123绝对值定值最值探讨讲义教师版.docx
《123绝对值定值最值探讨讲义教师版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《123绝对值定值最值探讨讲义教师版.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
123绝对值定值最值探讨讲义教师版
中考要求
内容
基本要求
略高要求
较高要求
绝对值
借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值
会利用绝对值的知识解决简单的化简问题
例题精讲
板块一：
绝对值几何意义
当时，，此时是的零点值．
零点分段讨论的一般步骤：
找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．
的几何意义：
在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．
的几何意义：
在数轴上，表示数、对应数轴上两点间的距离．
一、绝对值定值探讨
【例1】若的值为常数，试求的取值范围．
【考点】绝对值定值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】要使式子的值为常数，得相消完，当时，满足题意．
【解答】
【巩固】若的值是一个定值，求的取值范围.
【考点】绝对值定值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】要想使的值是一个定值，就必须使得，且，
原式，即时，原式的值永远为3.
【解答】
【巩固】如果对于某一给定范围内的值，为定值，则此定值为．
【考点】绝对值定值探讨
【难度】3星
【题型】填空
【关键词】第届希望杯培训试题
【解析】利用绝对值的几何意义解答．零点、把数轴分成分成段，容易发现当这个区间时为定值，当或时，有．
【解答】当或时
【例2】已知，化简．
【考点】绝对值定值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】第届希望杯培训试题
【解析】由的几何意义，我们容易判断出．
所以．
【解答】
【例3】已知代数式，则下列三条线段一定能构成三角形的是（）．
A．，，B．，，C．，，D．，，
【考点】绝对值定值探讨
【难度】3星
【题型】
【关键词】第届希望杯培训试题
【解析】根据可得，所以选择C．
【解答】C
【例4】是否存在有理数，使？
【考点】绝对值定值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】分类讨论
【解析】略
【解答】不存在
【巩固】是否存在整数，使？
如果存在，求出所有整数，如果不存在，请说明理由
【考点】绝对值定值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】略
【解答】
【例5】将个数任意分为两组（每组个），将一组从小到大排列，设为，另一组从大到小排列，设为，求代数式的值．
【考点】绝对值定值探讨
【难度】6星
【题型】
【关键词】
【解析】设是中任意一个数，如果且，那么在第一组中不大于的数至少有、、…、这个数，在第二组中不大于的数至少有、、…、这个数，则不大于的数至少有个，这不可能．因此与这两个数当中较大的一个一定大于，所以代数式
【解答】
二、绝对值最值探讨
【例6】设，其中，求的最小值.
【考点】绝对值最值探讨
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2006年，七台河市中考题
【解析】，
则时，有最小值为.
【解答】20
【巩固】已知，求的最大值与最小值．
【考点】绝对值最值探讨
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】北京市中考题
【解析】法1：
根据几何意义可以得到，当时，取最大值为；当时，取最小值为．
法2：
找到零点、，结合可以分为以下两段进行分析：
当时，，有最值和；
当时，；综上可得最小值为，最大值为．
【解答】最小值为，最大值为．
【例7】已知，那么的最大值等于．
【考点】绝对值最值探讨
【难度】4星
【题型】填空
【关键词】第届希望杯试
【解析】（法1）：
我们可以利用零点，将的范围分为段，分类讨论
（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）
（1）当时，，当时达到最大值；
（2）当时，
（3）当时，，当时，达到最大值
综合可知，在上，的最大值为
（法2）：
我们可以利用零点，将的范围分为段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很
容易发现答案：
当时达到最大值．
【解答】
【巩固】如果，且，求的最大值和最小值
【考点】绝对值最值探讨
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】
【解析】当时，有，所以；
当时，有，所以
综上所述，的最大值为，最小值为
【解答】的最大值为，最小值为
【巩固】已知，求取何值时的最大值与最小值．
【考点】绝对值最值探讨
【难度】3星
【题型】解答
【关键词】2001年，大同市中考题
【解析】法1：
表示到点和的距离差，画出数轴我们会发现当，时两者的距离
差最小为，即；当时，两者的距离差最大为4，即．
法2：
分类讨论：
先找零点，根据范围分段，
当时，；当时，，当有最小值；当有最大值．综上所得，当时，最大值为4；当时，最小值为．
【解答】当时，最大值为4；当时，最小值为．
【例8】已知，设，求的最大值和最小值
【考点】绝对值最值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号
因为所以，所以，同理可得
因为，所以，所以⑴
因为，所以，所以，所以
即⑵
⑴与⑵同向相加得
化简的表达式：
求的取值范围：
因为，所以
因为，所以
所以
所以
当时，最大值为
当时，最小值为
【解答】最大值为；最小值为
【巩固】已知是实数，求的最小值
【考点】绝对值最值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】数形结合
【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点，使点到点，点和点的距离之和最小，显然当时，原式的最小值为
【解答】2
【巩固】已知是实数，求的最小值
【考点】绝对值最值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】数形结合
【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点，使到点，点，点和点的距离和最小，显然当点在点和点之间（包括点和点）时，原式的值最小为
【解答】8
【例9】设是常数（是大于的整数），且，是任意实数，试探索求的最小值的一般方法
【考点】绝对值最值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】数形结合
【解析】根据题意，结合数轴，不难得到：
⑴当为奇数时，即当（为正整数）时，点应取在点处，原式的值最小，最小值为
⑵当为偶数（是正整数）时，应取点和点之间的任意位置，原式的值最小，最小值为
【答案】根据题意，结合数轴，不难得到：
⑴当为奇数时，即当（为正整数）时，点应取在点处，原式的值最小，最小值为
⑵当为偶数（是正整数）时，应取点和点之间的任意位置，原式的值最小，最小值为
【巩固】的最小值为．
【考点】绝对值最值探讨
【难度】4星
【题型】填空
【关键词】数形结合
【解析】当时，取到最小值：
点评：
若，当时，取得最小值．
若，当满足时，取得最小值．
【解答】
【巩固】试求的最小值
【考点】绝对值最值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】数形结合
【解析】联想到绝对值的几何意义：
即表示数轴上数的对应点与数的对应点的距离，把这些绝对值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现，当时，它有最小值，对于，当时，最小值为，…猜想当时，原式有最小值
最小值为
【解答】
【例10】设，求当取何值时的最小值．
【考点】绝对值最值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】2000年，郑州市中考题
【解析】实际表示到三点的距离和，画图可知当时，原式有最小值为．
【解答】
【例11】正数使得关于的代数式的最小值是，那么的值为．
【考点】绝对值最值探讨
【难度】4星
【题型】填空
【关键词】数形结合
【解析】如果，那么当时，，
小于与已知条件矛盾．所以，那么算式的几何意义是点到、、、的个距离之和，当时取最小值，因此令可得，解得．
【解答】
【例12】若、、、、、是个不同的正整数，取值于，，，，，，记，则的最小值是．
【考点】绝对值最值探讨
【难度】5星
【题型】填空
【关键词】2009年，全国初中数学联赛四川初赛试卷
【解析】利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性：
利用绝对值的几何意义在数轴上表示出来，从开始又回到，我们可以看成是一个圈，故最小值为，如下图所示，即使重叠路程最少．
【解答】10
【例13】在数轴上把坐标为的点称为标点，一只青蛙从点出发，经过次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少？
请说明理由
【考点】绝对值最值探讨
【难度】5星
【题型】
【关键词】年，山东竞赛试题
【解析】设青蛙依次到达的点为，整个跳过的路径长度为
故青蛙跳过的路径的最大长度为
【解答】
【例14】如图所示，在一条笔直的公路上有个村庄，其中、、、、、到城市的距离分别为、、、、、千米，而村庄正好是的中点．现要在某个村庄建一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？
【考点】绝对值最值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】因为村庄是的中点，所以村庄到城市的距离为千米，即村庄在村庄之间，个村庄依次排列为．设活动中心到城市的距离为千米，各村到活动中心的距离之和为千米，则：
因为，所以当时有最小值，所以活动中心应当建在处．
【解答】C处
【例15】如图，在一条数轴上有依次排列的台机床在工作，现要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小，点建在哪？
最小值为多少？
【考点】绝对值最值探讨
【难度】4星
【题型】解答
【关键词】
【解析】设供应站在数轴上所对应的数，则台机床到供应站的距离总和为，当时，原式值最小为．
即供应站建在点处，这台机床到供应站的距离总和最小为．
【解答】12
【例16】（6级）如图所示为一个工厂区的地图，一条公路（粗线）通过这个地区，个工厂，，…，分布在公路的两侧，由一些小路（细线）与公路相连．现在要在公路上设一个长途汽车站，车站到各工厂（沿公路、小路走）的距离总和越小越好，那么这个车站设在什么地方最好？
如果在点又建立了一个工厂，并且沿着图上的虚线修了一条小路，那么这时车站设在什么地方好？
【考点】绝对值最值探讨
【难度】5星
【题型】解答
【关键词】
【解析】每一条小路都是工厂到车站的必经之路，和其他工厂无关．但在公路上，有些路段将是一些工厂重复经过的，应使重复路线越短越好．要使各工厂到车站的距离之和最小，只要各工厂经小路进入公路的入口处（）到车站的距离之和最小即可，各路段的弯曲程度是无关紧要的，因此可以把公路看成一条直线，即车站设在点最好．若在处再建一个工厂，则车站建在处、处或它们之间的任何地方都是最佳的．
【解答】车站建在处、处或它们之间的任何地方都是最佳的．
【例17】先阅读下面的材料，然后回答问题：
在一条直线上有依次排列的台机床在工作，我们要设置一个零件供应站，使这台机床到供应站的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
如图甲，如果直线上有台机床时，很明显设在和之间的任何地方都行，因为甲和乙所走的距离之和等于到的距离。
如图乙，如果直线上有台机床时，不难判断，供应站设在中间一台机床处最合适，因为如果放在处，甲和丙所走的距离之和恰好为到的距离，而如果把放在别处，例如处，那么甲和丙所走的距离之和仍是到的距离，可是乙还得走从到的这一段，这是多出来的，因此放在处是最佳选择
不难知道，如果直线上有台机床，应设在第台与第台之间的任何地方，有台
升级会员 