示，过点A作AO⊥BD，垂足为O，则＝＋，·＝0，

∴·＝（＋）·＝·.

∴当点P与点B重合时，·取得最大值，

即·＝·＝××＝1；

当点P与点D重合时，·取得最小值，

即·＝－××＝－1.

∴·的取值范围是[－1,1]．

答案：

C

2．（2018·辽宁五校联考）一条动直线l与抛物线C：

x2＝4y相交于A，B两点，O为坐标原点，若＝2，则（－）2－4的最大值为（　　）

A．24B．16

C．8D．－16

解析：

由＝2知G是线段AB的中点，∴＝（＋），∴（－）2－4＝（－）2－（＋）2＝－4·.由A，B是动直线l与抛物线C：

x2＝4y的交点，不妨设A（x1，），B（x2，），∴－4·＝－4（x1x2＋）＝－4[（＋2）2－4]＝16－4（＋2）2≤16，即（－）2－42的最大值为16，故选B.

答案：

B

授课提示：

对应学生用书第126页

一、选择题

1．（2018·郑州一模）已知向量a，b均为单位向量，若它们的夹角为60˚，则|a＋3b|等于（　　）

A.　　B.

C.D．4

解析：

依题意得a·b＝，|a＋3b|＝＝，故选C.

答案：

C

2．（2018·石家庄模拟）在△ABC中，点D在边AB上，且＝，设＝a，＝b，则＝（　　）

A.a＋bB.a＋b

C.a＋bD.a＋b

解析：

＝＋＝＋＝＋（＋）＝＋＝b＋a，故选B.

答案：

B

3．设向量a＝（1，m），b＝（m－1,2），且a≠b，若（a－b）⊥a，则实数m＝（　　）

A.B.

C．1D．2

解析：

因为a＝（1，m），b＝（m－1,2），且a≠b，所以a－b＝（1，m）－（m－1,2）＝（2－m，m－2），又（a－b）⊥a，所以（a－b）·a＝0，可得（2－m）×1＋m（m－2）＝0，解得m＝1或m＝2.当m＝2时，a＝b，不符合题意，舍去，故选C.

答案：

C

4．（2018·南宁模拟）已知O是△ABC内一点，＋＋＝0，·＝2且∠BAC＝60˚，则△OBC的面积为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

∵＋＋＝0，∴O是△ABC的重心，于是S△OBC＝S△ABC.

∵·＝2，∴||·||·cos∠BAC＝2，∵∠BAC＝60˚，∴||·||＝4.又S△ABC＝||·||sin∠BAC＝，∴△OBC的面积为，故选A.

答案：

A

5．（2018·沈阳模拟）已知平面向量a＝（－2，x），b＝（1，），且（a－b）⊥b，则实数x的值为（　　）

A．－2B．2

C．4D．6

解析：

由（a－b）⊥b，得（a－b）·b＝0，即（－3，x－）·（1，）＝－3＋x－3＝0，即x＝6，解得x＝2，故选B.

答案：

B

6．（2018·洛阳模拟）已知向量a＝（m,2），b＝（3，－6），若|a＋b|＝|a－b|，则实数m的值是（　　）

A．－4B．－1

C．1D．4

解析：

由|a＋b|＝|a－b|，两边平方整理得a·b＝0，即3m－12＝0，故m＝4，故选D.

答案：

D

7．已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足（a－c）·（b－c）＝0，则|c|的最大值是（　　）

A．1B．2

C.D.

解析：

因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，

（a－c）·（b－c）＝－c·（a＋b）＋|c|2＝－|c||a＋b|·cosθ＋|c|2＝0，其中θ为c与a＋b的夹角，

所以|c|＝|a＋b|cosθ＝cosθ≤，

所以|c|的最大值是.

答案：

C

8．（2018·抚州二模）已知a，b是两个互相垂直的单位向量，且c·a＝1，c·b＝1，|c|＝，则对任意的正实数t，的最小值是（　　）

A．2B．2

C．4D．4

解析：

2＝c2＋t2a2＋b