初中概率教学的分析.docx

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初中概率教学的分析

三、初中概率教学的分析

1．什么是随机事件

对初中生而言，理解不确定的现象不确定的事件，我们强调实际事件，强调是在相同条件下做重复实验，但是那个实验的结果却不确定，这样的一个东西就是在实验。

至于在实验之前，你是无法预料结果是哪一个。

结果是盲动，这样的结果，我们叫做随机；这样的实验，我们一般叫做随机实验。

关于结果，我们还要作进一步的区分：

[1]就是我们到现在为止，不知道这个结果是什么。

这属于未知的时间，比如说数学上

哥德堡猜想对还是不对，到现在来说，我们也不知道这个哥德堡猜想是成立还是不成立

但是它要么就成立，要么就不成立，所以说没有随机性；

[2]你说火星上到底有没有人。

这也没有任何随机性。

要么就是有，要么就是没有。

无非是我不知道。

[3]一个硬币扔完了以后，我拿手盖上，我问你这是正面向上，还是反面向上。

由于这个实验已经做完了，它要么就是正面朝上，要么就是反面朝上。

但是现在它没有任何随机性，只是我拿手盖了以后你看不见。

如果你的眼睛像X光一样，你就立刻能知道结果。

所以，像这样的事情，只是说它客观已经定下来了，只是我还不知道，这样的事情不能叫做随机事件。

所以说，不知道的结果和随机的结果是有区别的两个概念。

还有一种结果，是有很多都是不确定的。

在自然界中有大量的不确定事件，但是有很多东西又不是我们随机性要研究的东西。

随机性研究的条件，首先一定是什么可以做重复实验的，可以看作是重复实验的。

大量重复实验里条件一样，结果不确定。

像扔硬币，生男孩女孩，我们把它看成是条件近似相等看起来相等。

还有些东西，也是不知道的。

比如说我举个例子，本拉登还活着吗？

觉得塔利班那个阿富汗要是说，本拉登活的可能性是9%，死的是90%，像这样一些事件也是不确定现象。

但是，本拉登是否活着，这种不确定现象，它没有重复实验的意义，所以也不是概率研究的领域。

还有在生活中，我看见某人今天脸色很好，我知道他今天一定非常高兴。

那么这种现象也没有重复实验的意义。

这只是我的一个猜想，或者我的一个愿望。

虽然，它也确实有可能性大小的问题。

我跟这个人很熟，我觉得能看出他的脸色，知道他高兴不高兴，巴结他我能说的很对；我要是跟她不熟的话，看她脸色很好，我说她高兴，可能说的不对。

这种现象没有重复实验的意义，也不是中学概率所关注的随机现象。

这一般也叫做主观概率。

主观概率现在也在研究。

在商业中具有重要的作用。

中学统计与概率一定是研究在相同条件下，可以做重复实验的情况下。

什么叫做随机现象，我们研究的东西是什么，要（在）这个层面把它弄清楚。

否则的话因为现在不确定现象太多了，在商业里做决策，这个风险你卖还是不卖，受很多因素的影响，这儿没有重复实验的意义，这个不是统计与概率研究的对象。

就是大千世界，不确定性的现象是非常多的。

中学统计和概率所研究的不确定现象，只是其中最简单的一种。

它强调的是条件确定，可以重复的这样的实验。

对其他的一些不确定性的现象，也是在自然界频繁发生的，现在由于知识储备，或者是能力水平还没有达到，还不能加以研究。

随机事件是研究的独特的或者是特殊的一类不确定性现象。

它强调的是这类随机事件是可以重复实验的，重复出现的；强调的是结果是可以随机发生的客观上是确定的，结果是客观原因。

就像是投硬币，或者是掷骰子是这样的事件。

那6个结果当条件具备的时候一定发生。

关于概率的概念，也是一些描述性的说法。

我们说做大量重复实验，但是任何一个结果，它出现的频率却是稳定的。

什么叫做稳定呢，像这样的词，就是一些描述性的说法。

中学教学时，不要在这个地方去扣这个定义。

而且，在数学上，概率是用公理化来定义的。

我们经常说，随着N越大，这个频率偏离这个常数的可能性就越小，其实这个可能性就是概率。

所以实际上这样说是一个循环定义。

比如说掷一个骰子。

这是一个古典概率。

只有6个结果，出现1点一直到6点，每一个出现的可能性是相同的。

什么叫等可能事件呢？

怎么可能就是概率？

从数学上来讲，这里是不严谨的，是一个循环定义。

但是不严谨是需要的，不严谨有助于理解。

教学时不要死扣这个东西，但是要理解它，理解频率与概率的关系。

另外，也不要把它理解成概率是频率的极限。

有人说，随着N越大，频率就越来越接近这个概率。

这个也是不对的。

比如说掷一个硬币，我掷两次，正好一次正面，一次反面，那么这个频率就已经达到了这个概率二分之一了。

我再掷第三次的话，三次里头肯定就到不了二分之一了，反而又偏出来了。

所以不是说N越大，它就越来越接近那个概率值的那个点。

比如说，N越大，它离开这个值近的可能性就越大，偏离的很大可能性要越小，在数学上，大学数学中讲是依测度收敛事件。

所以，我们强调重要的是要理解概率是一个客观的一个常数，频率是随机的。

你扔一百次出现正面的频率，跟我扔一百次出现的正面频率，同样是这个事件，我们俩扔的可能就不一样。

我扔这一百次，下次我再扔一百次，这个频率也不一样，也有变化，所以频率是随机的，概率是一个客观的值。

但是，我们可以用频率去估计概率。

就是N越大，频率估计也就应该越准。

就好像我量一个东西，这张纸的长度是有一个客观长度，我不知道，我拿尺子去量，那么就量出这个数跟实际还是差距的。

但是，可以用量数来估计，甚至这个度量还是有误差的，也是随机的。

所以这两者之间关系要搞清楚。

这里实际上涉及到三个概念：

一个是可能性；另外一个就是这个频率；还有一个是概率。

事实上，这个可能性，学生理解起来很自然，因为它是日常的一个用语。

概率，可以理解为是对这个可能性的一种度量，它是一种客观值，相对来讲是稳定的。

频率，以我们实验的情况来看，它是一个不稳定的随机的量。

我们用这个频率去估计概率，估计这个客观的概率值是什么。

实际上或者这么说，这个频率就反应事件频繁出现的程度，它频繁出现程度越大，实际上，它发生的可能性就要越大。

频率又稳定在一个常数附近，所以最后就由那个常数来估计这个可能大小，给这个程度起的名，就叫做概率。

跟过去的精确数学相比较，这个概率不像前面以往的，比如说算术平均数，标准差，方差这样有一个特别简单的公式，一下子计算出来。

在求一个事件发生可能性大小的这样一个概率值的时候，我们是用频率这个数值去估计这个概率值的。

下面，我们看一节课：

“一定能摸到红球吗”的教学过程的片断

教学准备阶段：

（1）准备上可用的课件；制作上可用的教具：

装有十个红球的盒子、装有十个白球的盒子以及装有五个红球五个白球的盒子。

（2）需要对全班学生进行分组，前后桌4人一组。

（一）创设情境，提出问题

1、问题：

“十一”黄金周期间，华联超市为了吸引顾客，举行一次摸奖活动。

摸奖的规则是：

在一个盒子里放一些球，凡是一次购物满50元的顾客，都有一次摸奖机会。

摸到红球有奖，摸到白球没有奖。

如果你一次购物满50元，你一定能获奖吗？

（1）全班讨论，哪一个盒子一定能摸到红球？

（2）请三组同学分别到讲台前参与游戏，其他学生展开想象，他们可能摸到红球吗？

（3）用“一定”“不可能”“可能”不仅可以描述摸球试验的结论，还可以描述现实世界中的自然现象和社会现象。

2、进一步体会感知事件的发生是“一定”、“不可能”、还是“可能”？

想一想：

下列事件哪些是确定的？

哪些是不确定的？

（1）太阳升起

（2）玻璃杯从高处落下

（3）掷硬币国徽面落地

3、知识升华形成理论

可能性:

结果确定

必然事件：

有些事情我们事先能肯定它一定会发生（一定发生）

不可能事件：

有些事情我们事先能肯定它一定不会发生。

（不可能发生）

必然事件、不可能事件称为确定事件。

可能性：

结果不一定

不确定事件：

有些事情我们事先无法肯定它会不会发生。

（不一定发生）

分析：

实际上，最终这堂课学会的是什么。

一定就是必然事件发生了，还有一个是不可能事件没有发生，可能性事件发生了。

这样的话，通过这样一个活动，学生来感知事件的这种三种情况。

然后后面还有一些，为了进一步巩固这个概念，让学生明白什么是确定的，什么是不确定的，什么是必然事件。

我觉得这堂课的效率比较低。

关于什么叫必然事件，什么叫不可能事件，什么叫随机事件，特别是必然不可能实现了，对于学生来说，应该是没有太大的困难的。

花这么长的时间来讲必然事件，可能小学生都已经能够懂得。

这个全是白球的盒里，肯定不能中奖；全是红的肯定中奖，在中学那个一堂课里来讲，效率就比较低了。

一旦效率比较低的话，学生就没有学习的兴趣了，因为他很早就知道答案了。

这时的动手操作没有太大的挑战性，中学生的数学兴趣没有被真正激发起来。

一开始强调在相同条件下的必然事件，不可能事件和随机事件是什么要告诉学生，但是用不着花这么多的时间来区分这些事件。

重要的应讲清什么是随机事件。

一定是在相同条件下，可以重复实验下，可能发生可能不发生的。

可以设计一些问题来让学生区分，不是在相同条件下的情形不确定的事件；不能重复实验的情形等等。

造成课堂教学效率低下的原因，可能是新增内容的教学资源比较缺乏。

我们应将重点放在通过更多的例子，让学生来区分这种偶然性，随机性是什么。

如果是仅仅发生这三个方面的话，对必然事件，不可能事件和随机事件放在同等重要地位的话，是很容易理解，那样的话，就没有突出这堂课的重点。

整堂课上下来之后，学生就会没有觉得很多的新知，没有挑战，容易产生乏味，没有兴趣。

事实上，初中学生的能力水平，可以讲得更多一些，突出统计和概率所研究的随机现象的这种偶然性，它是怎么发生的，这个随机性具有什么样的特征。

应该把整堂课的教学的重点放在这个可能性事件，怎么去刻画和描述上。

例如：

邮递员投信问题。

人们写信后，忘了在信封上写地址，就把信投到信筒里了。

但是，刚扔进去，就立刻警觉了。

等着那个开信箱的邮递员来。

邮递员来开信箱后，发现这种信封中有信，而信封上没写地址的不止一个。

不能区分那个是你所投的那个。

后来，人们发现这种现象有很强的频率，它大概稳定在百万分之二十七左右。

一个数据是俄国的，从1906年到1910年五年期间，这五年中有三年是百万分二十五，两年是百万分二十七。

这样一个许多人觉得它没有任何规律的东西，它也能出现频率的稳定性。

多举一些这样的例子，让学生认识到随机现象稳定性的特征，比起仅让学生讨论比如说，太阳升起，玻璃杯从高处落下等太过简单的例子，更有深刻性，更突出所要学习的统计与概率的本性。

没有新鲜感，对学生不具有挑战性的课堂教学效率，就显得非常低效。

当然，要设计符合学生认知水平的恰当的实例这个问题，对于新增内容来讲，也不是容易的事情。

老师暂时可能无法解决的就是资源不像传统的教学当中，比如说方程、函数等素材那样比较丰富，所以老师备课，准备素材的时候，挖掘资源可能也是有困难的。

这里既有对统计与概率这些数学内容的实例的积累，同时，还有教师要明白他想解决学生什么问题，学生哪一点是原来不懂的，这堂课我希望他能够懂些什么，这个目的要明确。

像必然事件，不可能事件，估计学生很容易懂。

就不必花很多时间教学。

教学的重点，应该是随机现象的理解上。

明白教学的重点后，我们去收集资源。

当我们的资源不够丰富的时候，可以通过各种渠道，去跟别人分享资源，完成新增内容教学的问题。

课本上的资源有限，而且有的课本也是在探索和摸索的过程中，所提供的资源也可能是有局限的。

因此，新课程改革还要求我们老师要创造性的使用教材，开发新课程，也许你的开发比课程研制者提供的素材更有针对性，更能促进学生在某些方面的发展。

另外，在中学统计与概率的学习过程中，一定不要让学生去背的一些像定义似的东西。

比如说，像必然事件，不可能事件，学生能理解，它又不是一个非常严格的数学上的定义。

学生只要了解它，就行了。

没有必要把学生都懂的东西，一定要把它用一个定律的情形来描述一下。

数学定义要求总要另一个词来定义它，这是一个没完没了的东西，过分追求定义的严谨性就不好了。

学生用已有的一些朴素概念，可以很明白地进一步学习。

如果用抽象的定义来学习，学生反而更糊涂了。

像现在概率教材里，有时候对实验下定义。

什么叫实验，条件出现一次叫做条件实现一次，叫做一次实验。

那么这比实验还难懂